張凡凡 宋晶如 馬寒松 劉小明 魏悅廣

(中國科學院力學研究所非線性力學國家重點實驗室，北京 100190)

(中國科學院大學工程科學學院，北京 100049)

(北京大學工學院，北京 100871)

引言

因其具有較高的比強度，較大的比剛度等優(yōu)點，三明治結構經常作為載荷傳遞和連接元件，廣泛應用于航空航天[1-2]、汽車應用[3-5]、船舶制造[6]、土木工程結構[7-8]和表面粘結壓電智能結構[9]等領域.常見的三明治結構有金屬膠層粘接三明治結構，泡沫板三明治結構等.三明治結構的力學行為直接決定了其功能及服役壽命，因此對其力學行為的研究引起了學者的廣泛關注[7-8].對于三明治結構而言，中間層的強度往往弱于上層和下層材料，這使得中間層的失效機制直接決定了整體結構的失效機制[10].因此，研究三明治結構中間層的斷裂行為對該結構的功能評價及壽命評估具有重要意義.

研究I 型斷裂模式是研究三明治結構斷裂行為的簡單有效方法之一，因此眾多學者研究了純I型斷裂模式下三明治結構的斷裂行為，雙懸臂梁(DCB)測試作為標準方法得到廣泛應用[11].該實驗測試的主要優(yōu)點是樣品制備簡單，實驗操作容易等.通過該方法，研究人員可以測得結構的臨界載荷，再利用相關理論模型就可以確定I 型斷裂模式下三明治結構的斷裂韌性.計算方法中，最簡單的是基于梁理論的方法來計算斷裂韌性[12].但是，該方法未考慮中間層的剪切性能[13]，也不能考慮非中間層裂紋尖端處的旋轉[14].鑒于此，Williams 提出了改進的梁理論，該理論考慮了初始裂紋長度的根部旋轉校正量，該量的引入將補償裂紋尖端處非中間層的旋轉以及中間層的剪切性能[15].但是，裂紋擴展過程中裂紋長度的監(jiān)測是實驗中的一個技術難點.接著，Moura 提出了基于一致性的梁方法，該方法使用了等效裂紋長度的概念，可以達到無需監(jiān)測裂紋擴展過程中裂紋長度的目的；此外，Moura 為了考慮裂紋尖端處的應力集中和試樣的剛度變化，為非中間層定義了等效的彎曲模量[16].之后，Xie 等[17]引入彎曲剛度的概念用于計算斷裂韌性.Mao 等[10]提出了基于彈性梁理論的綜合模型.接著，Ouezdou 等[18]通過修改Kanninen 地基模型[19]中的等效彈簧剛度k，確定了三明治結構的柔度和能量釋放率.另外，Penado[20]對地基模型中的等效彈簧剛度k進行了進一步修正，考慮了試樣裂紋部分的剪切變形效應對能量釋放率的影響.

Ouezdou 等[18]提出的理論模型是研究三明治結構斷裂韌性的一個經典模型，很多文獻將其作為參考來研究純I 型模式下三明治結構的斷裂韌性[21-28]，本文將其稱為改良彈性地基理論模型.改良彈性地基理論模型是通過考慮有限長度的梁而獲得的，如圖1 所示.三明治結構關于中間層的中心線軸對稱，x<0 的區(qū)域用歐拉--伯努利梁理論進行求解，x>0 的區(qū)域用Winkler 地基模型進行求解[18]，最后通過兩個區(qū)域的連續(xù)性等條件求得結構的能量釋放率.已有發(fā)現(xiàn)，中間層厚度較小的時候，該模型可以較好地預測三明治結構的斷裂韌性[21-28].但是，當中間層厚度較大的時候，該模型與實驗結果有一定的偏差[6].通常情況下，三明治結構的中間層厚度較小，在0.1～2.0 mm 之間[29-30].近期，隨著大型造船結構等的興起，中間層厚度較大(10 mm 左右)的三明治結構相繼出現(xiàn)，然而目前有關中間層較厚的三明治結構的相關研究還很少[6].所以，研究不同中間層厚度對三明治結構斷裂行為的影響具有重要的科學和工程意義.

本文基于改良彈性地基理論模型，考慮中間層厚度的影響，通過引入中間層剪切力的影響及中間層厚度增大帶來的結構剛度增大的影響，給出了適用于不同中間層厚度的三明治結構斷裂模型.基于新模型，在定載荷基礎上，討論了結構參數(shù)和材料參數(shù)對三明治結構能量釋放率的影響；在假定結構斷裂韌性不變的基礎上，討論了結構參數(shù)和材料參數(shù)對臨界載荷的影響.本文安排如下：第一節(jié)給出了模型的建立及求解過程，并將新理論模型與改良彈性地基理論模型進行了對比；第二節(jié)討論了結構參數(shù)和材料參數(shù)對能量釋放率和臨界載荷的影響.

1 模型描述

1.1 模型簡介

三明治結構由上層、下層和中間層組成，如圖1 所示.上層和下層的材料參數(shù)和幾何參數(shù)可以彼此相同或不同；本文假設上層和下層完全一致，并將上層和下層統(tǒng)稱為非中間層，將非中間層的彈性模量和泊松比分別記為E1，v1，厚度記為h.將中間層的彈性模量和泊松比分別記為E2，v2，厚度記為2t.假設三明治結構是各向同性的線彈性體.本文將局部坐標系x軸取在上層和中間層的界面處，規(guī)定向右為正；原點固定在裂尖對應的x軸的位置；局部坐標系z軸表示距界面的法向距離，規(guī)定向下為正.三明治結構載荷示意圖如圖2 所示.

1.2 改良彈性地基理論模型及其局限性

圖1 三明治結構示意圖Fig.1 Sandwich structure diagram

圖2 三明治結構載荷示意圖Fig.2 Load diagram of sandwich structure

引言中提到，改良彈性地基理論模型在中間層厚度較大的情況下是不適用的.本節(jié)對比了不同中間層厚度下，改良彈性地基理論模型與有限元模擬求得的能量釋放率.假設非中間層為鋼材，取其材料參數(shù)：彈性模量E1=206 GPa，泊松比v1=0.3；假設中間層為環(huán)氧膠，一般環(huán)氧膠的彈性模量為2～3 GPa[6]，本文取其材料參數(shù)為：彈性模量E2=3 GPa，泊松比v2=0.3.三明治結構其他的材料參數(shù)與幾何參數(shù)見表1.本文稱該有限元模型為有限元模型1，具體的模擬過程見附錄1.

表1 有限元模型1的材料參數(shù)和幾何參數(shù)Table 1 Material and geometric parameters of finite element model 1

不同中間層厚度下，改良彈性地基理論模型與有限元模擬的能量釋放率結果對比如圖3 所示.其中，紅色實線代表改良彈性地基理論模型得到的結果，黑色圓點代表有限元模擬得到的結果.本文定義中間層厚度2t與非中間層厚度h的比值為無量綱中間層厚度，記作2t/h，并將其作為橫坐標；將300 N 載荷作用下得到的能量釋放率記作G，將x<0 區(qū)域非中間層等效為梁長為裂紋初始長度的懸臂梁，并把其能量釋放率定義為G1.定義比值G/G1為無量綱能量釋放率，將其作為縱坐標.當無量綱中間層厚度為0.1 時，經計算改良彈性地基模型和有限元模擬結果的誤差為9%；當無量綱中間層厚度為2 時，經計算該模型結果和有限元結果的誤差達到70%.基于上述分析可知，改良彈性地基模型僅適用于中間層厚度較小的情況(2t/h<0.1)，當中間層厚度較大時，該模型誤差明顯.因此，為更加精確地刻畫中間層厚度較大的三明治結構的斷裂行為,需要建立新的理論模型.

圖3 能量釋放率隨無量綱中間層厚度的變化——改良彈性地基理論模型與有限元模擬結果對比圖Fig.3 Variation of dimensionless energy release rate with dimensionless interlayer thickness—Comparison of improved elastic foundation theoretical model and finite element simulation

1.3 新模型的建立及求解

1.3.1 新模型建立的依據(jù)

考慮到改良彈性地基模型是基于一維模型進行建模的，而有限元模型是基于二維模型進行建模的，所以改良彈性地基模型并未考慮切向影響.當中間層厚度增大時，作為切向一部分的中間層剪切力的影響變得不容忽視.為了驗證中間層剪切力的影響，本文取其一部分——界面剪切力來研究.因為彈性地基模型中將界面處理為不同剛度的彈簧，所以本文通過在x>0 區(qū)域的非中間層和中間層界面處施加黏聚力單元(圖4 紅色處)并改變其切向模量，建立了可以改變界面切向剛度的有限元模型，用來揭示界面剪切力對能量釋放率的影響.本文稱該有限元模型為有限元模型2，其示意圖如圖4 所示，材料參數(shù)和幾何參數(shù)的設置見表2，具體的模擬過程見附錄1.

圖4 有限元模型2 的示意圖Fig.4 Schematic diagram of finite element model 2

表2 有限元模型2的材料參數(shù)和幾何參數(shù)Table 2 Material and geometric parameters of finite element model 2

不同界面切向剛度下能量釋放率隨中間層厚度的變化結果如圖5 所示.將無量綱中間層厚度作為橫坐標；將無量綱能量釋放率為G/G1作為縱坐標.其中，紅色實線代表改良彈性地基模型的結果，黑色線代表不同界面切向剛度下有限元模型2 的結果，藍色實線代表有限元模型1 的結果.可以發(fā)現(xiàn)，當界面粘聚力單元的切向模量為1 MPa 時，即界面切向剛度較小時，有限元模型2 結果與改良彈性地基模型得到的結果接近.當界面黏聚力單元的切向模量逐漸增大時，有限元模型2 結果逐漸趨向于有限元模型1 的結果，并最終收斂于有限元模型1 的結果.所以，界面切向剛度對能量釋放率有很大影響.又因為界面切向剛度與中間層剪切力直接相關，所以考慮中間層剪切力對能量釋放率的影響是很有必要的.

圖5 不同界面切向模量下無量綱能量釋放率隨無量綱中間層厚度的變化Fig.5 Variation of dimensionless energy release rate with dimensionless interlayer thickness at different interface tangential modulus

同時，改良彈性地基模型中只考慮了非中間層部分的結構剛度，未考慮中間層的結構剛度.隨著中間層厚度的增大，x<0 區(qū)域中間層結構剛度不可忽視，所以考慮中間層厚度增大帶來的x<0 區(qū)域整體結構剛度增大的影響也是很有必要的.

1.3.2 引入中間層剪切力的影響

本節(jié)引入中間層剪切力的影響來計算三明治結構的能量釋放率.假設ui和wi分別表示沿x軸和沿z軸的位移，ui0表示非中間層的中平面沿x軸的位移(i=1,2 分別表示非中間層和中間層，i=1x?,1x+分別表示x<0 區(qū)域的非中間層和x>0 區(qū)域的非中間層)，假設y方向上的寬度為b(垂直于圖平面)，并假設結構處于平面應變狀態(tài).

對于x<0 區(qū)域，根據(jù)歐拉梁理論，非中間層某個點沿x軸和沿z軸的位移由下式給出

x<0 區(qū)域長度為dx的非中間層微元體受力圖如圖6 所示.

圖6 非中間層，長度為dx 的微元體受力平衡圖Fig.6 Non-interlayer force balance diagram of microelements with length dx

考慮到非中間層微元體的受力平衡，可以得到以下微分方程

其中，Ni，Vi和Mi分別表示單位寬度的軸向力，剪切力和彎矩.根據(jù)材料力學的相關定義，可以得到軸力和彎矩的表達式

其中，因為假設非中間層的橫截面為矩形截面，所以其慣性矩為I=bh3/12.

通過將式(4)和式(5)代入式(3)可以得到以下控制微分方程

對于x>0 區(qū)域,根據(jù)歐拉梁理論，非中間層某個點沿x軸和沿z軸的位移由下式給出

為了模型計算簡便，中間層只考慮了沿x軸的位移.因為結構是關于中間層中心線完全對稱的(見圖7)，所以中間層的水平位移可表示為

圖7 非中間層(a)和中間層(b)，長度為dx 的微元體受力平衡圖Fig.7 Non-interlayer(a)and interlayer(b),the force balance diagram of microelements with length dx

x>0 區(qū)域長度為dx的中間層和非中間層的微元體受力圖如圖所示.考慮到非中間層微元體的平衡，可以得到以下微分方程

考慮中間層微元體的平衡，可以得到以下微分方程

其中Ni，Vi和Mi分別表示單位寬度的軸向力，剪切力和彎矩.根據(jù)材料力學的相關定義，可以得到軸力和彎矩的表達式

其中，A1x+=bh表示非中間層的截面積，A2=2bt表示中間層的截面積.因為假設非中間層的橫截面為矩形截面，所以其慣性矩為I=bh3/12.

通過將式(12)～式(14)代入式(10)和式(11)，可以得到以下控制微分方程

因為采用了彈性地基模型，界面正應力可表示為

因為在界面處，中間層與非中間層的位移是連續(xù)的，所以可以得到以下等式

根據(jù)中間層位移和應力的關系，非中間層與中間層界面上的切應力可以表示為

由于結構關于中間層的中心軸對稱，所以中間層中心軸的切應力必然為0，即

聯(lián)立式(15)～式(20)后，可得到各個量之間的表達式

所以最終x>0 區(qū)域需要求解的方程為

接下來，求所有方程組的解.

對于x<0 區(qū)域，方程組為

可得其解為

對于x>0 區(qū)域，方程組為

對于式(26a)，其解為

對于式(26b)這個六階常微分方程，其特征方程為

公式的解有以下兩種情況：

(1)當其特征根全為實根時，解為

(2)當其特征根為一實根兩虛根時，解為

又因為在x較大時，衰減到0，所以對于情況(1)和(2)都可以得到C4=C5=C6=0.

圖2 顯示了載荷作用下的三明治結構.邊界條件和連續(xù)條件對應的公式為

公式中，各項的意義如下.

在非中間層的左端部分分別施加的載荷條件為：

(a)左端(x=?a)處剪力為P；

(b)左端(x=?a)彎矩為0；

(c)左端(x=?a)軸力為0；

在非中間層的右端部分分別施加的載荷和約束條件為：

(d)右端(x=B?a)軸力為0；

(e)右端最上端(x=B?a)u=0；

在模型x=0 處，作為兩個部分的連續(xù)，有一定的連續(xù)性條件：

(f)中間(x=0)撓度連續(xù)；

(g)中間(x=0)轉角連續(xù)；

(h)中間(x=0)剪力連續(xù)；

(i)中間(x=0)彎矩連續(xù)；

(j)中間(x=0)位移u連續(xù)；

(k)中間(x=0)軸力連續(xù).

將微分方程中的各關系代入式(31)，可發(fā)現(xiàn)邊界條件和連續(xù)條件都可以用來表示.又因為求得的解共有11 個未知系數(shù)，分別為m1,m2,A,B,C,D,n1,n2,C1,C2,C3.將解的表達式代入邊界條件和連續(xù)條件中，最終將會得到11 個有11 個未知數(shù)的十一元一次線性方程.

通過MATLAB 對該方程組進行求解，11 個未知數(shù)便可以得知.再將其帶回到的解中.最終得到(具體的MATLAB 求解過程代碼見附錄2).

接下來用柔度法求解三明治結構的能量釋放率.

根據(jù)柔度的定義，結構的柔度為

用柔度表示的能量釋放率為

1.3.3 引入中間層厚度增大帶來的結構剛度增大的影響

在x<0 區(qū)域，改良彈性地基模型只考慮了非中間層部分的結構剛度，但是隨著中間層厚度的增大，中間層對模型結構剛度的增大有顯著影響.本節(jié)引入中間層厚度增大帶來的結構剛度增大的影響來計算三明治結構的能量釋放率.將非中間層和中間層當作一個復合梁處理，通過變化截面的方法[20]，將中間層厚度增大帶來的結構剛度增大的影響引入.原理論和考慮剛度增大影響理論的橫截面示意圖如圖8 所示.

圖8 原理論和考慮剛度增大影響理論的橫截面示意圖Fig.8 Schematic cross-section of the original theory and the theory considering the effect of increased stiffness

將有效的復合梁厚度記為heff，其中

I1表示新截面即新理論模型橫截面中性軸的慣性矩.然后，通過減去x<0 區(qū)域只考慮非中間層的懸臂梁貢獻的能量釋放率(即1.2 中提到的G1)，加上將非中間層和中間層都考慮的等效復合懸臂梁貢獻的能量釋放率，得到同時引入中間層剪切力的影響和中間層厚度增大帶來的結構剛度增大的影響的三明治結構能量釋放率表達式

1.4 改良彈性地基理論模型與新模型的對比

本文將考慮中間層剪切力影響的模型稱為剪切理論模型，將進一步考慮中間層厚度增大帶來的結構剛度增大影響的最終模型稱為新理論模型.比較在不同參數(shù)下，分別由剪切理論模型、新理論模型和改良彈性地基理論模型得到的能量釋放率的值.本節(jié)考慮兩個幾何參數(shù)——中間層厚度、裂紋初始長度，一個材料參數(shù)——非中間層和中間層的模量比.其中，改良彈性地基理論模型結果和剪切理論模型結果的差體現(xiàn)了中間層剪切力對能量釋放率的影響，剪切理論模型結果與新理論模型結果的差體現(xiàn)了中間層厚度增大帶來的結構剛度增大對能量釋放率的影響.

(1)不同中間層厚度下，改良彈性地基模型與新模型的對比.本節(jié)研究不同中間層厚度下，改良彈性地基模型與新模型的對比.各參數(shù)取值為：取總長B為100 mm，取y方向上的寬度b(垂直于圖平面)為20 mm，取裂紋初始長度a為50 mm，取非中間層厚度h為10 mm，取中間層厚度2t為1～20 mm.假設非中間層為鋼材，取其材料參數(shù)為：彈性模量E1=206 GPa，泊松比v1=0.3；假設中間層為環(huán)氧膠，取其材料參數(shù)為：彈性模量E2=3 GPa，泊松比v2=0.3.取載荷P=300 N.將無量綱中間層厚度2t/h作為橫坐標；將無量綱能量釋放率G/G1作為縱坐標.

將三明治結構的材料參數(shù)和幾何參數(shù)代入各理論模型后，不同中間層厚度下，改良彈性地基模型與新模型的對比結果如圖所示.其中，紅色實線代表改良彈性地基理論模型得到的結果，藍色虛線代表剪切理論模型得到的結果，棕色點線代表新理論模型得到的結果.可以發(fā)現(xiàn)，3 個理論模型得到的能量釋放率隨著中間層厚度的增大都是逐漸增大的.當無量綱中間層厚度為0.1 時，新理論模型結果和改良彈性地基理論模型結果幾乎重合；當無量綱中間層厚度為2 時，經計算新理論模型結果與改良彈性地基理論模型結果的誤差達到44%.隨著中間層厚度的增大，改良彈性地基理論模型結果和剪切理論模型結果的差越大，即中間層剪切力對能量釋放率的影響越大；剪切理論模型結果與新理論模型結果的差也越大，即結構剛度增大對能量釋放率的影響越大.所以，在同樣的載荷作用下，當其他量保持不變時，中間層剪切力和結構剛度增大對能量釋放率的影響隨著無量綱中間層厚度增大而增大.

同時，可以發(fā)現(xiàn)，新理論模型的結果低于改良彈性地基理論模型的結果.又因為從圖3 中改良彈性地基理論模型結果與有限元模擬結果對比圖9可以看出，改良彈性地基理論模型結果比有限元模擬結果大很多.而中間層剪切力影響和結構剛度增大影響都會使能量釋放率變小，所以新理論模型解會更接近有限元模擬結果.

圖9 無量綱能量釋放率隨無量綱中間層厚度的變化——理論模型對比圖Fig.9 Variation of dimensionless energy release rate with dimensionless interlayer thickness—Comparison of theoretical models

(2)不同模量比下，改良彈性地基模型與新模型的對比.本節(jié)研究不同模量比下，改良彈性地基模型與新模型的對比.由上節(jié)可知，中間層厚度的范圍也決定了新引入量能否對能量釋放率產生影響.所以，本節(jié)分別研究無量綱中間層厚度取最小值(2t/h=0.1)和無量綱中間層厚度取最大值(2t/h=2)時，新引入量對能量釋放率產生影響的模量比范圍.其他參數(shù)取值為：取總長B為100 mm，取y方向上的寬度b(垂直于圖平面)為20 mm，裂紋初始長度a為50 mm，非中間層厚度h為10 mm.假設中間層為環(huán)氧膠，取其材料參數(shù)為：彈性模量E2=3 GPa，泊松比v2=0.3；假設非中間層的彈性模量E1取60～300 GPa，泊松比v1=0.3.本文定義非中間層模量E1與中間層模量E2的比值為模量比，記作E1/E2，取20～100.取載荷P為300 N.將模量比E1/E2作為橫坐標；將無量綱能量釋放率G/G1作為縱坐標.

將三明治結構的材料參數(shù)和幾何參數(shù)代入各理論模型后，不同模量比下改良彈性地基模型與新模型的對比結果如圖10 所示.其中，紅色實線代表改良彈性地基理論模型得到的結果，藍色虛線代表剪切理論模型得到的結果，棕色點線代表新理論模型得到的結果.可以發(fā)現(xiàn)，3 個理論模型得到的能量釋放率隨著模量比的增大都是逐漸增大的.即使在不同的模量比下，當無量綱中間層厚度為0.1 時(圖10(a))，新理論模型結果和改良彈性地基理論模型結果幾乎無差別.當無量綱中間層厚度為2 時(圖10(b))，新理論模型結果與改良彈性地基理論模型結果相差較大.當模量比為20 的時候，經計算剪切理論模型結果與新理論模型結果的誤差達到33%；當模量比為100 的時候，經計算改良彈性地基理論模型結果和剪切理論模型結果的誤差達到52%.隨著模量比的增大，改良彈性地基理論模型結果和剪切理論模型結果的差越大，即中間層剪切力對能量釋放率的影響越大；剪切理論模型結果與新理論模型結果的差越小，即結構剛度增大對能量釋放率的影響越小.所以在同樣的載荷作用下，當無量綱中間層厚度取最大值2時，中間層剪切力對能量釋放率的影響隨著非中間層與中間層模量比的增大而增大，結構剛度增大對能量釋放率的影響隨著非中間層與中間層模量比的增大而減小.

圖10 無量綱能量釋放率隨模量比的變化——理論模型對比圖Fig.10 Variation of dimensionless energy release rate with modulus ratio—Comparison of theoretical models

(3)不同裂紋初始長度下，改良彈性地基模型與新模型的對比.本節(jié)研究不同裂紋初始長度下，改良彈性地基模型與新模型的對比.和上節(jié)一樣，本節(jié)分別研究無量綱中間層厚度取最小值(2t/h=0.1)和無量綱中間層厚度取最大值(2t/h=2)時，新引入量產生影響的裂紋初始長度范圍.其他參數(shù)取值為：取總長B為100 mm，取y方向上的寬度b(垂直于圖平面)為20 mm，取裂紋初始長度a為20～50 mm，取非中間層厚度h為10 mm.假設非中間層為鋼材，取其材料參數(shù)為：彈性模量E1=206 GPa，泊松比v1=0.3；假設中間層為環(huán)氧膠，取其材料參數(shù)為：彈性模量E2=3 GPa，泊松比v2=0.3.取載荷P為300 N.本文定義裂紋初始長度a與非中間層厚度h的比值為無量綱裂紋初始長度，記作a/h，將其作為橫坐標；將無量綱能量釋放率G/G1作為縱坐標.

將三明治結構的材料參數(shù)和幾何參數(shù)代入各理論模型后，不同裂紋初始長度下改良彈性地基模型與新模型的對比結果如圖11 所示.其中，紅色實線代表改良彈性地基理論模型得到的結果，藍色虛線代表剪切理論模型得到的結果，棕色點線代表新理論模型得到的結果.可以發(fā)現(xiàn)，3 個理論模型得到的能量釋放率隨著裂紋初始長度的增大都是逐漸減小的.即使在不同的裂紋初始長度下，當無量綱中間層厚度為0.1 時(圖11(a))，新理論模型結果和改良彈性地基理論模型結果幾乎無差別.當無量綱中間層厚度為2 時(圖11(b))，新理論模型結果與改良彈性地基理論模型結果有較大差別.當無量綱裂紋初始長度為5 的時候，經計算，改良彈性地基理論模型結果和剪切理論模型結果的誤差達到35%.即使裂紋初始長度不同，剪切理論模型結果與新理論模型結果的差也變化不大，即結構剛度增大對能量釋放率的影響對裂紋初始長度并不敏感.隨著裂紋初始長度的增大，改良彈性地基理論模型結果和剪切理論模型結果的差越大，即中間層剪切力對能量釋放率的影響最大.所以在同樣的載荷作用下，當無量綱中間層厚度取最大值2 時，中間層剪切力對能量釋放率的影響隨著無量綱裂紋初始長度的增大而增大；結構剛度增大對能量釋放率的影響對無量綱裂紋初始長度并不敏感.

圖11 無量綱能量釋放率隨無量綱裂紋初始長度的變化——理論模型對比圖Fig.11 Variation of dimensionless energy release rate with initial length of dimensionless crack—Comparison of theoretical models

2 幾何參數(shù)和材料參數(shù)對能量釋放率和臨界載荷的影響

從新理論模型解可以看出，當幾何參數(shù)、材料參數(shù)和載荷都確定時，就可以求得三明治結構的能量釋放率；能量釋放率隨各個參數(shù)的變化一直是學者們研究的重點.斷裂韌性即臨界載荷下結構的能量釋放率.在已知結構的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和能量釋放率(或斷裂韌性)的情況下，利用該理論可以求得三明治結構的載荷(或臨界載荷)和臨界載荷隨各個參數(shù)的變化.

2.1 模量比對能量釋放率的影響

本節(jié)在定載荷的基礎上，研究模量比對能量釋放率的影響.各參數(shù)取值為：取總長B為100 mm，取y方向上的寬度b(垂直于圖平面)為20 mm，取裂紋初始長度a為50 mm，取非中間層厚度h為10 mm，取中間層厚度2t為1～20 mm.假設中間層為環(huán)氧膠，取其材料參數(shù)為：彈性模量E2=3 GPa,泊松比v2=0.3；取非中間層的彈性模量E1為30 MPa～210 GPa，泊松比為v1=0.3.模量比E1/E2取0.01～70.取載荷P為300 N.將無量綱中間層厚度2t/h作為橫坐標；將無量綱能量釋放率G/G1作為縱坐標.

將三明治結構的材料參數(shù)和幾何參數(shù)代入各理論模型后，能量釋放率隨中間層厚度和模量比的變化結果如圖12 所示.其中，紫色十字點代表E1/E2=70，綠色左三角代表E1/E2=50，藍色倒三角代表E1/E2=30，黑色圓點代表E1/E2=10，橘色菱形點代表E1/E2=1，紅色五角星點代表E1/E2=0.1，棕色方框點代表E1/E2=0.01；紅色框表示線上的最大值.可以發(fā)現(xiàn)，在模量比E1/E2>1 的情況下，無量綱能量釋放率隨中間層厚度的增大先增大后減小；并且模量比越大，無量綱能量釋放率的最大值對應的無量綱中間層厚度也越大.在模量比E1/E2≤1 的情況下，無量綱能量釋放率隨中間層厚度的增大而減小.當無量綱中間層厚度相同時，無量綱能量釋放率隨模量比的增大而增大.所以，相同的載荷下計算獲得的能量釋放率與模量比有關：當三明治結構中間層的模量小于邊上兩層模量時，能量釋放率隨著中間層厚度增大先增大后減小；當三明治結構中間層的模量大于邊上兩層模量時，能量釋放率僅隨著中間層厚度增大而減小.

圖12 無量綱能量釋放率隨無量綱中間層厚度和模量比的變化Fig.12 Variation of dimensional energy release rate with dimensionless interlayer thickness and modulus ratio

2.2 裂紋初始長度對能量釋放率的影響

本節(jié)在定載荷的基礎上，研究裂紋初始長度對能量釋放率的影響.各參數(shù)取值為：取總長B為100 mm，取y方向上的寬度b(垂直于圖平面)為20 mm，取裂紋初始長度a為20～50 mm，取非中間層厚度h為10 mm，取中間層厚度2t為1～20 mm.假設非中間層為鋼材，取其材料參數(shù)為：彈性模量E1=206 GPa，泊松比v1=0.3；假設中間層為環(huán)氧膠，取其材料參數(shù)為彈性模量E2=3 GPa，泊松比v2=0.3；取載荷P為300 N.將無量綱中間層厚度2t/h作為橫坐標；將無量綱能量釋放率G/G1作為縱坐標.

將三明治結構的材料參數(shù)和幾何參數(shù)代入理論模型后，能量釋放率隨中間層厚度和裂紋初始長度的變化結果如圖13 所示.其中，黑色圓點代表a/h=2，紅色正三角代表a/h=3，藍色倒三角代表a/h=4，棕色五角星點代表a/h=5.可以發(fā)現(xiàn)，無量綱裂紋初始長度越小，無量綱能量釋放率隨無量綱中間層厚度的變化幅度越大.而且，當無量綱中間層厚度相同時，無量綱能量釋放率隨無量綱裂紋初始長度增大而減小.所以，同樣的載荷作用下，當其他量保持不變時，能量釋放率隨著無量綱裂紋初始長度的增大而減小.

圖13 無量綱能量釋放率隨無量綱中間層厚度和無量綱裂紋初始長度的變化Fig.13 Variation of dimensional energy release rate with dimensionless interlayer thickness and dimensionless crack initial length

2.3 模量比對臨界載荷的影響

本節(jié)在假定結構斷裂韌性不變的基礎上，研究模量比對臨界載荷的影響.各參數(shù)取值為：取總長B為100 mm，取y方向上的寬度b(垂直于圖平面)為20 mm，取裂紋初始長度a為50 mm，取非中間層厚度h為10 mm，取中間層厚度2t為1～20 mm.假設中間層為環(huán)氧膠，取其材料參數(shù)為：彈性模量E2=3 GPa，泊松比v2=0.3；假設非中間層分別為鋁、銅、鐵，分別取彈性模量E1=70 GPa,110 GPa,206 GPa，取泊松比為v1=0.3.模量比E1/E2取23.3,36.7 和68.7.取結構斷裂韌性Gc=0.5 N/mm.將無量綱中間層厚度2t/h作為橫坐標；將臨界載荷Pcritical作為縱坐標.

將三明治結構的材料參數(shù)和幾何參數(shù)代入各理論模型后，臨界載荷隨中間層厚度和模量比的變化結果如圖14 所示.非中間層取常見的金屬.其中，黑色圓點代表鋁，紅色正三角代表銅，藍色倒三角代表鐵；綠色框表示線上的最小值.可以發(fā)現(xiàn)，對于鋁和銅，臨界載荷隨無量綱中間層厚度的增大先減小后增大，并且模量比越大，臨界載荷的最小值對應的無量綱中間層厚度也越大.對于鐵，臨界載荷隨無量綱中間層厚度的增大而減小，但是其整體是變小的趨勢，可以推斷，當中間層厚度更大時，會出現(xiàn)臨界載荷的最小值.當無量綱中間層厚度相同時，臨界載荷隨模量比的增大而增大.所以，對于常見的金屬(鐵/銅/鋁)和環(huán)氧膠復合的三明治結構，假定結構的斷裂韌性相同，計算獲得的結構臨界載荷隨著中間層厚度增大先減小后增大；臨界載荷最小值對應的中間層厚度和金屬層的模量有關：模量越大，臨界載荷最小值對應的中間層厚度越大.

圖14 臨界載荷隨無量綱中間層厚度和模量比的變化Fig.14 Variation of critical load with dimensionless interlayer thickness and modulus ratio

應用到工程中，在知道結構斷裂韌性范圍時，便可以估計出臨界載荷的值.同時，根據(jù)上述結論可以推斷，只要選材時選擇模量比較小的非中間層，較小的載荷就可以使結構達到其斷裂韌性而破壞.

2.4 裂紋初始長度對臨界載荷的影響

本節(jié)在假定結構斷裂韌性不變的基礎上，研究裂紋初始長度對臨界載荷的影響.各參數(shù)取值為：總長B=100 mm，y方向上的寬度b(垂直于圖平面)為20 mm，裂紋初始長度a為20～50 mm，非中間層厚度h=10 mm，中間層厚度2t為1～20 mm.假設非中間層為鋼材，取其材料參數(shù)為：彈性模量E1=206 GPa，泊松比v1=0.3；假設中間層為環(huán)氧膠，取其材料參數(shù)為：彈性模量E2=3 GPa，泊松比v2=0.3；取結構斷裂韌性Gc=0.5 N/mm.將無量綱中間層厚度2t/h作為橫坐標；將臨界載荷Pcritical作為縱坐標.

將三明治結構的材料參數(shù)和幾何參數(shù)代入各理論模型后，臨界載荷隨中間層厚度和裂紋初始長度的變化結果如圖15 所示.其中，黑色圓點代表a/h=2，紅色正三角代表a/h=3，藍色倒三角代表a/h=4，棕色五角星點代表a/h=5.可以發(fā)現(xiàn)，無量綱裂紋初始長度越小，臨界載荷隨無量綱中間層厚度的變化幅度越大.而且，當無量綱中間層厚度相同時，臨界載荷隨無量綱裂紋初始長度增大而減小.所以，當假定結構斷裂韌性相同，其他量保持不變時，臨界載荷隨著無量綱裂紋初始長度的增大而減小；臨界載荷隨著無量綱中間層厚度的變化幅度和無量綱裂紋初始長度有關，即，裂紋初始長度越大，臨界載荷隨無量綱中間層厚度的變化幅度越小.

圖15 臨界載荷隨無量綱中間層厚度和無量綱裂紋初始長度的變化Fig.15 Variation of critical load with dimensionless interlayer thickness and dimensionless crack initial length

3 討論

本文第1.4 節(jié)研究了新引入量對能量釋放率產生影響的范圍，發(fā)現(xiàn)中間層剪切力影響和結構剛度增大影響都會使能量釋放率變小.又因為改良彈性地基理論模型結果比有限元模擬結果大很多，所以前文得出新理論模型的確會更接近有限元模擬結果的結論.但是，新理論模型結果和有限元模擬結果的吻合度還并未驗證.

本節(jié)以第1.4 節(jié)(2)里的模型為例.各參數(shù)取值為：總長B=100 mm，y方向上的寬度b(垂直于圖平面)為20 mm，裂紋初始長度a=50 mm，非中間層厚度h=10 mm，中間層厚度2t=20 mm.假設中間層為環(huán)氧膠，取其材料參數(shù)為：彈性模量E2=3 GPa，泊松比v2=0.3；假設非中間層的彈性模量E1取60～300 GPa，泊松比v1=0.3.模量比E1/E220～100.載荷P=300 N.將模量比E1/E2作為橫坐標；將無量綱能量釋放率G/G1作為縱坐標.

將三明治結構的材料參數(shù)和幾何參數(shù)代入改良彈性地基理論模型和新理論模型，得到能量釋放率.這里仍采用有限元模型1 進行有限元模擬，具體的模擬過程見附錄1.不同模量比下各理論與有限元模擬得到的能量釋放率對比結果如圖16 所示.其中，黑色圓點代表有限元模擬得到的結果，紅色實線代表改良彈性地基理論模型得到的結果，藍色虛線代表剪切理論模型得到的結果，棕色點劃線代表新理論模型得到的結果.可以發(fā)現(xiàn)，新理論模型最接近有限元的結果；其中，當模量比為100 時，經計算改良彈性地基理論模型結果與有限元模擬結果的誤差達到83%，新理論模型結果與有限元模擬結果的誤差降到5%，很好地修正了改良彈性地基理論模型.但是在模量比比較小的時候，新理論模型結果和有限元模擬結果還是有一定的誤差.考慮到一方面在模型建立過程中把梁等效成了歐拉梁來處理，另一方面本文只是引入了中間層剪切力的影響和中間層厚度增大帶來的結構剛度增大的影響，其他影響因素(如裂尖的旋轉等)尚未引入，才造成了理論模型和有限元模擬的誤差.因此，下一步工作可將梁等效為鐵木辛柯梁進行建模，另一方面可以引入其他影響因素，進一步修正理論模型.

圖16 無量綱能量釋放率隨模量比的變化——理論模型與有限元模擬對比圖Fig.16 Variation of dimensionless energy release rate with modulus ratio—Comparison of theoretical models and finite element simulation

4 結論

三明治結構廣泛應用結構件的連接.中間層厚度較大情況三明治結構斷裂行為的研究還很少，本文基于改良彈性地基理論模型，建立了考慮中間層引起的剪切變化和剛度變化的理論模型.利用該模型，在定載荷條件下，討論了結構參數(shù)和材料參數(shù)對三明治結構能量釋放率的影響；在假定結構斷裂韌性不變的基礎上，討論了結構和材料參數(shù)對臨界載荷的影響.

(1)建立了同時考慮中間層剪切影響和剛度影響的三明治結構斷裂模型，通過和有限元計算結果比較，預測的I 型裂紋能量釋放率比已有理論模型更精確.

(2)相同的載荷下計算獲得的能量釋放率與模量比有關：當三明治結構中間層的模量小于邊上兩層模量時，能量釋放率隨著中間層厚度增大先增大后減??；當三明治結構中間層的模量大于邊上兩層模量時，能量釋放率僅隨著中間層厚度增大而減小.

(3)對于常見的金屬(鐵/銅/鋁)和環(huán)氧膠復合的三明治結構，假定結構的斷裂韌性相同，計算獲得的結構臨界載荷隨著中間層厚度增大先減小后增大；臨界載荷最小值對應的中間層厚度和金屬層的模量有關：模量越大，臨界載荷最小值對應的中間層厚度越大.

附錄1 有限元模型

有限元計算采用二維模型，假定平面應變條件.裂紋尖端采取奇異單元，通過圍道積分進行后處理，輸出J 積分.積分路徑只包括裂尖附近的扇形網(wǎng)格區(qū)域，全在中間層，不會包含中間層和非中間層的界面部分.

有限元模型的邊界條件如圖2 所示.

材料參數(shù)如表1 和表2 所示.

另外，黏聚力單元參數(shù)為：法向彈性模量為30 GPa(變成300 GPa 時得到結果相同)，切向彈性模量不斷變化(1 MPa，10 MPa，···，104MPa).

界面無黏聚力單元的模型見圖A1.在裂紋尖端附近區(qū)域用sweep 方式畫出扇形網(wǎng)格，裂尖網(wǎng)格圖如圖A2 所示.其余部分選取四邊形網(wǎng)格.以中間層厚度為20 mm 的模型為例，該模型由16 113 個4 節(jié)點的雙線性四邊形單元組成.將網(wǎng)格加密到有28 681 個單元時，得到的J 積分結果相同.

界面有黏聚力單元的模型見圖A3.模型全部選取四邊形網(wǎng)格，裂尖網(wǎng)格圖見圖A4.以中間層厚度為20 mm 的模型為例，該模型由17 973 個4 節(jié)點的雙線性四邊形單元組成.將網(wǎng)格加密到有33 250 個單元時，得到的J 積分結果相同.

圖A1 無黏聚力單元結構的網(wǎng)格圖Fig.A1 Mesh diagram of the structure without cohesive elements

圖A2 無黏聚力單元結構裂紋尖端網(wǎng)格圖Fig.A2 Crack tip grid of the structure without cohesive elements

圖A3 黏聚力單元所在位置(橘色線)Fig.A3 Location of the cohesive elements(orange line)

圖A4 有黏聚力單元結構的裂紋尖端網(wǎng)格圖Fig.A4 Crack tip grid of the structure with cohesive elements

附錄2 MATLAB 求解代碼

1.掃描二維碼即可查看具體的MATLAB 求解代碼.

2.或登陸https://github.com/zff19 查看其中的MATLAB code 文件即可找到對應MATLAB 求解代碼.