張萌

（遼寧裝備制造職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系，遼寧 沈陽110161）

Delta 機(jī)構(gòu)是一種具有空間三平移自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其最早由Clavel 博士于1985 年提出[1]。Delta 機(jī)構(gòu)具有承載能力強(qiáng)、剛度大、自重負(fù)荷比小、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)，目前基于Delta 結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)器人已廣泛應(yīng)用于食品、藥品、電子產(chǎn)品等加工與裝配中[2]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間及其構(gòu)型一般由前期的任務(wù)規(guī)劃確定，當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間及其構(gòu)型確定后，接下來的主要任務(wù)是確定其結(jié)構(gòu)參數(shù)[3-4]。由并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間來確定其物理結(jié)構(gòu)參數(shù)的過程叫機(jī)構(gòu)尺度綜合[5]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度綜合的目標(biāo)通常有：使并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)較小、使并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈巧性較好、在給定的刀具進(jìn)給速度和進(jìn)給加速度下，使驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的速度和加速度較小、使驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力較小、使機(jī)構(gòu)的剛度較高等。

本文針對(duì)Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，以并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸較小為優(yōu)化目標(biāo)，并由Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立尺度綜合目標(biāo)函數(shù)及約束條件，最后由遺傳算法尋優(yōu)獲取目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。仿真實(shí)驗(yàn)研究表明，該尺度綜合優(yōu)化方法能夠保證在實(shí)現(xiàn)指定工作空間的前提下，Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸最小。

1 Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束方程

Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)由兩個(gè)等邊三角形平臺(tái)及3 條相同的支鏈組成，其結(jié)構(gòu)如圖1 所示，每條支鏈都由1 個(gè)定長桿和1 個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)組成。

桿AiBi（i=1，2，3）與平臺(tái)A1A2A3用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，四邊形機(jī)構(gòu)與平臺(tái)C1C2C3及桿AiBi均以轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，消除了動(dòng)平臺(tái)的3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度而保留了3 個(gè)純平動(dòng)自由度。在定平臺(tái)上建立坐標(biāo)系Oxyz，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)同時(shí)也是定平臺(tái)中心，x 軸指向OA1，y 軸垂直于平臺(tái)表面向上，y 軸負(fù)方向指向動(dòng)平臺(tái)，在動(dòng)平臺(tái)中心建立動(dòng)坐標(biāo)系Px'y'z'，坐標(biāo)軸的指向與坐標(biāo)系Oxyz 相同。Ai、Bi、Ci分別為各自轉(zhuǎn)動(dòng)副的中心，其中i=1，2，3。

設(shè)定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)的外接圓半徑分別為r1和r2，桿AiBi長度為L2，平行四邊形機(jī)構(gòu)BiCi長度為L1，則定平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)副中心點(diǎn)Ai及動(dòng)平臺(tái)Ci點(diǎn)在各自坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為：

其中，βi表示OAi（或PCi）與x（或x'）軸正向之間的夾角且βi=120°（i-1），i=1，2，3。設(shè)OAi與AiBi之間的轉(zhuǎn)角為θi，動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)P 在定坐標(biāo)系Oxyz 中的坐標(biāo)為（x，y，z）。則Bi在定坐標(biāo)系中的位置矢量為

式中，li為桿AiBi方向的單位矢量。點(diǎn)Ci在定坐標(biāo)系Oxyz中的位置矢量為

其中，R 為動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，由于動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)僅能做平動(dòng)，故R 為3×3 的單位矩陣。P 為動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)在定平臺(tái)中的坐標(biāo)。

根據(jù)桿長約束條件BiCi=L1，建立機(jī)構(gòu)約束方程

其中

圖1 Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

2 機(jī)構(gòu)尺度綜合

尺度綜合是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)的最終目標(biāo)，本文以并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸較小為尺度綜合目標(biāo)，通過分析機(jī)構(gòu)約束方程來建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及約束條件。

2.1 建立約束條件

將式（6）帶入式（5）可得

式中，i=1，2，3，r 表示兩平臺(tái)之間外接圓半徑之差。將（7）式展開并表示成

式（8）還可以表示為

其中

當(dāng)且僅當(dāng)滿足下式時(shí)，式（9）有唯一解

將式（10）帶入式（11）可得

式（12）即為優(yōu)化目標(biāo)的約束條件，由式（12）可知，對(duì)于空間某一點(diǎn)P（x，y，z），如果點(diǎn)P 位于并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)，則有hi（P）<0；若點(diǎn)P 位于邊界上，則有hi（P）=0；若點(diǎn)P 位于工作空間外，則有hi（P）>0。

2.2 建立目標(biāo)函數(shù)

對(duì)于給定工作空間的Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度優(yōu)化問題，其優(yōu)化的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)給定工作空間的同時(shí)要求并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)最小。本文僅研究指定工作空間為立方體的Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度優(yōu)化問題，指定的立方體如圖2 所示，該立方體的空間位置由其上的八個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)確定。因此，該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以表示為

其中，I 表示Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)向量，且I=[L1，L2，r，D]，D 為定平臺(tái)與指定立方體之間的距離，Pk表示指定立方體的各頂點(diǎn)坐標(biāo)（k=1，2，3，…，8），式（13）中的約束條件由式（12）確定。

由約束條件可知，hi=0 表示三維空間中的某一曲面，對(duì)于空間內(nèi)任一點(diǎn)P（x，y，z），|hi（I，P）|表示點(diǎn)P 與曲面hi=0 之間的距離。若使指定的立方體包含于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)，只要保證立方體的八個(gè)頂點(diǎn)全部滿足式（12）確定的約束條件。由于立方體的八個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)已知，只需在I 的可行解空間中搜索一點(diǎn)I*使得|hi（I，P）|取極小值，此時(shí)的I*即為Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最優(yōu)尺寸。由約束條件可以確定三個(gè)空間曲面，因此該問題的模型可改寫為

對(duì)于式（14）所示的優(yōu)化問題，可以通過罰函數(shù)法將其轉(zhuǎn)換成無約束優(yōu)化問題。設(shè)F1（I，Pk）為目標(biāo)函數(shù)，則有

式中，N 表示指定工作空間中邊界點(diǎn)的個(gè)數(shù)（本例中N=8）。定義懲罰函數(shù)為

其中

其中，μ 為無窮大正常數(shù)。因此，式（14）的模型可以改寫為

圖2 指定工作空間的形狀

2.3 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值求解

遺傳算法是借鑒生物界自然選擇和群體進(jìn)化機(jī)制而形成的一種全局尋優(yōu)算法，其本質(zhì)上是一種基于概率的隨機(jī)搜索算法。遺傳算法具有以下優(yōu)點(diǎn)：通用性；并行性；簡單性和可操作性；穩(wěn)定性和全局性。本文中將使用遺傳算法來求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，圖3 所示為遺傳算法的流程圖。

圖3 遺傳算法流程圖

2.4 尺度綜合算例

本例中指定的立方體邊長為2a=500mm，機(jī)構(gòu)參數(shù)的變化范 圍 為L1∈[100，1000]，L2∈[100，1000]，r ∈[20，200]，D ∈[100，1000]。遺傳算法的相關(guān)參數(shù)如表1 所示，在求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解時(shí)，本文使用了MATLAB 軟件中的遺傳算法工具箱。由遺傳算法尋優(yōu)獲得的Delta 機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)為：L1=577.66mm，L2=311.85mm，r=50.00mm，H=250.00mm。

圖4a 和圖4b 分別表示以立方體上下表面為截面的Delta機(jī)構(gòu)工作空間截面俯視圖。由圖4a 可知，指定立方體上表面四個(gè)頂點(diǎn)均處于Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間中，而圖4b 中指定立方體下表面左側(cè)兩頂點(diǎn)已處于Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間的邊界上。因此，由遺傳算法尋優(yōu)獲得的該組Delta 機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)，其工作空間中包含指定的立方體且Delta 機(jī)構(gòu)的尺寸已達(dá)最小值。

表1 遺傳算法相關(guān)參數(shù)

圖4 給定工作空間上下表面截面圖

3 結(jié)論

本文對(duì)指定工作空間的Delta 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)優(yōu)化問題進(jìn)行了研究，提出一種基于機(jī)構(gòu)約束方程與指定工作空間邊界點(diǎn)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度優(yōu)化方法。在目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)過程中使用遺傳算法，該算法對(duì)搜索空間和目標(biāo)函數(shù)沒有特殊要求，具有很好的魯棒性和全局最優(yōu)性。