張曉慧 馮 源 曹月靜

（太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 晉中 030619）

1 引言

多屬性群決策理論是研究關(guān)于離散的有限個方案的決策問題，是系統(tǒng)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)、管理社會學(xué)等領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題，其目標(biāo)是對方案進(jìn)行排序，并最終根據(jù)序關(guān)系選擇最優(yōu)方案［1］。文獻(xiàn)［2］中提到，其中si表示第i個方案的綜合評價值，wk表示第k個專家的權(quán)重，uj表示方案的第 j個屬性權(quán)重，ri(jk)是第k個專家給出的客觀測評值。最優(yōu)方案的選擇取決于綜合評價值的大小，而綜合評價值的計算必須確定專家權(quán)重與屬性權(quán)重。

利用優(yōu)化的方法確定專家權(quán)重與屬性權(quán)重日益廣泛，不少文獻(xiàn)中提出的最小偏差法［3］、基于離差最大化方法［4］、基于方差最大化方法［5～6］、基于最小最大偏差的方法［7］等。結(jié)合OWA算子通過建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的優(yōu)化方法也是決策問題的一個研究分支。有序加權(quán)平均算子（OWA）最早由Yager［8］在1988年提出的，經(jīng)過多位學(xué)者的后續(xù)研究，相繼提出有序加權(quán)幾何平均算子（OWG）［9］、有序加權(quán)調(diào)和平均算子（OWHA）［10］、廣義有序加權(quán)平均算子（GOWA）［10］等。結(jié)合（OWA）算子計算權(quán)重的優(yōu)化方法如最小最大不一致方法［11］，Gholam R.Amin等在2006年的拓展的最小最大不一致方法［12］，拓展的為獲取OWA算子權(quán)重向量提出的兩種新方法［13］，AlimEmrouzejad等在2010年提出改進(jìn)的最小最大不一小最大不一致方法［14］。

然而，上述所提幾種利用OWA算子求解權(quán)重向量的方法并不是基于客觀決策數(shù)據(jù)如文獻(xiàn)［11～13］，而是只與位置有關(guān)的一種求解方法；文獻(xiàn)［4～7］中基于離差和方差的優(yōu)化方法在計算方案綜合評價值時沒有用到OWA算子。因此在本文中，提出了一種通過建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型并結(jié)合OWA算子的新方法，對于屬性權(quán)重完全未知的情形，給出一種基于決策數(shù)據(jù)本身，利用最小偏差最大化的思想建立目標(biāo)規(guī)劃模型，該模型能更大程度上反映客觀決策結(jié)果，并實(shí)現(xiàn)多屬性群組決策問題的排序。

2 基于離差最大化的幾個模型

王應(yīng)明1998年在文獻(xiàn)［4］中提出利用離差最大化的方法來確定屬性權(quán)重：

其中，wj表示屬性權(quán)重，目標(biāo)函數(shù)表示對于全部的n個屬性，所有決策方案與其他決策方案的總離差達(dá)到最大。

基于上述模型，針對屬性權(quán)重部分已知的多屬性決策問題，徐澤水2001年在文獻(xiàn)［5］中提出了一種方差最大化方法：

上述目標(biāo)函數(shù)表示所有m個決策方案與其他決策方案對于全部屬性的總方差達(dá)到最大。

萬樹平2009年在文獻(xiàn)［7］中提出的基于最小最大偏差的屬性權(quán)重確定優(yōu)化模型：

3 基于最大最小偏差的多屬性群決策方法

3.1 問題描述

表1 方案決策信息

3.2 理論基礎(chǔ)

在某個屬性下若各備選方案的偏好信息越接近，則該屬性對各備選方案的決策和排序引起的差異越小，所以該屬性應(yīng)被賦予較小的權(quán)重。Zeleny曾在文章［15］中提出：如果所有備選方案在同一個屬性下具有相同的屬性值，則大多數(shù)決策者認(rèn)為該屬性對方案的決策和排序沒有影響。相反，如果各方案在某個屬性下的屬性值差異比較顯著，那么該屬性應(yīng)被賦予更大的權(quán)重，這是因?yàn)樵搶傩詫溥x方案的決策和排序具有更大的影響。因此，所求最優(yōu)權(quán)重應(yīng)使得所有屬性值的差異最大化，若在同一個屬性下，將第 i個方案 (i=1，2，…，m-1)與第 l個方案(l=i+1，…，m)屬性值的最小差異最大化，則對于全部的n個屬性，本文構(gòu)造了一個目標(biāo)函數(shù)，利用同一屬性下兩個不同方案之間的屬性值最小偏差最大化的思想建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，則此時得到的最優(yōu)權(quán)重是對方案排序作用最明顯的。

且僅依據(jù)決策數(shù)據(jù)本身的差異性來反映權(quán)重，沒有過多的對數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，保留了數(shù)據(jù)的原始信息。

舉例：以下述決策信息表為例，用模型（7）解屬性a1與a2的權(quán)重。

模型如下：

ekA1A2 A3 A4 a15832 a26484

求解模型（7）得到最大最小偏差方法的最優(yōu)權(quán)重向量，該模型能夠提供一個統(tǒng)一的權(quán)重向量，減少不合理的集結(jié)結(jié)果對決策結(jié)果準(zhǔn)確性的影響，該模型簡單且用lingo軟件易于求解。

3.3 基于最大最小偏差的多屬性群決策步驟

步驟一：標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣。為了消除不同物理量綱對決策過程的影響，有必要對不同量綱的決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化，規(guī)范化后的決策矩陣表示為，其中，k=1，2，…，t。屬性類型一般可分為效益型、成本型、固定型等，效益型是指屬性值越大越優(yōu)的屬性；成本型是指屬性值越小越優(yōu)的屬性，固定型指屬性值越接近某個固定值αj越優(yōu)的屬性。

其中，對于效益型屬性：

由于每個專家自身的認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)不同，因而導(dǎo)致對屬性的賦權(quán)也不同，因此有必要計算每個專家對各個屬性賦予的權(quán)重值。

步驟四：由于b~ij表示第 j位專家對第i個方案的綜合評價值，然而對于專家 j而言，若各個備選方案評判值差異越小，則該專家對方案的決策和排序所起的作用比較小，應(yīng)給該專家賦予較小的權(quán)重。所以，最優(yōu)專家權(quán)重的選取應(yīng)使各方案間差異最大。因此，將模型（7）應(yīng)用于綜合決策矩陣B來確定決策者最優(yōu)權(quán)重W=(w1，w2，…，wt)T，滿足

步驟六：根據(jù)綜合評價值s~i的大小進(jìn)行降序排列，以s~i越大則方案越優(yōu)為原則，對方案xi進(jìn)行排序并選擇最優(yōu)方案，其中i=1，2，…，m。

需要注意的是，若專家決策信息表中，同一列有相同的屬性值，則認(rèn)為這樣的屬性值在方案排序時沒有起到作用，在求解過程中對權(quán)重的貢獻(xiàn)為0，因此，在計算過程中將其去除，忽略不計，轉(zhuǎn)而求解在同一列中有差異的屬性值。

這里所提出的基于最大最小偏差的決策方法是結(jié)合OWA算子來計算方案綜合排序，并且同時可以得到最優(yōu)屬性權(quán)重向量與最優(yōu)專家權(quán)重向量。

4 實(shí)例分析

以研究生論文答辯等級排序的多屬性群決策問題為例。對四位研究生記為xi(i =1，2，3，4 )，作為決策問題的四個備選方案，考慮他們以下幾個方面：a1為學(xué)術(shù)水平與實(shí)際能力；a2為論文撰寫質(zhì)量；a3為綜合應(yīng)用基礎(chǔ)理論能力；a4為內(nèi)容陳述及回答問題情況，這四項指標(biāo)作為決策問題的四個屬性，五位評審老師分別為專家 e1，e2，e3，e4，e5就上述 四 個 指 標(biāo) aj( j -1，2，3，4 ) 對 四 位 學(xué) 生xi(i =1，2，3，4 )給出評價結(jié)果，他們的偏好信息通過百分制系統(tǒng)來反映，見表2～6。

下述應(yīng)用本文所提方法對備選方案排序并擇優(yōu)，具體步驟如下。

步驟1由于決策者偏好信息是由百分制系統(tǒng)來反映，量綱統(tǒng)一，所以不需要對決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，所以

步驟2通過模型（7）計算5位決策者提供的決策矩陣中的屬性權(quán)重向量，以第一個決策者矩陣為例，模型（7）可以重新寫為

則模型（7）的最優(yōu)解為

u1=0.333，u2=0.167，u3=0.333，u4=0.167，δ=0.333（保留小數(shù)后三位所得），則第一個決策者最優(yōu)屬性權(quán)重向量如下：

分別對其他四位專家提供的矩陣應(yīng)用模（7）則得到下述不同決策者最優(yōu)屬性權(quán)重向量：

由此得屬性權(quán)重矩陣：

上述模型的最優(yōu)解為w1=0.192，w2=0.145，w3=0.32，w4=0.229，w5=0.114，δ=0.032（保留小數(shù)后三位所得），因此，最優(yōu)專家權(quán)重向量為

步驟5對綜合決策矩陣應(yīng)用OWA算子進(jìn)行集結(jié)：

得到方案xi的綜合評價值

步驟6根據(jù)綜合評價值s~i的大小比較，得到降序排列如下：

步驟7通過對s~i的排序獲得方案xi的排序結(jié)果：

通過排序可以看出，最優(yōu)學(xué)生是x1。

表2 決策信息(e1)

表3 決策信息(e2)

表4 決策信息(e3)

表5 決策信息(e4)

表6 決策信息(e5)

4.1 多種方法的比較研究

應(yīng)用文獻(xiàn)［16］中所提出的群組決策方法，經(jīng)過計算得到的專家權(quán)重為 w1=0.215，w2=0.184，w3=0.206，w4=0.195，w5=0.2，結(jié)合文獻(xiàn)給出的先驗(yàn)屬性值30%，10%，30%，30%，應(yīng)用加權(quán)平均公式計算方案的綜合評價值，計算結(jié)果是s~1=6.013，s~2=5.012，s~3=5.466，s~4=5.589，因此方案排序結(jié)果是：x1?x4?x3?x2。

經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)，本文的方法與文獻(xiàn)［16］所提方法排序結(jié)果是一致的。但是，文獻(xiàn)［16］中的方法涉及到調(diào)整因子α的選取，而且屬性的取值是用給定的先驗(yàn)值，若在無先驗(yàn)知識的情況下，則要對屬性賦等權(quán)值，因而具有一定的主觀性［17］。而本文所提的方法最大程度依據(jù)決策數(shù)據(jù)本身，通過決策數(shù)據(jù)間客觀聯(lián)系解決決策問題，是一種完全的客觀賦權(quán)法，更能夠反映客觀實(shí)際。

另外，從方法的適用范圍角度分析，文獻(xiàn)［4～5，7］中所提及的多屬性決策方法，僅適用于單一專家決策系統(tǒng)，對于群組決策問題并不適用。因?yàn)椴煌臎Q策信息表都會得到不同的方案排序情形，而文獻(xiàn)中并沒有給出如何將多個決策信息表中求解的信息進(jìn)行綜合。因此，本文的多屬性群決策方法是對文獻(xiàn)［4～5，7，16］的改進(jìn)。

4.2 模型風(fēng)險性的評估

對文中建立的模型做進(jìn)一步評估。根據(jù)客觀實(shí)際，考慮專家權(quán)重未知的情形，假設(shè)上述實(shí)例中，實(shí)際的t位專家的權(quán)重分別為(i =1，…，5) ，wi是應(yīng)用本文的模型所得專家權(quán)重(i =1，…，5) ，因此，利用最大熵原理，用最大熵作為目標(biāo)函數(shù)，為約束條件構(gòu)造非線性規(guī)劃模型，α為一個非負(fù)數(shù)，且不超過，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)情形中每一位專家理想的狀態(tài)下都應(yīng)被賦予權(quán)重。因此，構(gòu)造的模型如下：

5 結(jié)語

本文提出的基于最大最小偏差的多屬性群組決策方法不僅是對文獻(xiàn)［4～5，7，16］的改進(jìn)，同時還具有如下特點(diǎn)：1）充分利用客觀信息，無論對于專家賦權(quán)還是屬性賦權(quán)，都是從決策數(shù)據(jù)本身出發(fā)，避免了主觀因素對決策結(jié)果造成的風(fēng)險；2）最大化最小偏差的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，不僅求解較為容易，而且能夠求得最優(yōu)專家權(quán)重與最優(yōu)屬性權(quán)重；3）結(jié)合OWA算子計算方案綜合評價值并排序區(qū)別于已有的參考文獻(xiàn)；4）盡管研究的是方案偏好信息為實(shí)數(shù)的情形，但是該方法可以進(jìn)一步拓展到區(qū)間型、模糊型、語言型等領(lǐng)域。這將會在后續(xù)研究中進(jìn)一步探討。