周軍高
環(huán)形路上的相遇問題,是二元一次方程組在實(shí)際應(yīng)用中的經(jīng)典問題之一.由于其規(guī)律的隱蔽性特征,使得部分初學(xué)者在分析理解上無所適從,下面,我們從教科書上一道習(xí)題入手,通過深入思考,希望幫同學(xué)們尋找環(huán)形路上相遇問題隱含的規(guī)律,以便迅速準(zhǔn)確解決相關(guān)問題.
例 (人教版數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)第111頁(yè)第6題)甲、乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步,如果同時(shí)同地出發(fā),相向而行,每隔2分鐘相遇一次;如果同向而行,每隔6分鐘相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙兩人每分鐘各跑多少圈?
【反思1】上述方程組的建立,源于環(huán)形路上相遇問題所隱含的兩個(gè)規(guī)律性特征:兩人在環(huán)形路上同時(shí)同地出發(fā),都以不變的速度跑步,如果相向而行,首次相遇時(shí),他們所跑的路程和等于環(huán)行路一圈的長(zhǎng);如果同向而行,首次追上時(shí),他們所跑的路程差等于環(huán)行路一圈的長(zhǎng),有了以上認(rèn)識(shí),我們很容易得到另外兩種解法.
【反思2】把上述結(jié)論作為條件,探索下面的問題,
甲、乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步,甲每分鐘跑÷圈,乙每分鐘跑1/6圈.(1)若甲、乙兩人從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)相向而行,經(jīng)過幾分鐘首次相遇?(2)若甲、乙兩人從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)同向而行,經(jīng)過幾分鐘兩人首次相遇?
【反思4】甲、乙兩人從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)同向而行,經(jīng)過6分鐘兩人首次相遇,此時(shí),甲、乙兩人所跑的路程分別為2圈、1圈,顯然都回到了點(diǎn)A.于是我們得到了一個(gè)結(jié)論:甲、乙兩人從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)同向而行,每次相遇(追上)都在出發(fā)點(diǎn)A.此時(shí)有一個(gè)疑問:若條件發(fā)生變化,此結(jié)論還成立嗎?
我們先看一道題:
甲、乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步,他們從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)同向而行,甲每分鐘跑1/5圈,乙每分鐘跑1/8圈,甲第1次追上乙時(shí)是否在出發(fā)點(diǎn)A?若是,請(qǐng)求出他們所經(jīng)歷的時(shí)間;若不是,請(qǐng)求出這兩人最少用多少分鐘在點(diǎn)A相遇.
【反思5】注意,這個(gè)問題還有另外一種簡(jiǎn)單解法:設(shè)兩人經(jīng)過x分鐘在點(diǎn)A相遇,則甲、乙兩人所跑的路程分別為1/5x圈、1/8x圈.若在點(diǎn)A相遇,則甲、乙兩人所跑的路程都是整數(shù)圈,所以x必須是5和8的公倍數(shù),而x的最小值為5和8的最小公倍數(shù),所以這兩人最少用40分鐘在點(diǎn)A相遇,
受此啟發(fā),可以將上述研究拓廣得到下面的結(jié)論.
甲、乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步,甲跑完1圈需要m分鐘,乙跑完1圈需要n分鐘(m
中學(xué)生數(shù)理化·七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版2020年5期