”或“≥”或“≤”等表示不等關系的式子,叫作不等式.不等式有兩類:一類是不等式中不含有字母,比如3>2.一33,1/2x含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫作一元一次不等式.我們看一元一次不等式x+2>3,當x取2,3,4,…"/>
王宗信
現(xiàn)實世界和日常生活中存在大量涉及不等關系的問題.對于這些問題,我們常常要把比較的對象數(shù)量化,分析其中的不等關系,列出相應的數(shù)學式子——不等式(組),并通過解不等式(組)而得出結論.這樣的思路與利用方程(組)研究相等關系是類似的.
一、認識不等式
用符號“<”或“>”或“≥”或“≤”等表示不等關系的式子,叫作不等式.
不等式有兩類:
一類是不等式中不含有字母,比如3>2.一3<一1.另一類是不等式中含有字母,比如x+2>3,1/2x<5.
含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫作一元一次不等式.
我們看一元一次不等式x+2>3,當x取2,3,4,…(只要這些值大于1都可以)時,不等式x+2>3都成立,與方程的解類似,我們把使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解.我們還可以發(fā)現(xiàn),一元一次不等式的解有無數(shù)個,一般地,一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成這個不等式的解集.
二、解一元一次不等式
求不等式的解集的過程叫作解不等式.
解方程的依據(jù)是等式的性質:(1)等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)(或同一個整式),所得的結果仍是等式;(2)等式兩邊都乘(或除以)同一個不等于0的數(shù),所得的結果仍是等式.求方程的解就是要把方程變形為x=a的形式.
類似地,解一元一次不等式也要依據(jù)不等式的性質:
(1)不等式兩邊加(或減)同一式子),不等號的方向不變;
(2)不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變;
(3)不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.比如3>2,兩邊同乘以-1.左邊的數(shù)變?yōu)?3,右邊的數(shù)變?yōu)?2,它們的大小關系與原來左右兩邊數(shù)的大小關系反過來了,不等號必須改變方向,
解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟幾乎相同:去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.不同的地方是:當不等式系數(shù)化為1時,如果不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號要改變方向!另外同學們要養(yǎng)成用數(shù)軸來表示不等式的解集的習慣,這會為后續(xù)學習不等式組打下堅實的基礎.
例1解不等式x+1/6≥x-2/4 +1,并在數(shù)軸上表示解集.
解析:去分母(不等式兩邊同乘以12),得2(x+l)≥3(x-2)+12.去括號,得2x+2≥3x-6+12.移項,得2x-3x≥-6+12 -2.合并同類項,得-x≥4.系數(shù)化為1,得x≤-4.(根據(jù)不等式的性質3,不等式兩邊同乘-1,不等號要改變方向)
這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖1所示.
提醒:解此不等式與解一元一次方程x+1/6=x-2/4 +1的步驟大致相同:去分母、去
括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.前四步與解方程的注意事項一樣:①去分母時,不等式兩邊都乘最小公分母12,不要漏乘.②去括號時,利用分配律展開,既不要漏乘,還要注意符號是否需要變號.③移項要注意變號.④合并同類項同樣要細心.特別地,系數(shù)化為1時,不等式兩邊同乘一1,不等號要改變方向.在數(shù)軸上表示不等式的解集時,因為本題中-4是不等式的解,所以在表示-4的點上畫實心圓點,解不等式每一步都需要小心謹慎!
三、解一元一次不等式
例2已知一個鈍角的大小是(2x-70)o,求x的取值范圍.
解析:根據(jù)題意,得2x-70>90,2x-70<180°,把它們合起來,即2x-70>90,解第一
2x-70<180個不等式,得x>80,解第二個不等式得x<125.因為x既是第一個不等式的解集,同時又是第二個不等式的解集,所以x只能是兩個不等式解集的公共部分.兩個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖2所示.
這兩個不等式解集的公共部分是80
提醒:一般地,每一個一元一次不等式的解集有兩種可能,以含有兩個一元一次不等式的不等式組為例,第一個不等式的解集可能是x>a或者xc或者x
可以看出,當不等式組的解集為x>a的公共部分時,x>c其解集為較大者.可簡記為:同大取大.
對于(2)x
xd,b=d,b
通過上述的探究,我們得到的體會是:在解不等式組時,先分別求出其中各個不等式的解集,再在數(shù)軸上分別表示各個不等式的解集,利用數(shù)軸可以很直觀地看出這些不等式解集的公共部分,進而得到不等式組的解集.
中學生數(shù)理化·七年級數(shù)學人教版2020年6期