孫偉剛

“平面直角坐標(biāo)系”的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容包括確定平面上物體的位置的方法，平面直角坐標(biāo)系的建立，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用等.本章知識(shí)既是將數(shù)軸（一維直線）內(nèi)容向平面直角坐標(biāo)系（二維平面）內(nèi)容作進(jìn)一步擴(kuò)充和延伸，又是今后學(xué)習(xí)函數(shù)圖象、方程和不等式的基礎(chǔ)，更是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，其地位舉足輕重，為了幫助同學(xué)們更好地鞏固與提升這部分內(nèi)容.特整理出典型問(wèn)題的“偽解法”，供同學(xué)們潛心研究，深入思考，火眼破偽裝，去粗取精，去偽存真，金睛顯真功.

一、概念太模糊，理解想當(dāng)然

例1如圖1.寫出平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，

錯(cuò)解：點(diǎn)A的坐標(biāo)為2.點(diǎn)B的坐標(biāo)為-3.

【火眼破偽裝】本題要求點(diǎn)的坐標(biāo)，何謂“點(diǎn)的坐標(biāo)”？其概念表述為：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一點(diǎn)的位置可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示，這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)叫作點(diǎn)的坐標(biāo).緊抓“點(diǎn)的坐標(biāo)”的定義，點(diǎn)A、點(diǎn)B釣坐標(biāo)應(yīng)該都是用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示的，因此錯(cuò)解中的解答之所以錯(cuò)誤，原因就不言而喻了.

正解：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3）.

【金睛顯真功】初中數(shù)學(xué)中有大量的概念，它們是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，也是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和法則的邏輯基礎(chǔ).因此深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念特有的內(nèi)涵及外延至關(guān)重要.理解坐標(biāo)平面內(nèi)“點(diǎn)的坐標(biāo)”這一概念時(shí)，要突出“用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來(lái)表示”這個(gè)本質(zhì)特征，并有意與“如圖2.求數(shù)軸上點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)”這個(gè)問(wèn)題作比較，前者是將點(diǎn)A置于二維平面中，后者則是將點(diǎn)A置于一維直線上，乍看兩幅圖，點(diǎn)A都對(duì)應(yīng)著實(shí)數(shù)2，實(shí)則不同，前者點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），后者點(diǎn)A對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)2.如果對(duì)“點(diǎn)的坐標(biāo)”這一概念認(rèn)識(shí)模糊，理解出現(xiàn)偏差，就會(huì)出現(xiàn)像錯(cuò)解那樣想當(dāng)然的結(jié)果.這是非常可怕的.

二、思維欠嚴(yán)謹(jǐn)，解答不周全

例2在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-1），線段AB//x軸，且AB=3，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

錯(cuò)解：因?yàn)榫€段AB//x軸，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，均為一1.

由于AB=3，故將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，即得點(diǎn)B，也就是說(shuō)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，一1）.

【火眼破偽裝】本題還是求點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)這對(duì)有序?qū)崝?shù).由于線段AB∥x軸，根據(jù)平行于x軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，故可知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，均為-1，這點(diǎn)毋庸置疑！但如何求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)呢？錯(cuò)解中是這樣呈現(xiàn)的：由于AB=3，故將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，即得點(diǎn)B.平移確實(shí)是解決本題的好策略！但平移由方向和距離兩個(gè)要素來(lái)決定，距離倒是已知的，而方向明確嗎？難道只能向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度嗎？向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度行不行呢？在一連串的問(wèn)題中，思維的縝密性得到了鍛煉，問(wèn)題的“偽解法”終被火眼識(shí)破.

正解：因?yàn)榫€段AB//x軸，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，均為-1.

由于AB=3，故將點(diǎn)A向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，均可得到點(diǎn)B.

如圖3所示，若將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，-1）.

若將點(diǎn)A向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則得點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（-1，一1）.

因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，一1）或（-1，一1）.

【金睛顯真功】數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是指研究問(wèn)題時(shí)要嚴(yán)格遵守邏輯規(guī)則，做到概念清晰、判斷正確、推理有據(jù)，它反映了思維活動(dòng)中的嚴(yán)謹(jǐn)和縝密程度.而知識(shí)儲(chǔ)備不足、審題能力薄弱、解題習(xí)慣不好等都是造成考慮問(wèn)題不周全的重要原因.因此，我們要牢記“平移由方向和距離兩個(gè)要素來(lái)決定”這個(gè)知識(shí)，要能將問(wèn)題退化為如下的源頭問(wèn)題作思考：點(diǎn)A是一條直線上的定點(diǎn)，試在這條直線上畫線段AB=3，會(huì)出現(xiàn)哪幾種情況？（必要時(shí)可以畫出圖形直觀感知，如圖4所示）要能在解題完畢后養(yǎng)成檢驗(yàn)反思的好習(xí)慣……如果我們做到了，那么再美的“偽裝”終將被“打回原形”.

練一練

1.若坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A（m，n）在第四象限，則點(diǎn)B（n，m）在（

）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.若點(diǎn)P（m+3，m+1）在x軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）.

A.（0，-2）

B.（2，0）

C.（4，0）

D.（0，-4）

3.若點(diǎn)P（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是____.

4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若將點(diǎn)A（-2，3）向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是一.

5.如圖5，點(diǎn)A （-1，0），C（1，4），點(diǎn)B在x軸上，且AB=3.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并畫出△ABC.

（2）求△ABC的面積.

參考答案：

1.B 2.B 3.（-2，3） 4.（1，3）5.（1）（2，0）或（-4.0），圖略. （2）△ABC的面積為6.