趙國博, 葉國永, 史永勝, 尹 磊, 劉紅忠

(西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,陜西 西安 710049)

1 引 言

光柵位移傳感器因其良好的環(huán)境適應(yīng)性、緊湊的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、較低的價格成本等優(yōu)勢,已成為超精密工程中頗具活力和備受關(guān)注的跨尺度納米測量技術(shù)[1～4]。電子細(xì)分是基于對光柵系統(tǒng)的正弦電信號的內(nèi)插,是微米級柵距的反射式光柵實現(xiàn)亞微米級精度、納米級分辨率測量的有效途徑。近年來,隨著電子技術(shù)和細(xì)分方法的發(fā)展,細(xì)分技術(shù)日益成熟,理論上已可實現(xiàn)最高達(dá)16 380倍的細(xì)分。在細(xì)分倍數(shù)低于100倍的細(xì)分方法中,應(yīng)用比較廣泛的主要有移相電阻鏈細(xì)分法和矢量運(yùn)算法;在高倍細(xì)分方法中,應(yīng)用比較廣泛的主要有閉環(huán)跟蹤細(xì)分法[5～8]、反正切細(xì)分法[9～12]、幅值線性化細(xì)分法[13～17]等。細(xì)分倍數(shù)、細(xì)分精度和適應(yīng)性是評價電子細(xì)分方法性能的主要指標(biāo)。細(xì)分誤差是指一個柵距內(nèi)細(xì)分間隔的不均勻性誤差,其作為信號周期內(nèi)誤差,在早期的研究中一直沒有給予足夠的重視。隨著反射式光柵測量系統(tǒng)向亞微米級精度邁進(jìn),細(xì)分誤差在測量誤差中的比重已不容忽略,且細(xì)分誤差是非線性誤差,難以補(bǔ)償,已成為制約反射式光柵測量系統(tǒng)實現(xiàn)亞微米級精度、納米級分辨率測量的關(guān)鍵因素,是國內(nèi)外高精度光柵測量系統(tǒng)設(shè)計中面臨的共同難題。

細(xì)分誤差是由細(xì)分方法和信號質(zhì)量決定。實際應(yīng)用中,有效電子細(xì)分倍數(shù)受光柵信號質(zhì)量的限制,不考慮細(xì)分誤差而一味地提高電子細(xì)分倍數(shù)是沒有實際意義的[18]。為減小細(xì)分誤差,目前常規(guī)方法是通過電信號的實時修正來改善信號質(zhì)量[19～22]。在這些信號修正方法中,以Heydemann橢圓[21]修正算法應(yīng)用最廣。信號實時修正原理,是通過計算前幾個周期信號的特征參數(shù)來對后面的信號進(jìn)行修正。在小步距測量等場合,會由于信號特征參數(shù)不足而無法進(jìn)行信號修正,且修正誤差不可避免。針對反射式光柵測量系統(tǒng),由其敞開式機(jī)械結(jié)構(gòu)決定,反射式光柵表面易受灰塵、油污等污染,讀數(shù)頭與反射式光柵之間的位姿亦會產(chǎn)生隨機(jī)的微小波動,這均會引起光柵信號的隨機(jī)波動,此種情況下的光柵信號隨機(jī)波動亦難以通過信號實時修正電路進(jìn)行完美修正。

從另外一個角度考慮,提高細(xì)分方法對非理想光柵信號的適應(yīng)性,是減小細(xì)分誤差的另一條途徑。因此,設(shè)計新型的電子細(xì)分方法,使其在可以實現(xiàn)高倍細(xì)分的前提下,對非理想光柵信號具有可靠的調(diào)整功能和良好的適應(yīng)性,是實現(xiàn)亞微米級精度、納米級分辨率反射式光柵測量系統(tǒng)設(shè)計的關(guān)鍵技術(shù)。

2 線性化細(xì)分原理

結(jié)合反正切細(xì)分法和信號線性化細(xì)分法的優(yōu)點,本文提出一種對非理想光柵信號具有良好適應(yīng)性的高精度電子細(xì)分新方法。所提細(xì)分方法的原理如圖1所示,其對光柵信號的處理過程主要包括:對光柵正余弦信號VS(θ)和VC(θ)進(jìn)行預(yù)線性化處理,將高度非線性的正、余弦信號轉(zhuǎn)換為近似三角波信號V1(θ);構(gòu)建實時補(bǔ)償信號,對近似三角波信號V1(θ)進(jìn)行補(bǔ)償,得到近似理想三角波信號V1-n(θ);對近似理想三角波信號V1-n(θ)進(jìn)行辨向、細(xì)分運(yùn)算。

圖1 所提方法的基本原理Fig.1 Basic principle of proposed scheme

2.1 正弦信號的預(yù)線性化方法

如圖1所示,通過對原始信號VS(θ)、VC(θ)進(jìn)行求絕對值和比值運(yùn)算,可得到初步線性信號V1(θ):

(1)

式(1)表明,由于V1(θ)是基于比值運(yùn)算,其波形不受VS(θ)和VC(θ)幅值波動的影響。如圖2所示,V1(θ)為近似三角波信號,因此可以利用其幅值來線性計算位移。

圖2 V1(θ)與VTrig(θ)之間的波形偏差Fig.2 Waveform deviation between V1(θ) and VTrig(θ)

V1(θ)的線性度決定了位移計算的非線性誤差。理想三角波的表達(dá)式為:

(2)

V1(θ)與VTrig(θ)之間的波形偏差為:

E1(θ)=V1(θ)-VTrig(θ)

(3)

由圖2可得,偏差E1(θ)為周期函數(shù)且最大偏差max[E1(θ)]=9.05%。

2.2 實時補(bǔ)償信號的構(gòu)建

為了進(jìn)一步減小位移計算時的非線性誤差,需構(gòu)造一實時補(bǔ)償信號來進(jìn)一步提高V1(θ)的線性度。實時補(bǔ)償信號波形應(yīng)與E1(θ)相同。因此,首先應(yīng)分析E1(θ)的波形特征。由圖2可知,E1(θ)具有以下特征:(a)周期為 π ;(b)周期內(nèi)關(guān)于對稱軸對稱;(c)具有零點θ=nπ /4,其中n為整數(shù)。此外,為滿足補(bǔ)償信號的實時性,補(bǔ)償信號應(yīng)由光柵信號VS(θ)和VC(θ)來構(gòu)造。經(jīng)分析,|VS(θ)|×|VC(θ)|滿足條件(a)和(b),然而只有零點θ=(2n) π/4;而|VS(θ)|-|VC(θ)|具有零點θ=(2n+1)π/4。因此,|VS(θ)|×|VC(θ)|×(|VS(θ)|-|VC(θ)|)和|VS(θ)|×|VC(θ)|×V1(θ) 都可滿足補(bǔ)償信號的條件(a)～(c),二者之間的差別在于后者含有分母|VS(θ)|+|VC(θ)|。因此,補(bǔ)償信號的一般表達(dá)式可以寫為:

Cn(θ)=kn×

(4)

式中:kn為系數(shù);n為整數(shù),n=0,1,2,3。

式(4)中需要確定的參數(shù)為n和kn,其中n決定Cn(θ)的形狀,kn決定Cn(θ)的幅值。

補(bǔ)償后的信號V1-n(θ)為:

V1-n(θ)=V1(θ)-Cn(θ)

(5)

V1-n(θ)與理想三角波函數(shù)VTrig(θ)之間的波形偏差為:

E1-n(θ)=V1-n(θ)-VTrig(θ)=

E1(θ)-Cn(θ)

(6)

式(6)表明,為了使V1-n(θ)的波形更加接近理想三角波,應(yīng)使補(bǔ)償信號Cn(θ)的波形接近E1(θ)。顯而易見,波形形狀相近是Cn(θ)與E1(θ)波形相近的前提?；诖苏J(rèn)識,首先確定n值,使Cn(θ)的形狀盡量接近E1(θ)形狀;再確定kn值,使Cn(θ)的幅值接近E1(θ)的幅值。因此,計算歸一化的E1(θ)與歸一化的Cn(θ)之間的偏差,以忽略kn值的影響:

E1-n,N(θ)=norm[E1(θ)]-norm[Cn(θ)]

(7)

如圖3所示,n=2時,E1-2,N的值最小,即C2(θ)與E1(θ)的波形形狀最相近;n=3時,偏差E1-3,N的值雖然大于E1-2,N,但由式(4)可知n=3時,補(bǔ)償信號C3(θ)不受光柵信號VS(θ)和VC(θ)幅值波動的影響。因此,相比之下,C2(θ)的補(bǔ)償精度最高,而C3(θ)的對光柵信號幅值波動的適應(yīng)性較好,各有其優(yōu)勢。

圖3 不同n值下E1-n,N的波形Fig.3 Waveform of E1-n,N under different values of n

2.2.1 實時補(bǔ)償信號C2(θ)的構(gòu)建及補(bǔ)償效果

實時補(bǔ)償信號C2(θ)的參數(shù)k2的值可由式(6)確定,偏差E1-2(θ)的最大值為k2的函數(shù)。如圖4所示,當(dāng)k2=-0.757 9時,E1-2(θ)取得最小值且此時max[E1-2(θ)]=0.12%。此時,補(bǔ)償后的信號V1-2(θ)為:

圖4 E1-2(θ)的最大值與k2的關(guān)系Fig.4 The relationship between the maximum value of E1-2(θ) and k2

(8)

V1-2(θ)與理想三角波函數(shù)VTrig(θ)之間的波形偏差E1-2(θ)的波形如圖5所示。相比于圖2,補(bǔ)償信號C2(θ)使得輸出信號的線性度得到明顯改善,V1-2(θ)與理想三角波信號VTrig(θ)的偏差小于0.12%。

圖5 V1-2(θ)與VTrig(θ)之間的偏差Fig.5 Deviation between V1-2(θ) and VTrig(θ)

相對于補(bǔ)償信號C2(θ),雖然補(bǔ)償C3(θ)精度相對較低,但其不受光柵信號幅值波動的影響。特別適用于工況較差、信號幅值波動較大的場合。k3的值與E1-3(θ)的關(guān)系如圖6所示,當(dāng)k3取值-0.927時,E1-3(θ)取得最小值且此時max[E1-3(θ)]=0.78%。此時,補(bǔ)償后的信號V1-3(θ)為:

圖6 E1-3(θ)的最大值與k3的關(guān)系Fig.6 The relationship between the maximum value of E1-3(θ) and k3

(9)

V1-3(θ)與理想三角波函數(shù)VTrig(θ)之間的波形偏差E1-3(θ)的波形如圖7所示,V1-3(θ)與理想三角波信號VTrig(θ)的偏差小于0.78%。

圖7 V1-3(θ)與VTrig(θ)之間的偏差Fig.7 Deviation between V1-3(θ) and VTrig(θ)

2.3 細(xì)分及辨向計數(shù)原理

為了辨別讀數(shù)頭相對光柵尺的運(yùn)動方向,引入鑒向信號Bit(θ),其表達(dá)式為:

Bit(θ)=fS(θ)⊕fC(θ)

(10)

式中:fi(θ)為判別光柵信號Vi(θ)正負(fù)產(chǎn)生的控制信號。其定義如下:

(11)

在鑒向信號Bit(θ)的控制下,近似理想三角波信號V1-2(θ)或V1-3(θ)轉(zhuǎn)換為帶有方向信息的鋸齒波信號V2(θ):

(12)

圖8所示為光柵正反向運(yùn)動時,V2(θ)和Bit(θ)的波形圖。正向運(yùn)動時,V1-n(θ)轉(zhuǎn)換為具有正斜率的鋸齒波;反向運(yùn)動時,V1-n(θ)轉(zhuǎn)換為具有負(fù)斜率的鋸齒波。

“非遺”傳承保護(hù)的關(guān)鍵因素是人的因素，這是物質(zhì)文化遺產(chǎn)與“非遺”傳承保護(hù)的根本區(qū)別所在。就“非遺”而言，人在技在，人亡技亡，培養(yǎng)“人才”與“非遺”傳承保護(hù)同等重要。江蘇既要加大“非遺”傳承人的培養(yǎng)力度，提高他們傳承“非遺”的尊嚴(yán)感和幸福感，又要加強(qiáng)“非遺”管理人才的培養(yǎng)，指導(dǎo)他們用專業(yè)的思路、專業(yè)的眼光、專業(yè)的技能從事“非遺”管理工作。“非遺”人才培養(yǎng)要注重理論和實踐相結(jié)合，注重國際交流與國內(nèi)研討相結(jié)合，注重高校培養(yǎng)和專業(yè)培訓(xùn)相結(jié)合，以先進(jìn)的文化理論培養(yǎng)適應(yīng)新時代江蘇文化發(fā)展的專業(yè)化“非遺”傳承保護(hù)人才。

圖8 光柵正反向運(yùn)動時V2(θ)和Bit(θ)的波形圖Fig.8 Waveforms of V2(θ) and Bit(θ) when the grating is moving in forward and reverse directions

對于大于p/4(p為光柵尺柵距)的位移,采用整周期計數(shù)的方法計算位移。如圖9所示,當(dāng)正向運(yùn)動且在V2(θ)的下降沿處,生成正向計數(shù)脈沖UP, 當(dāng)反向運(yùn)動且在V2(θ)的上升沿處,生成反向計數(shù)脈沖DOWN。

圖9 整周期計數(shù)原理Fig.9 Principle of period counting

由于V2(θ)的幅值與位移值呈線性關(guān)系,小于p/4的位移可以線性計算為:

(13)

式(13)表明,可以通過對V2(θ)的幅值細(xì)分來提高θ2的分辨率;θ2的分辨率取決于V2(θ)的幅值分辨率,即細(xì)分倍數(shù)取決于A/D轉(zhuǎn)換器位數(shù)。采用12位的A/D轉(zhuǎn)換器(AD9 226),針對20 μm柵距的反射式光柵測量系統(tǒng),理論上分辨率優(yōu)于1 nm;然而受噪聲及信號質(zhì)量所限,一味地提高細(xì)分倍數(shù)并無太大實際意義,實際應(yīng)用中分辨率取為10 nm。最終,角位移θC計算為:

(14)

式中:NU為正向計數(shù)脈沖個數(shù)/個;ND為反向計數(shù)脈沖個數(shù)/個。

對應(yīng)的位移xC為:

(15)

3 細(xì)分精度及適應(yīng)性分析

3.1 細(xì)分方法的理論細(xì)分精度

由于V1-n(θ)并非完美的三角波信號,其與標(biāo)準(zhǔn)三角波VTrig(θ)的偏差如圖5和圖7所示,當(dāng)利用式(13)來線性計算位移時,會產(chǎn)生非線性誤差。利用V1-2(θ)來計算位移時,理論細(xì)分精度如圖10(a)所示,最大細(xì)分誤差為0.053°,針對20 μm的反射式光柵測量系統(tǒng),對應(yīng)的細(xì)分誤差為0.003 μm;當(dāng)利用V1-3(θ)來計算位移時,理論精度如圖10(b)所示,最大誤差為0.352 8°,針對20 μm的反射式光柵測量系統(tǒng),對應(yīng)的細(xì)分誤差為0.019 6 μm。

圖10 所提細(xì)分方法的細(xì)分原理誤差Fig.10 Principle error of the proposed method

3.2 細(xì)分方法對非理想信號的適應(yīng)性分析

細(xì)分方法的適應(yīng)性是指細(xì)分誤差對非理想光柵信號的敏感程度。實際應(yīng)用中,受各種因素的影響,光柵信號主要表現(xiàn)為以下5種誤差形式:幅值波動、幅值不等、直流偏置、相位不正交誤差和高次諧波失真。實際光柵信號可以表示為:

(16)

式中:A1、A2為信號幅值,V;F1、F2為表征信號波形的函數(shù),min(Fα) = -1,max(Fα) = 1;θ為與光柵位移x成正比的電信號相位角,rad;φ1、φ2為信號初始相位角,rad;B1、B2為信號直流偏置,V。

A3sin (3θ)+ΔB

(17)

式中:β為信號幅值波動系數(shù);ΔA1為信號幅值的偏離量,V;Δφ為信號相位偏離量,rad;A3為3次諧波信號的幅值,V;ΔB為信號直流偏置量,V。

將式(17)所表達(dá)的非理想光柵信號代入式(8)或式(9)得到線性化信號,再代入式(14)即可得位移值θC。光柵信號各參量的偏離值g引入的細(xì)分誤差為:

eg(θ)=θC-θ-θT

(18)

式中:θ為實際位移值,rad;θT為細(xì)分方法的理論誤差值,rad。

為了評估所提細(xì)分方法對非理想光柵信號的適應(yīng)性,在非理想光柵信號情況下,將所提細(xì)分方法的細(xì)分誤差,與反正切細(xì)分方法、絕對值加減法的細(xì)分方法進(jìn)行對比。針對20μm的反射式光柵測量系統(tǒng),細(xì)分誤差的對比結(jié)果如圖11所示。

圖11 細(xì)分方法對非理想光柵信號的適應(yīng)性的對比Fig.11 Comparison of the adaptability of subdivision methods to non-ideal grating signals

圖11表明,在相同信號誤差含量下,正余弦相減法對信號幅值波動和幅值不等誤差比較敏感;反正切細(xì)分法對信號直流偏置、相位偏離及高次諧波比較敏感。相比之下,本文所提細(xì)分方法對信號的這五項誤差都具有較高的抗干擾能力,因此工況條件下的適應(yīng)性更強(qiáng)。進(jìn)一步比較所提細(xì)分方法使用補(bǔ)償信號C2(θ)和C3(θ)時的細(xì)分誤差,亦會發(fā)現(xiàn):當(dāng)使用補(bǔ)償信號C3(θ)時,雖然細(xì)分誤差稍大,但抗干擾性強(qiáng),因此適用于要求高精度、工作環(huán)境較差的環(huán)境;當(dāng)使用補(bǔ)償信號C2(θ)時,雖然抗干擾性稍差,但細(xì)分原理誤差接近于0,因此適用于要求超高精度、工作環(huán)境適中的場合。

4 性能測試實驗

4.1 細(xì)分方法的軟硬件實現(xiàn)

實驗采用12位模數(shù)轉(zhuǎn)換器AD9226芯片將光柵信號VS(θ)和VC(θ)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號。為提高所提細(xì)分方法的實時性,采用FPGA實現(xiàn)所提細(xì)分方法的線性化、實時補(bǔ)償信號構(gòu)建、辨向、計數(shù)和細(xì)分運(yùn)算,得到位移值xC。所選用FPGA型號為Altera 公司的Cyclone Ⅳ系列的EP4CE30F23C8N,所使用開發(fā)軟件為QuartusⅡ 13.1,所使用開發(fā)語言為Verilog 硬件描述語言。

4.2 實驗結(jié)果

測試實驗中,采用實驗室現(xiàn)有高精度一維測量機(jī)實驗臺作為光柵測量系統(tǒng)的支撐平臺。采用Renishaw公司的XL-80激光干涉儀作為測量基準(zhǔn),對光柵測量系統(tǒng)進(jìn)行誤差標(biāo)定。實驗中,所用光柵尺為20 μm柵距的鋼帶光柵。細(xì)分誤差測試如圖12(a)所示,采用壓電驅(qū)動器(MTp-200/30, Core Tomorrow Co, China)產(chǎn)生微小步距位移,其最大輸出位移量為30 μm,產(chǎn)生的最大驅(qū)動力為1 800 N。壓電驅(qū)動定位平臺,其主要參數(shù)為:實測位移放大倍數(shù)為1.943倍;整個壓電驅(qū)動平臺的實測量程為48 μm,實測運(yùn)動步距/分辨率為3 nm。20 μm柵距的鋼帶光柵通過其背膠粘于壓電驅(qū)動定位平臺,隨壓電驅(qū)動定位平臺移動。

測試結(jié)果如圖12(b)和12(c)所示,當(dāng)使用實時補(bǔ)償信號C2(θ)時,所提細(xì)分方法的細(xì)分誤差小于0.08 μm;當(dāng)使用實時補(bǔ)償信號C3(θ)時,所提細(xì)分方法的細(xì)分誤差小于0.25 μm。

圖12 周期內(nèi)細(xì)分誤差測量實驗裝置與結(jié)果Fig.12 Experiment setup and results of error measurement in a period

5 結(jié) 論

針對信號實時修正方法在小步距測量和一些復(fù)雜工況環(huán)境下的局限性,從提高細(xì)分方法對非理想光柵信號的適應(yīng)性的角度出發(fā),提出了基于比值法和信號線性化法相結(jié)合的新型電子細(xì)分方法,構(gòu)建了2種實時補(bǔ)償信號以進(jìn)一步提高信號的線性度;詳細(xì)闡述了所提細(xì)分方法的細(xì)分原理,分析了其在非理想光柵信號輸入情況下的細(xì)分誤差;設(shè)計了基于高速AD和FPGA的細(xì)分計數(shù)模塊,實現(xiàn)了對光柵信號的2 000倍電子細(xì)分。通過實驗對所提細(xì)分方法的細(xì)分精度和適應(yīng)性進(jìn)行了測試,最終得出以下結(jié)論:

(1)所提細(xì)分方法對非理想光柵信號的適應(yīng)性明顯優(yōu)于常用的反正切細(xì)分法和正余弦絕對值相減細(xì)分法;(2)針對20 μm柵距的光柵測量系統(tǒng),根據(jù)所使用的實時補(bǔ)償信號的不同,所提細(xì)分方法的理論細(xì)分誤差分別為0.003 μm和0.019 6 μm;(3)實際光柵信號輸入情況下,根據(jù)所使用的實時補(bǔ)償信號的不同,所設(shè)計的細(xì)分計數(shù)模塊的細(xì)分誤差分別為0.08 μm和0.25 μm。