姚加林，皮珊

基于ARIMA模型的高鐵浮動(dòng)票價(jià)與票額分配優(yōu)化方法

姚加林，皮珊

(中南大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

針對(duì)我國(guó)鐵路單一的票價(jià)體系和確定性票額分配方式問題，探索高鐵列車票價(jià)與票額的綜合優(yōu)化方法；依據(jù)時(shí)間序列分析原理，考慮客流的隨機(jī)性，構(gòu)建ARIMA客流預(yù)測(cè)表達(dá)式，將該表達(dá)式嵌入Log-Linear需求與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式中，結(jié)合票價(jià)制定規(guī)則、列車定員等約束，構(gòu)建以鐵路運(yùn)輸收益最大為目標(biāo)的高鐵列車浮動(dòng)票價(jià)與票額分配綜合優(yōu)化模型；以G13列車為例進(jìn)行計(jì)算分析，算例結(jié)果表明該模型能提高鐵路運(yùn)輸收益，為高鐵票價(jià)與票額的綜合優(yōu)化提供一定參考依據(jù)。

ARIMA模型；客流量預(yù)測(cè)；Log-Linear需求函數(shù)；浮動(dòng)票價(jià)

目前，鐵路運(yùn)輸主要采用單一的票價(jià)體系，即以一定的客票票價(jià)率，采取遞遠(yuǎn)遞減的形式確定。而鐵路客票分配則是基于確定性的票額分配方式，一般按照擔(dān)當(dāng)局長(zhǎng)途旅客優(yōu)先的原則進(jìn)行初期分 配[1]。單一的票價(jià)體系與確定性的票額分配方式缺乏整體協(xié)同性，既不能對(duì)市場(chǎng)做出有效的判斷，也不能很好地提高鐵路運(yùn)輸收益。因此鐵路運(yùn)輸票價(jià)與票額的綜合優(yōu)化問題也成為鐵路運(yùn)營(yíng)管理領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究問題之一[2]。國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)票價(jià)、票額問題做了大量研究，劉帆洨等[3]通過對(duì)同一時(shí)期不同區(qū)間的旅客購(gòu)票需求強(qiáng)度進(jìn)行研究，提出了非線性回歸支持向量機(jī)的預(yù)測(cè)模型，以天為單位對(duì)區(qū)間內(nèi)旅客購(gòu)票需求進(jìn)行預(yù)測(cè)。Ciancimino等[4]研究了票額為確定型需求下的線性票額分配模型。William[5-6]等研究了基于乘客行為的席位控制策略，并與基于客流預(yù)測(cè)的控制策略進(jìn)行對(duì)比，分析2種策略的優(yōu)缺點(diǎn)。Ongprasert[7]從運(yùn)輸效益出發(fā)，考慮列車上座率以及旅客公平性，構(gòu)建鐵路運(yùn)輸效益模型。趙翔等[8]研究了不同列車多種停站方案的票額分配問題。張旭等[9]研究了民航競(jìng)爭(zhēng)影響下高速鐵路多等級(jí)定價(jià)動(dòng)態(tài)差別定價(jià)模型。胡萬(wàn)欣等[10]通過分析高速鐵路與民航運(yùn)輸之間的博弈關(guān)系，構(gòu)建了一個(gè)以社會(huì)福利最大為上層目標(biāo)，高鐵、民航企業(yè)效益為下層目標(biāo)的雙層規(guī)劃模型。但是這些研究都是獨(dú)立進(jìn)行，沒有將票價(jià)與票額結(jié)合起來，缺乏整體協(xié)同性。因此，學(xué)者們開始考慮研究票額與票價(jià)的綜合優(yōu)化問題。YOU[11]在客流預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上研究多級(jí)票價(jià)的制定問題。趙翔等[11]研究了高速列車折扣票價(jià)與票額分配組合優(yōu)化模型。宋文波等[13]基于收益管理理論，結(jié)合高鐵運(yùn)輸組織的特點(diǎn)，研究了高速鐵路單列車動(dòng)態(tài)定價(jià)與票額分配綜合優(yōu)化模型。上述票價(jià)與票額的綜合優(yōu)化研究成果中，對(duì)于客流的需求多假設(shè)服從正太分布或者泊松分布，對(duì)客流需求的隨機(jī)性考慮不足。此外，上述研究成果大多采用效用函數(shù)來表示客流量與票價(jià)之間的關(guān)系，而該函數(shù)靈敏度難以估計(jì)，且參數(shù)的選擇與確定需要大量樣本。為此，本文運(yùn)用時(shí)間序列分析法，將客流量分類為具有規(guī)律性和季節(jié)性的客流量(確定項(xiàng))和隨機(jī)客流量(隨機(jī)項(xiàng))，采用ARIMA模型擬合得到客流預(yù)測(cè)表達(dá)式，引入Log-Linear指數(shù)需求函數(shù)來表達(dá)票價(jià)與票額之間的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合票價(jià)制定、列車定員要求等各類約束，構(gòu)建基于ARIMA模型的高鐵列車浮動(dòng)票價(jià)與票額分配的綜合優(yōu)化模型，并以京滬高鐵G13次列車為例進(jìn)行計(jì)算分析。

1 模型構(gòu)建

1.1 問題描述

高速鐵路運(yùn)輸是一個(gè)具有多OD，多區(qū)段的復(fù)雜運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，本文重點(diǎn)研究單列車的浮動(dòng)票價(jià)與票額分配問題。圖1表示某列車的運(yùn)行徑路，從始發(fā)站a出發(fā)，經(jīng)過中間?？空綽和c，到達(dá)終點(diǎn)站d。高鐵列車浮動(dòng)票價(jià)與票額分配就是依據(jù)各OD旅客在不同票價(jià)下對(duì)于運(yùn)輸?shù)男枨?，充分利用列車席位能力進(jìn)行各OD票額分配，最終使鐵路運(yùn)輸收益達(dá)到最大的目的。

圖1 列車運(yùn)行徑路

1.2 需求函數(shù)參數(shù)和預(yù)測(cè)表達(dá)式的確定

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，一種商品的需求是指消費(fèi)者在一定時(shí)期內(nèi)在各種可能價(jià)格水平下，愿意而且能夠購(gòu)買的該商品數(shù)量。而需求函數(shù)則表示一種商品的需求數(shù)量和影響該需求數(shù)量的各種因素之間的相互關(guān)系，是一個(gè)多元函數(shù)[14]。本文中所涉及的票額即為需求，票價(jià)即為價(jià)格。

常用表示價(jià)格與需求的函數(shù)有線性需求函數(shù)、指數(shù)需求函數(shù)和logit需求函數(shù)。而指數(shù)函數(shù)中的Log-Linear函數(shù)的需求值恒為正數(shù)，因此無(wú)需考慮需求的取值而對(duì)票價(jià)范圍進(jìn)行額外的約束。基于此考慮，本文采用Log-Linear需求函數(shù)來描述需求與價(jià)格之間的關(guān)系，Log-Linear需求函數(shù)的一般表達(dá)式為：

其中：表示需求密度；表示價(jià)格彈性，反映一定時(shí)期內(nèi)當(dāng)一種商品的價(jià)格變化1%時(shí)所應(yīng)引起的該商品需求量變化的百分比。p表示實(shí)際票價(jià)，通過12306鐵路官方售票軟件查詢可知，表示高鐵定價(jià)。

考慮到本文研究的是單位時(shí)間(1 d)內(nèi)票額需求量與高鐵票價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系，因此將該表達(dá)式中需求密度用需求期望值(x)代替計(jì)算，而需求期望值(x)則采用ARIMA模型預(yù)測(cè)得出，改造后的需求函數(shù)表達(dá)式為：

1.3 浮動(dòng)票價(jià)與票額分配綜合優(yōu)化模型

其中：x表示列車在區(qū)間()的票額分配數(shù)；p表示列車在()區(qū)間的定價(jià)；A表示區(qū)間OD占用情況，為0-1變量，列車占用區(qū)間()取值為1，否則為0；C表示列車在區(qū)間()的能力約束，即列車定員數(shù)；而p表示OD各區(qū)段票價(jià)之和；p表示OD任意一區(qū)段票價(jià)。式(4)表示列車定員約束；式(5)表示票價(jià)和票額的函數(shù)關(guān)系，(X)為區(qū)間()用ARIMA客流量預(yù)測(cè)得出的票額期望值，p表示某區(qū)間實(shí)際票價(jià)，表示OD間票價(jià)的價(jià)格彈性系數(shù)；式(6)表示票額的整數(shù)約束；式(7)表示票價(jià)的浮動(dòng)范圍；式(8)表示組成該OD的各分區(qū)段運(yùn)價(jià)之和大于該OD的票價(jià)，式(9)表示該OD票價(jià)要大于組成此OD的票價(jià)之和減去任一區(qū)段票價(jià)，2式一起表示票價(jià)制定中遞遠(yuǎn)遞減的規(guī)則。

2 ARIMA模型求解

在進(jìn)行ARIMA模型擬合前，首先需對(duì)原始序列進(jìn)行分析，判斷序列是否規(guī)律性變化以及是否為長(zhǎng)期增長(zhǎng)趨勢(shì)。其次，依據(jù)時(shí)間序列分析原理可知，序列的前后數(shù)據(jù)之間存在時(shí)間上的相依性，因此在進(jìn)行模型擬合時(shí)應(yīng)當(dāng)選取同一趨勢(shì)的相連數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)時(shí)間序列模型是將隨機(jī)項(xiàng)納入預(yù)測(cè)誤差范圍，由于預(yù)測(cè)誤差范圍波動(dòng)較大，本文將隨機(jī)客流納入ARIMA預(yù)測(cè)模型中。

差分自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA模型)是將非平穩(wěn)的時(shí)間序列進(jìn)行差分平穩(wěn)化后，結(jié)合模型確定規(guī)則，構(gòu)建合適的時(shí)間序列模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)分析的方法，一般記作：ARIMA(,,)，其中為自回歸項(xiàng)，為差分項(xiàng)，為移動(dòng)平均項(xiàng)。

以G13次列車2015年客票銷售數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析，確定預(yù)測(cè)表達(dá)式，具體方法步驟如下：

Step 1：分析原始序列是否具有的季節(jié)變化規(guī)律及長(zhǎng)期增長(zhǎng)趨勢(shì)，若沒有，則不適合使用時(shí)間序列分析法。

首先對(duì)各OD進(jìn)行客流分析，由圖2可知，G13次列車運(yùn)輸旺季在寒暑假2個(gè)時(shí)期，運(yùn)輸?shù)驹?月和9月，存在季節(jié)性規(guī)律且客流量總體呈增長(zhǎng)的趨勢(shì)。

Step 2：檢驗(yàn)原始序列的平穩(wěn)性。若原始序列不平穩(wěn)，則需要進(jìn)行差分處理，并再次進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，直至序列平穩(wěn)。

對(duì)G13次高鐵2015年票額銷售的分析可知，該序列波動(dòng)較大(圖3所示)，需要做差分處理，使數(shù)據(jù)平穩(wěn)化，該序列經(jīng)過一階差分處理后為平穩(wěn)時(shí)間序列(圖4)，此時(shí)該序列值為1。

圖2 G13次列車2015年各月客流量

圖3 客票銷售原序列

圖4 一階差分序列

Step 3：模型識(shí)別與參數(shù)估計(jì)。利用SPSS軟件進(jìn)行擬合，通過自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖，分析ACF和PACF截尾或拖尾的情況：若序列的PACF是截尾，而ACF是拖尾，則序列選取AR模型；若PACF是拖尾，而ACF是截尾，則序列選取MA模型；若PACF和ACF均是拖尾，則序列選取ARMA模型。再結(jié)合選取BIC最小系數(shù)原則，最終確定和值。

截取G13次列車北京南?上海虹橋區(qū)段2015年6~8月數(shù)據(jù)，利用SPSS軟件進(jìn)行進(jìn)一步擬合，預(yù)測(cè)。最終得到的自相關(guān)函數(shù)(圖5)和偏自相關(guān)函數(shù)(圖6)，差分后的序列ACF呈一步截尾，PACF呈一步截尾。最終擬合結(jié)果顯示為ARIMA(0,1,1)的BIC系數(shù)最小為7.978，移動(dòng)平均系數(shù)為0.193，常數(shù)項(xiàng)為6.169。因此可知確定項(xiàng)的表達(dá)式為：

圖6 偏自相關(guān)函數(shù)圖

Step 4：假設(shè)檢驗(yàn)。判斷殘差的自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖，若為白噪聲序列，則模型通過檢驗(yàn)，同時(shí)，對(duì)殘差分布進(jìn)行擬合，確定其分布函數(shù)的各項(xiàng)參數(shù)。G13列車殘差擬合分布為圖7所示。

圖7 殘差自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖

最終擬合的隨機(jī)項(xiàng)符合均值為?0.25，標(biāo)準(zhǔn)差為1.604的正態(tài)分布。因此隨機(jī)項(xiàng)的表達(dá)式為：

Step 5：預(yù)測(cè)分析。確定客流預(yù)測(cè)的基本表達(dá)式(同式(3))。

綜上可知，G13次列車北京南?上海虹橋區(qū)段的客流量預(yù)測(cè)模型為：

關(guān)于利用SPSS統(tǒng)計(jì)分析軟件對(duì)ARIMA模型擬合的詳細(xì)過程參見文獻(xiàn)[15?16]。

3 案例分析

以京滬線上2015年北京南至上海的G13次列車為例計(jì)算，該列車的運(yùn)行線路上有4個(gè)客運(yùn)站，分別為北京南、濟(jì)南西、南京南和上海虹橋。G13次列車2等座定員871人。列車票價(jià)以2等座票價(jià)為基礎(chǔ)，上浮動(dòng)值為5%，下調(diào)10%，四舍五入取值，如表1所示。

G13次列車各OD間客流量預(yù)測(cè)表達(dá)式依照第2節(jié)中所介紹的預(yù)測(cè)方法同理得出，同時(shí)，基于該表達(dá)式計(jì)算出8月1日各OD間預(yù)測(cè)客流量，如表2所示。

表1 G13次列車票價(jià)及票價(jià)調(diào)整范圍

表2 G13次列車客流量預(yù)測(cè)表達(dá)式

各OD間需求彈性系數(shù)參考文獻(xiàn)[17]取值，如表3所示。

運(yùn)用Lingo軟件進(jìn)行編程求解，得到票額分配和最終定價(jià)結(jié)果?？偸找鏋?94 297元。從表4可以看出，G13次列車總收益對(duì)比沒進(jìn)行浮動(dòng)票價(jià)措施的情況增長(zhǎng)了3.79%；客座率在優(yōu)化后達(dá)到98.06%，列車運(yùn)能得到充分利用；北京南?南京南和南京南?上海虹橋區(qū)段的客票分配較少，客流滿足率低，一方面是因?yàn)楸疚牡哪繕?biāo)函數(shù)是各區(qū)段收益總和最大，而北京南?濟(jì)南、濟(jì)南西?南京南2個(gè)區(qū)段的收益(169+293=462元)大于北京南?南京南的收益(400元)。另一方面，票額分配滿足長(zhǎng)途優(yōu)先原則，且南京南?上海虹橋的需求的價(jià)格彈性較小，因此在分配方式上優(yōu)先考慮了彈性較大的長(zhǎng)途區(qū)段，將票額分配給了北京南?上海虹橋和北京南?濟(jì)南西2個(gè)區(qū)間，最終得到表4的分配方案。

表 3 需求彈性系數(shù)

表 4 最終優(yōu)化方案

4 結(jié)論

1) 結(jié)合時(shí)間序列理論與Log-Linear需求函數(shù)，考慮客流量的隨機(jī)性，構(gòu)建一個(gè)高鐵列車浮動(dòng)票價(jià)與票額分配綜合優(yōu)化模型；將客流分類為確定性客流和隨機(jī)性客流，建立ARIMA預(yù)測(cè)表達(dá)式，引入Log-Linear需求函數(shù)，結(jié)合票價(jià)制定、票價(jià)浮動(dòng)范圍、列車定員等各約束，運(yùn)用lingo軟件計(jì)算出鐵路運(yùn)輸收益最大的票價(jià)和票額分配方案。

2) 以列車G13為例，用本文的方法進(jìn)行計(jì)算分析，優(yōu)化后客座率達(dá)98.06%，運(yùn)輸收益提高了3.79%。本文研究對(duì)象主要為單列車，今后在不斷的運(yùn)輸實(shí)踐過程中將進(jìn)一步研究多列車以及全路的綜合優(yōu)化模型。

[1] 韓瀟. 鐵路客運(yùn)運(yùn)價(jià)問題研究[J]. 鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì), 2001, 23(7): 9?10. HAN Xiao. The research on railway passenger transport price problem[J].Railway Transportation and Economy, 2001, 23(7): 9?10.

[2] 李建海. 高速鐵路票價(jià)優(yōu)化研究[D]. 成都: 西南交通大學(xué), 2016. LI Jianhai. The research on ticket price optimization of high-speed railway[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University, 2016.

[3] 劉帆洨, 彭其淵. 鐵路旅客購(gòu)票需求預(yù)測(cè)模型研究[J].交通運(yùn)輸工程與信息學(xué)報(bào), 2018, 16(2): 50?56. LIU Fanxiao, PENG Qiyuan. Forecasting model for railway passenger ticketing demand[J]. Journal of Transportation Engineering and Information, 2018, 16(2): 50?56.

[4] Ciancimino A, Inzerillo G, Lucidi S, et al. A mathematical programming approach for the solution of the railway yield management problem[J]. Transportation Science, 1999, 33(2): 168?181.

[5] William L Cooper. Asymptotic behavior of an allocation policy for revenue management[J]. Operations Research, 2002, 50(4): 720?727.

[6] Joern Meissner, Arne Strauss. Improved bid prices for choice-based network revenue management[J]. European Journal of Operational Research, 2012, 217(2): 417?427.

[7] Ongprasert S. Passenger behavior on revenue management systems of inter-city transportation[D]. Japan: Kochi University of Technology, 2006.

[8] 趙翔, 趙鵬, 李博. 多列車多停站方案條件下高速鐵路票額分配研究[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2016, 38(11): 9?15. ZHAO Xiang, ZHAO Peng, LI Bo. Research on high- speed railway ticket allocation under condition of multiple trains and multiple trains stop plans[J]. Journal of the China Railway Society, 2016, 38(11): 9?15.

[9] 張旭, 陳秉智, 李振福, 等. 民航競(jìng)爭(zhēng)影響下高速鐵路動(dòng)態(tài)差別定價(jià)研究[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2017, 39(10): 19?25. ZHANG Xu, CHEN Bingzhi, LI Zhenfu, et al. Study on dynamic differential pricing for high-speed rail under influence of competition from civil aviation[J]. Journal of the China Railway Society, 2017, 39(10): 19?25.

[10] 胡萬(wàn)欣, 操杰, 張艷. 市場(chǎng)化環(huán)境下的高速鐵路與民航客運(yùn)博弈定價(jià)優(yōu)化[J]. 大連交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 37(4): 14?19. HU Wanxin, CAO Jie, ZHANG Yan. Game pricing optimization model of high speed train and aviation in transport market[J].Journal of Dalian Jiaotong University, 2016, 37(4): 14?19.

[11] YOU P S. An efficient computational approach for railway booking problems[J]. European Journal of Operational Research, 2006, 185(2): 811?824.

[12] 趙翔, 趙鵬, 姚向明, 等. 高速列車折扣票價(jià)與票額分配組合優(yōu)化模型[J]. 東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2018, 48(4): 759?765. ZHAO Xiang, ZHAO Peng, YAO Xiangming, et al. An integrated optimization model of discount fare and ticket allocation for high-speed train[J]. Journal of Southeast University (Natural Science Edition), 2018, 48(4): 759? 765.

[13] 宋文波, 趙鵬, 李博. 高速鐵路單列車動(dòng)態(tài)定價(jià)與票額分配綜合優(yōu)化研究[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2018, 40(7): 10?16. SONG Wenbo, ZHAO Peng, LI Bo. Research on comprehensive optimization of dynamic pricing and seat allocation for high-speed single train[J]. Journal of the China Railway Society, 2018, 40(7): 10?16.

[14] 胡金榮, 劉堂發(fā). 微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)[M]. 北京: 人民郵電出版社, 2015. HU Jinrong, LIU Tangfa. Microeconomics[M]. Beijing: People Post Press, 2015.

[15] 宇傳華. SPSS與統(tǒng)計(jì)分析[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2007. YU Chuanhua. SPSS and statistical analysis[M]. Beijing: Electronic Industry Press, 2007.

[16] 李慶揚(yáng), 關(guān)冶, 白峰杉. 數(shù)值計(jì)算原理[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2000. LI Qingyang, GUAN Ye, BAI Fengshan. Principle of numerical calculation[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2000.

[17] 鄭金子. 高速鐵路票價(jià)動(dòng)態(tài)優(yōu)化方法的研究[D]. 北京:北京交通大學(xué), 2017. ZHENG Jinzi. Research on ticket fare dynamic optimization method for high-speed railway[D]. Beijing: Beijing Jiaotong University, 2017.

The optimization method of floating ticket price and ticket allocation of high-speed railway based on ARIMA model

YAO Jialin, PI Shan

(School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

This paper aims to explore the comprehensive optimization method of high-speed railway fare and ticket amount for the single fare system of China’s railway and deterministic ticket amount allocation in China. Based on the principle of time series analysis, this paper considered the randomness of passenger flow, constructs the ARIMA passenger flow prediction expression which embed in the Log-Linear demand and price function. And a comprehensive optimization model for floating fares and ticket allocation of high-speed railway single trains with the maximum benefit of railway transportation was constructed. Taking G13 train as an example, the calculation results show that the model can improve the railway transportation revenue and provide a reference for the comprehensive optimization of high-speed rail fare and ticket amount.

ARIMA model; passenger flow forecast; Log-Linear demand and price function; floating fares

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190882

U2-9

A

1672 ? 7029(2020)07 ? 1655 ? 07

2019?10?11

國(guó)家自然科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目(71471179)

姚加林(1961?)，男，湖南婁底人，副教授，從事交通運(yùn)輸規(guī)劃與管理等研究；E?mail：yaojialn@csu.edu.cn

(編輯 陽(yáng)麗霞)