黃玉莎，陳玉珊，秦琳琳，石 春，吳 剛

（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230026）

0 引言

鋰離子電池作為能量存儲(chǔ)部件，憑借其高效、環(huán)保等優(yōu)勢(shì)在電動(dòng)汽車行業(yè)被廣泛應(yīng)用[1]。電池自燃、碰撞后爆炸等安全性問(wèn)題的發(fā)生也警示我們，鋰離子動(dòng)力電池及其管理技術(shù)尚未完全成熟[2]。準(zhǔn)確建立電池模型并估計(jì)荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)，有利于了解電池剩余容量，實(shí)現(xiàn)電池的有效監(jiān)督和管理[3]；但由于電池的非線性時(shí)變特性，以及放電過(guò)程中電池內(nèi)部復(fù)雜的電化學(xué)反應(yīng)，SOC 無(wú)法直接被測(cè)量得到[4]。

SOC 通常被表示為電池剩余容量與當(dāng)前容量之比。常用的SOC 估計(jì)方法包括：

（1）安時(shí)積分法，即對(duì)電流積分得到電池充放電容量，結(jié)合初始SOC 計(jì)算當(dāng)前SOC，該方法簡(jiǎn)單易行[5]，但由于采用開(kāi)環(huán)預(yù)測(cè)，受初始SOC 及電流測(cè)量精度影響較大，易產(chǎn)生累積誤差。

（2）開(kāi)路電壓法，即利用開(kāi)路電壓（open circuit voltage，OCV）與SOC 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，借助電池OCV 確定其SOC，不存在累積誤差和初值問(wèn)題[6]?？紤]到在汽車實(shí)際行駛過(guò)程中無(wú)法通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間靜置得到電池OCV，多采用其他方法確定電池OCV，再結(jié)合開(kāi)路電壓法計(jì)算電池SOC[7]。

（3）擴(kuò)展卡爾曼濾波法[8]或無(wú)跡卡爾曼濾波法等。該方法多取OCV 或SOC 作為狀態(tài)變量之一，控制變量為可測(cè)的電池端電壓，算法的準(zhǔn)確性受電池模型及初值選取影響較大，但閉環(huán)的卡爾曼濾波算法可以通過(guò)端電壓測(cè)量值與預(yù)測(cè)值的差值變化反饋調(diào)節(jié)SOC估計(jì)誤差，不存在累積誤差。

（4）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。該方法多以電池電壓、電流和溫度作為輸入層，輸出層為電池SOC，大量數(shù)據(jù)訓(xùn)練后估算較為準(zhǔn)確[9]，但訓(xùn)練過(guò)程對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求較高，僅利用整車上單片機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)較為困難。

本文基于馬里蘭大學(xué)三元石墨鋰電池單體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，考慮到OCV-SOC 曲線在SOC 低、中、高區(qū)間會(huì)呈現(xiàn)不同變化趨勢(shì)，為提高建模精度、降低模型階次，分段建立OCV-SOC 模型；為確定電池OCV，假設(shè)擾動(dòng)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，建立電池受控自回歸滑動(dòng)平均模型(controlled auto-regressive moving average，CARMA)，推導(dǎo)得到OCV 最優(yōu)估計(jì)值，并將其代入OCV-SOC 模型以實(shí)現(xiàn)電池SOC 估計(jì)。

1 動(dòng)力電池建模與參數(shù)辨識(shí)

本文所進(jìn)行的動(dòng)力電池建模分為非線性靜態(tài)環(huán)節(jié)建模和動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)建模，即分別建立電池OCV-SOC 分段模型和CARMA 模型。

1.1 OCV-SOC 分段模型

低電流OCV 測(cè)試和增量OCV 測(cè)試是確定電池OCV-SOC 靜態(tài)非線性關(guān)系較為常用的方法。鄭方丹等人的研究進(jìn)一步表明，基于增量OCV 測(cè)試預(yù)先確定OCV 和SOC 之間的關(guān)系，在進(jìn)行SOC 在線估算時(shí)具有更高的估算精度[10]。據(jù)此，本文采用25 ℃下增量OCV 測(cè)試數(shù)據(jù)建立電池OCV-SOC 模型，利用試驗(yàn)過(guò)程中充、放電電量計(jì)算得到電池SOC，并認(rèn)為靜置2 h 后電池的端電壓為該SOC 下的OCV；同時(shí)，為降低充放電曲線之間滯后效應(yīng)的影響，取充放電過(guò)程中同等SOC處的OCV 平均值為開(kāi)路電壓值，利用Matlab 擬合得到圖1 所示3 條OCV-SOC 曲線。

綜合建模精度以及SOC 估計(jì)效果，本文根據(jù)放電 過(guò) 程OCV(voc)和SOC 數(shù) 據(jù)，按0＜SOC≤0.2、0.2＜SOC≤0.6、 0.6＜SOC≤1 分成3 個(gè)不同區(qū)間；利用Matlab 中polyfit 命令進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到OCVSOC 分段模型，具體如式（1）所示。為方便擬合，本文取voc1=voc-3。

圖1 OCV-SOC 曲線Fig.1 OCV-SOC curves

OCV-SOC 分段模型的擬合效果及其誤差如圖2所示，圖中虛線表示模型分段點(diǎn)。在各OCV 點(diǎn)，估計(jì)SOC 的最大絕對(duì)誤差為1.97%，誤差平均值為-0.012%，均方根誤差（root mean square error，RMSE）為0.72%；未分段建模情況下，模型最高階次需達(dá)到7 次，才能實(shí)現(xiàn)各OCV 點(diǎn)處SOC 的最大絕對(duì)誤差為1.91%，RMSE 為0.94%。分段建模在保證建模精度的同時(shí)有效降低了模型階次。

圖2 OCV-SOC 分段模型擬合效果與誤差Fig.2 Fitting effect and error of the OCV-SOC segmentation model

1.2 CARMA 模型

常用的電池模型中，由于電動(dòng)汽車上單片機(jī)性能限制，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型較少被用于整車的電池SOC 估計(jì)；電化學(xué)模型能夠比較準(zhǔn)確而具體地描述電池內(nèi)部的反應(yīng)機(jī)理，但涉及耦合的時(shí)變偏微分方程，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜且參數(shù)難以被辨識(shí)，更多用于電池設(shè)計(jì)；等效電路模型用電壓源、電阻和電容等描述電池的電性能，雖然無(wú)法反應(yīng)電池作用機(jī)理，但模型簡(jiǎn)單直觀、參數(shù)易于辨識(shí)，適用于電池SOC 估計(jì)。何洪文等為鋰離子電池構(gòu)建不同階RC 網(wǎng)絡(luò)模型，仿真結(jié)果表明，利用一階和二階RC網(wǎng)絡(luò)建立電池等效電路模型，在估計(jì)電池SOC 時(shí)可以更好地追蹤真實(shí)值，其中二階RC 等效電路模型的精度更高[11]。綜合考慮模型精度和計(jì)算能力，本文選用如圖3 所示的二階RC 等效電路模型，圖中R0為歐姆內(nèi)阻，R1和R2為極化電阻，C1和C2為極化電容，I(t)表示t時(shí)刻端電流，x(t)和x′(t)分別表示t時(shí)刻R1C1和R2C2兩端的電壓，v(t)表示t時(shí)刻電池開(kāi)路電壓，u(t)表示t時(shí)刻端電壓。

圖3 二階RC 等效電路模型Fig.3 Second-order RC equivalent circuit model

建立電池連續(xù)時(shí)間模型：

利用零階保持器離散化并假設(shè)系統(tǒng)存在一階純滯后，得到離散時(shí)間模型：

用q-1表示一步平移算子，簡(jiǎn)化式（3）得到

式中：θ1=α1+α2；θ2=α1α2；θ3=R0；θ4=R1+R2-R1α1-R2α2-R0α1-R0α2；θ5=(R0+R1+R2)α1α2-R1α2-R2α1。

假設(shè)擾動(dòng)平穩(wěn)且具有有理譜密度，擾動(dòng)通道的極點(diǎn)多項(xiàng)式與過(guò)程通道相同，令zk=vk-uk-1，得到式（5）所示電池CARMA 模型：

式中：{ξk}——同方差、獨(dú)立（至少為不相關(guān)）、零均值的隨機(jī)變量序列。

1.3 漸消記憶遞推最小二乘法參數(shù)辨識(shí)

為解決傳統(tǒng)遞推最小二乘法的數(shù)據(jù)飽和問(wèn)題，本文采用遺忘因子來(lái)減少舊數(shù)據(jù)所占權(quán)重，同時(shí)提高新數(shù)據(jù)比重；在每個(gè)采樣間隔，基于當(dāng)前的測(cè)量值更新參數(shù)估計(jì)值。漸消記憶遞推最小二乘法具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

式中：k——時(shí)刻；φ——觀測(cè)向量；——參數(shù)向量；e——模型殘差；K——增益矩陣；P——誤差的協(xié)方差矩陣；λ——遺忘因子，多取0.95 ≤λ≤1 ，λ越小，新數(shù)據(jù)在參數(shù)修正過(guò)程中所占權(quán)重越高，能更好地追蹤參數(shù)變化，但同時(shí)受噪聲影響大，參數(shù)估計(jì)波動(dòng)較大。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，由于采樣周期足夠小，電池放電能力有限，SOC 變化足夠小，對(duì)應(yīng)的開(kāi)路電壓變化很小，可以假設(shè)Δvk=vk-vk-1=0[11]，將其代入CARMA 模型，得到

辨識(shí)過(guò)程中取

式中：θ6k=(1-θ1k+θ2k)vk。

2 電池SOC 估計(jì)算法

要實(shí)現(xiàn)電池SOC 估計(jì)，首先應(yīng)推導(dǎo)得到電池OCV 的最優(yōu)估計(jì)表達(dá)式?；谑剑?）所示電池CARMA 模型，結(jié)合廣義預(yù)測(cè)控制相關(guān)知識(shí)，推導(dǎo)得到電池OCV 表達(dá)式[12]：

式中：G1(q-1)=θ3+θ4q-1+θ5q-2；F1(q-1)=θ1-θ2q-1。

以開(kāi)路電壓估計(jì)誤差均值為零、方差最小為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)，推導(dǎo)電池OCV 最優(yōu)估計(jì)表達(dá)式。用表示OCV 最優(yōu)估計(jì)值，表示估計(jì)誤差，具體過(guò)程如下[13]：

（1）OCV 誤差均值為零

式 中，E(ζk)=0， 要 使， 當(dāng) 且 僅 當(dāng)，即。

（2）OCV 誤差方差最小

令E(ζk)2=σ2，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，OCV 估計(jì)誤差方差最小。此時(shí)，得到OCV 最優(yōu)估計(jì)表達(dá)式為

將實(shí)時(shí)辨識(shí)得到的k時(shí)刻各參數(shù)代入式（16），得到；結(jié)合建立的OCV-SOC 分段模型，計(jì)算出k時(shí)刻的SOC 值。重復(fù)該過(guò)程，遞推得到下一時(shí)刻的SOC 值，實(shí)現(xiàn)基于CARMA 模型的SOC 估計(jì)。

3 試驗(yàn)與仿真

通過(guò)Matlab 仿真試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文提出的電池CARMA 模型及基于此模型的SOC 估計(jì)算法的準(zhǔn)確性。

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)說(shuō)明

本文仿真過(guò)程中使用數(shù)據(jù)來(lái)自馬里蘭大學(xué)先進(jìn)壽命周期工程中心（center for advanced life cycle engineering，CALCE）電池公開(kāi)數(shù)據(jù)集，選用圓柱形三元石墨鋰電池INR 18650-20R 型電池單體試驗(yàn)數(shù)據(jù)：電池額定容量為2 000 mAh；充、放電截止電壓分別為4.2 V和2.5 V；直徑為18.33±0.77 mm，長(zhǎng)度為64.85 ±0.15 mm；質(zhì)量為45.0 g。本文主要選用25 ℃下美國(guó)聯(lián)邦城市運(yùn)行工況（The federal urban driving schedule，F(xiàn)UDS）[14]數(shù)據(jù)辨識(shí)電池CARMA 模型參數(shù)，并實(shí)現(xiàn)電池SOC 仿真估計(jì)。FUDS 作為城市駕駛車輛實(shí)際行駛工況的常用模擬，多年來(lái)一直被應(yīng)用于電動(dòng)汽車性能測(cè)試。FUDS 工況一個(gè)完整周期為1 372 s，相應(yīng)的電流變化如圖4 所示，整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中電池端電壓、電流變化如圖5 所示。

圖4 FUDS 工況單周期電流變化Fig.4 Single-cycle current variation under the FUDS conditions

圖5 FUDS 工況循環(huán)電壓、電流變化Fig.5 Voltage and current variation under the FUDS conditions

3.2 CARMA 模型參數(shù)辨識(shí)及驗(yàn)證分析

用Matlab 實(shí)現(xiàn)電池參數(shù)辨識(shí)時(shí)，給定參數(shù)初始值λ=0.99，P(0)=105×I，I為6階單位矩陣。按式（6）～式（9）進(jìn)行辨識(shí)，得到FUDS 工況下各模型參數(shù)，具體如圖6所示。

圖6 CARMA 模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Fig.6 Parameter identification results of the CARMA model

將辨識(shí)得到的參數(shù)代入式（17），估計(jì)電池端電壓以驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性，得到模型輸出端電壓相比FUDS 工況下電池實(shí)際端電壓誤差，如圖7 所示。

考慮到放電到最后時(shí)模型參數(shù)變化較為劇烈而導(dǎo)致辨識(shí)不準(zhǔn)確，模型端電壓誤差曲線只給出前10 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，此時(shí)SOC 為6%。由圖7 可以看出，端電壓估計(jì)誤差總體集中在±2 mV 之間，誤差平均值為0.153 5 mV, RMSE 為0.594 8 mV，平均絕對(duì)誤差（mean absolute error，MAE）為0.368 3 mV，與鄭方丹等人研究得到的MAE 為0.291 mV 的結(jié)果所差無(wú)幾[10]，較為準(zhǔn)確地估計(jì)出電池端電壓。因此所建立的電池CARMA模型可以被作為試驗(yàn)所用電池的等效模型。

圖7 CARMA 模型輸出端電壓誤差Fig.7 Output voltage errors of the CARMA model

3.3 電池SOC 估計(jì)算法仿真驗(yàn)證

FUDS 工況循環(huán)試驗(yàn)過(guò)程中，SOC 初始值為0.8。考慮到SOC 值小于0.2 時(shí)，模型參數(shù)辨識(shí)不準(zhǔn)確，會(huì)導(dǎo)致OCV 估計(jì)值存在較大誤差，此時(shí)基于CARMA 模型的SOC 估計(jì)方法不再適用。為此，本文在SOC 值小于0.2 時(shí)，使用安時(shí)積分法繼續(xù)估計(jì)電池SOC，得到FUDS 工況下SOC 估計(jì)值及誤差如圖8 所示。

圖8 FUDS 工況下SOC 估計(jì)結(jié)果Fig.8 SOC estimation results under the FUDS conditions

分析SOC 估計(jì)結(jié)果可知，誤差曲線的多個(gè)尖峰出現(xiàn)在電流值突變時(shí)，此時(shí)極化電阻劇烈變化，模型參數(shù)辨識(shí)不準(zhǔn)確，造成較大的SOC 估計(jì)誤差。SOC 估計(jì)的最大絕對(duì)誤差為2.39%，誤差平均值為-0.50%，RMSE為0.93%?？梢?jiàn)，誤差在可接受范圍±5%之內(nèi)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要工作圍繞電池建模及其SOC 估計(jì)展開(kāi)，基于馬里蘭大學(xué)CALCE 三元石墨鋰電池試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立電池CARMA 模型，據(jù)此估計(jì)電池OCV，并結(jié)合OCVSOC 分段模型，實(shí)現(xiàn)電池參數(shù)的實(shí)時(shí)辨識(shí)以及電池SOC 的實(shí)時(shí)估計(jì)。

相較于簡(jiǎn)單的安時(shí)積分法，本文提出的基于CARMA 模型估計(jì)SOC 的算法準(zhǔn)確度更高，且不會(huì)產(chǎn)生累積誤差；相較于目前研究較多的卡爾曼濾波算法，本文提出的方法雖然在精確度上略有不足，但該法不涉及矩陣的大量迭代運(yùn)算，運(yùn)行速度更快，對(duì)計(jì)算能力要求較低，估計(jì)電池SOC 時(shí)不存在給定初值問(wèn)題,適合汽車電池管理系統(tǒng)在線估計(jì)電池SOC；另外，與模型參數(shù)固定的常規(guī)卡爾曼濾波算法不同，采用本算法可實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)在線實(shí)時(shí)辨識(shí)，對(duì)電池老化以及更換不同種類電池情況的適應(yīng)性更好。

由于該SOC 估計(jì)算法中結(jié)合了開(kāi)路電壓法，在SOC-OCV曲線存在較為平緩平臺(tái)時(shí)，該算法失效。此外，本文所用數(shù)據(jù)為25 ℃環(huán)境溫度下試驗(yàn)得到，而實(shí)際電池性能受溫度影響較大，后續(xù)可以就溫度對(duì)電池SOC的影響做進(jìn)一步研究。