嚴(yán)永俊，王金湘 ，胡云卿，袁希文，吳夢(mèng)陽(yáng)，黃瑞鵬，王 斌

（1.東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 211189；2.中車株洲電力機(jī)車研究所有限公司，湖南 株洲 412001）

0 引言

智軌電車是為解決我國(guó)城市擁堵問(wèn)題而創(chuàng)新研制的一種快速、靈活的全新交通制式[1]，它采用橡膠輪胎，通過(guò)對(duì)數(shù)字虛擬軌道的跟蹤實(shí)現(xiàn)在城市道路的行駛[2]，大大緩解了城市交通建設(shè)中前期投入大、建造周期長(zhǎng)的難題。建立一個(gè)符合實(shí)際的車輛動(dòng)力學(xué)模型并對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)特性進(jìn)行研究，這是智軌電車無(wú)人駕駛研究中至關(guān)重要的一環(huán)，也是本文的研究重點(diǎn)。智軌電車的三節(jié)耦合模型之前并沒(méi)有先例，本文的建模主要參考了鉸接式客車和拖車模型。范佳寧等[3]為了研究多軸輪邊驅(qū)動(dòng)鉸接電動(dòng)客車的操縱穩(wěn)定性，建立了鉸接客車的整車動(dòng)力學(xué)控制模型。劉暢等[4]以鉸接式客車為研究對(duì)象，以提高其在轉(zhuǎn)向時(shí)的穩(wěn)定性為目標(biāo)，建立了車輛動(dòng)力學(xué)模型。張思奇等[5]利用拖車系統(tǒng)5 自由度線性模型，采用估計(jì)軸側(cè)向力是否飽和的方法來(lái)判斷拖車系統(tǒng)是否轉(zhuǎn)向不足或轉(zhuǎn)向過(guò)度，進(jìn)而判斷系統(tǒng)的失穩(wěn)形式。文獻(xiàn)[6-8]建立了線性單軌模型，以分析拖車系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律。

智軌電車無(wú)人駕駛研究中最主要的內(nèi)容是對(duì)既定數(shù)字虛擬軌道的跟蹤，下面對(duì)無(wú)人駕駛車輛的不同跟蹤控制器進(jìn)行比較。線性二次型調(diào)節(jié)器[9]較易被設(shè)計(jì)，即使是在高速的情況下，其也可以提供精確的軌跡跟蹤效果，但只有當(dāng)某些假設(shè)（例如，在優(yōu)化視野中，主體車輛的速度保持恒定）成立時(shí)才會(huì)被實(shí)現(xiàn)。在文獻(xiàn)[9]中也提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和基于模糊邏輯的方法，并展示了類似于線性二次型控制器的跟蹤性能。然而，在缺乏正式的穩(wěn)定性證明和異常處理的情況下，這些方法不能用于實(shí)際工程實(shí)現(xiàn)[10-11]。還有一些先進(jìn)的基于數(shù)學(xué)模型的控制方法，如模型預(yù)測(cè)控制（model predictive control,MPC），也被用于車輛軌跡跟蹤[12-15]。非線性MPC 能夠提供精度較高的跟蹤性能，但是由于實(shí)時(shí)優(yōu)化的計(jì)算需求太大而很難實(shí)現(xiàn)。為了減少計(jì)算量，研究人員使用線性車輛模型，但這種控制器僅適用于車輛和輪胎行駛的線性區(qū)域。Carvalho A 等[12]提出了一種基于非線性模型迭代線性化的MPC 框架，以擴(kuò)大線性MPC 控制器的工作范圍?；诖?，本文采用線性時(shí)變MPC 方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

變道操縱會(huì)引起鉸接車搖擺，造成較大的路徑偏離和側(cè)滑，是造成鉸接車側(cè)移不穩(wěn)事故的主要原因之一[16]，因此常被用于研究控制器對(duì)車輛橫向性能的影響。Krishna R 等提出了一種線性二次型調(diào)節(jié)方法，其以最小化橫向加速度來(lái)代替鉸接車的偏移；所提出的調(diào)節(jié)器使用來(lái)自所有車輛狀態(tài)的反饋，并控制第一節(jié)車和第二節(jié)車的前軸[17]。Sogol K 等提出了一種基于轉(zhuǎn)向的長(zhǎng)組合車輛橫向性能控制器，其通過(guò)控制后幾節(jié)車的轉(zhuǎn)向軸以調(diào)節(jié)駕駛員在第一節(jié)車上的轉(zhuǎn)向和后幾節(jié)車產(chǎn)生輪胎側(cè)向力之間的時(shí)間跨度，從而降低后車的甩尾和路徑偏離[16]。變道操縱也是智軌電車變換行駛方向時(shí)一個(gè)必不可少的駕駛行為，本文針對(duì)該典型工況進(jìn)行智軌電車橫向運(yùn)動(dòng)特性的分析。

本文主要是通過(guò)分析智軌電車的橫向運(yùn)動(dòng)特性，將每節(jié)車輛的橫擺角速度、橫向加速度以及受力聯(lián)系起來(lái)，建立3 節(jié)車輛之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)關(guān)系，提出一種能夠很好反映智軌電車橫向動(dòng)力學(xué)特性的4 自由度線性單軌模型，所建立的模型相對(duì)于傳統(tǒng)的列車分節(jié)建模方式耦合度更高；然后采用常用的后退時(shí)域MPC 方法進(jìn)行智軌電車軌跡跟蹤控制研究，將滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性二次型問(wèn)題進(jìn)行求解。

1 智軌電車橫向模型建立

智軌電車的運(yùn)行類似蛇行運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)控制可以分為縱向加減速控制和橫向轉(zhuǎn)向控制兩個(gè)方面[18]。本文主要針對(duì)智軌電車的橫向運(yùn)動(dòng)控制進(jìn)行研究。

1.1 智軌電車橫向動(dòng)力學(xué)模型

為了分析智軌電車的橫向運(yùn)動(dòng)特性，本文提出了一種簡(jiǎn)單的線性單軌模型，如圖1 所示，圖中下標(biāo)中1,2,3分別代表3 節(jié)車序號(hào)，f 代表前輪，r 代表后輪，h 代表鉸接處。該模型中車輪轉(zhuǎn)向行為被認(rèn)為是線性的，車輪轉(zhuǎn)向角δw和前輪側(cè)偏角αf是小角度（不超過(guò)10°），車輛每個(gè)軸的轉(zhuǎn)向剛度可以線性化為常數(shù)；同時(shí)，假設(shè)每節(jié)車的車速是一致的，即vx,1=vx,2=vx,3=vx。在小角度(sinx≈x, cosx≈1)的條件下，三節(jié)車模型可以被認(rèn)為是一個(gè)4 自由度模型。

圖1 智軌電車單軌模型Fig.1 Single track model of autonomous-rail rapid tram

結(jié)合牛頓定律可得到每節(jié)車的動(dòng)力學(xué)方程。第一節(jié)車的動(dòng)力學(xué)方程為

第一節(jié)車前、后車軸的側(cè)向力可以表示為

第二節(jié)車的動(dòng)力學(xué)方程為

第二節(jié)車前、后車軸的側(cè)向力可以表示為

第三節(jié)車的動(dòng)力學(xué)方程為

第三節(jié)車前、后車軸的側(cè)向力可以表示為

式中：m1,m2,m3——3 節(jié)車輛的質(zhì)量；Iz,1,Iz,2,Iz,3——3 節(jié)車的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；αf,αr——每節(jié)車前后軸的側(cè)偏角；Cαf,Cαr——每節(jié)車的前后軸側(cè)偏剛度；Fyf,Fyr——每節(jié)車前后軸受到的側(cè)向力；Fyhf,Fyhr——每節(jié)車廂在鉸鏈處的橫向受力；ψ1,ψ2,ψ3——每節(jié)車的橫擺角；——每節(jié)車的橫擺角速度；——每節(jié)車的橫擺角加速度；vx——每節(jié)車的縱向速度；αy——每節(jié)車的橫向加速度；lf,lr,lh——每節(jié)車前軸到質(zhì)心的距離、后軸到質(zhì)心的距離以及鉸接點(diǎn)到車軸的距離。

為建立3 節(jié)車輛之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)關(guān)系，考慮到鉸接處的耦合，將每節(jié)車的橫擺角速度、橫向加速度以及受力聯(lián)系起來(lái)可得式（13）～式（15），其中vyh,1和vyh,2表示鉸接點(diǎn)處的橫向速度，θh1和θh2表示鉸接角。

根據(jù)鉸接處的受力關(guān)系，我們認(rèn)為傳到后一節(jié)車的橫向力相比于前一節(jié)車會(huì)有一定的損耗，那么鉸接處的橫向力表示為

結(jié)合式（1）～式（17），可得狀態(tài)空間方程形式的智軌電車線性系統(tǒng)

該方程可以被轉(zhuǎn)化為

1.2 智軌電車橫向動(dòng)力學(xué)模型的仿真驗(yàn)證

為了確保所建立的智軌電車單軌模型的有效性，我們通過(guò)一個(gè)穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)仿真實(shí)驗(yàn)，將所建Matlab模型與Trucksim 中的高精度非線性全車模型進(jìn)行對(duì)比[18]，Trucksim 中建立的智軌電車單軌模型如圖2 所示。

圖2 Trucksim 中建立的智軌電車模型Fig.2 Autonomous-rail rapid tram model built in Trucksim

進(jìn)行穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)時(shí)，將兩個(gè)模型的第一節(jié)列車前輪轉(zhuǎn)角均設(shè)為0.2 rad，后面幾個(gè)軸的轉(zhuǎn)角設(shè)置為0，速度設(shè)置為8 m/s。選取第一節(jié)車的質(zhì)心、前軸中心點(diǎn)、后軸中心點(diǎn)以及第二節(jié)車的后軸中心點(diǎn)和第三節(jié)車的后軸中心點(diǎn)來(lái)描述列車的行駛軌跡，圖3～圖6 示出智軌電車在進(jìn)行穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)時(shí)的整車行駛軌跡。為了簡(jiǎn)化描述，對(duì)圖3～圖6 中的圖標(biāo)進(jìn)行了簡(jiǎn)寫，其中第一個(gè)字母f(first) 代表第一節(jié)車，s(second) 代表第二節(jié)車，t(third)代表第三節(jié)車；第二個(gè)字母里面的c(center) 代表中心，f(front) 代表前軸，r(rear) 代表后軸。

圖3 Trucksim 模型的穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)軌跡Fig.3 Steady state circular trajectory of Trucksim model

圖4 Matlab 模型的穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)軌跡Fig.4 Steady state circular trajectory of Matlab model

圖5 Trucksim 模型橫向加速度隨時(shí)間變化Fig.5 Lateral acceleration change with time for Trucksim model

圖6 Matlab 模型橫向加速度隨時(shí)間變化Fig.6 Lateral acceleration change with time for Matlab model

從仿真結(jié)果可以看出，Trucksim 中的高精度非線性模型的準(zhǔn)確度更高，軌跡更加平滑；同時(shí)，兩個(gè)模型的軌跡大體一致，軌跡圓的半徑大體相同；從圖5～圖6可以看出，兩個(gè)模型穩(wěn)定后的橫向加速度也一樣。因此，可以確定Matlab 中的智軌電車模型是有效的，在算法中可被用來(lái)代替Trucksim 中的模型。

2 基于模型預(yù)測(cè)控制方法的軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

建立智軌電車動(dòng)力學(xué)模型之后，下面基于線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制方法進(jìn)行智軌電車軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)。

2.1 模型預(yù)測(cè)

連續(xù)的狀態(tài)方程不能被直接應(yīng)用于控制器的設(shè)計(jì)，需要先將系統(tǒng)的狀態(tài)方程離散化。系統(tǒng)的狀態(tài)量和輸出變量可以表示為

式中：Ak,t=I+TA(t)；Bk,t=TB(t)；T——仿真時(shí)間步長(zhǎng)。

根據(jù)模型預(yù)測(cè)控制的基本原理，以最新的測(cè)量值，即上一時(shí)刻系統(tǒng)的返回值為初始條件，基于式（19）智軌電車模型來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)的動(dòng)態(tài)。為了使得系統(tǒng)的輸出與參考輸出誤差最小，通過(guò)Matlab 內(nèi)置的線性二次型求解器求解目標(biāo)函數(shù)，得出增量控制序列，使得目標(biāo)函數(shù)最小。為方便計(jì)算，設(shè)置預(yù)測(cè)時(shí)域Np與控制時(shí)域Nc相等?？紤]到上述的線性離散模型，為了求出增量控制序列，定義

可得到系統(tǒng)的控制量增量方程：

則Np步預(yù)測(cè)時(shí)域的輸出矩陣可以表示為

2.2 軌跡跟蹤目標(biāo)函數(shù)及控制器設(shè)計(jì)

為了讓列車更加貼近目標(biāo)路徑，智軌電車的軌跡跟蹤控制目標(biāo)是讓3 節(jié)車的中點(diǎn)都貼近目標(biāo)路徑，所設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為

式中：η——3節(jié)車中點(diǎn)的橫向位置，包含y1,y2,y3；ζ——3 節(jié)車中點(diǎn)的航向角，包含ψ1,ψ2,ψ3；Δu——控制器效果；Q，P，R——權(quán)重系數(shù)矩陣。

目標(biāo)函數(shù)中η和ζ代表著列車的跟隨效果。

考慮到列車運(yùn)行過(guò)程中的執(zhí)行器約束，軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)如下：

控制器通過(guò)后退時(shí)域的方式算出預(yù)測(cè)時(shí)域最優(yōu)增量控制序列：

選取最優(yōu)控制增量序列中的第一個(gè)元素，其再加上前一時(shí)刻的控制量后作為控制器的輸出：

控制器的輸出會(huì)作為式（19）智軌電車模型的輸入，智軌電車模型輸出的狀態(tài)又會(huì)作為下一時(shí)刻控制器的輸入。重復(fù)上述過(guò)程，直到仿真結(jié)束。

3 仿真分析

本節(jié)使用單移線軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的模型預(yù)測(cè)控制器，即式（27）的有效性，采用文獻(xiàn)[19-20]中提出的多項(xiàng)式軌跡來(lái)擬合出適合智軌電車的單移線數(shù)字軌道。

式中：Ydes——縱向速度不變時(shí)軌跡隨時(shí)間變化的橫向位置，0 ≤Ydes≤dl，其中dl是一個(gè)車道的寬度；Xe——換道距離，Xe≤vx×6；t1=t-2。

智軌電車參數(shù)如表1 所示。

表1 智軌電車參數(shù)Tab.1 Parameters of the autonomous-rail rapid tram

智軌電車采用隨動(dòng)轉(zhuǎn)向的方式，第一軸為被控制量，后面幾軸以一定的比例跟隨第一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，控制變量為

圖7 示出了智軌電車進(jìn)行單移線軌跡跟蹤的效果。其利用第一節(jié)車前軸中點(diǎn)、質(zhì)心、后軸中點(diǎn)，第二節(jié)車后軸中點(diǎn)以及第三節(jié)車的后軸中點(diǎn)來(lái)描述列車的整體軌跡，仿真時(shí)車速設(shè)置為8 m/s。

圖7 單移線跟蹤效果Fig.7 Single line tracking effect

從圖7 可以看出，主要控制的第一節(jié)車質(zhì)心與數(shù)字軌道的偏差很小，第二、三節(jié)車與數(shù)字軌道的偏差主要在于提前轉(zhuǎn)向產(chǎn)生的橫向位置偏移，列車的整體跟蹤效果與數(shù)字軌道很貼合。這表明本文所提算法能夠有效實(shí)現(xiàn)智軌電車行駛軌跡跟蹤。

圖8 給出了智軌電車鉸接處兩個(gè)頂角的變化，可以看出，角度變化滿足之前的小角度假設(shè)。

圖8 鉸接處頂角隨位移的變化Fig.8 Change of the hitch angle with displacement

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)分析智軌電車的橫向運(yùn)動(dòng)特性，將每節(jié)車的橫擺角速度、橫向加速度以及受力聯(lián)系起來(lái)，根據(jù)車輛鉸接處的受力和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，提出一種能夠很好反映智軌電車橫向動(dòng)力學(xué)特性的4 自由度線性單軌模型；采用MPC 方法進(jìn)行智軌電車軌跡跟蹤控制研究，將滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性二次型問(wèn)題進(jìn)行求解，所設(shè)計(jì)的控制器能夠讓第一節(jié)車廂達(dá)到很好的軌跡跟蹤效果。但是，目前的軌跡跟蹤是用隨動(dòng)方式，后面兩節(jié)車廂有時(shí)有輕微的甩動(dòng)現(xiàn)象。為此，我們將深入研究后幾軸轉(zhuǎn)向角與第一軸的關(guān)系，設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換算法，以期達(dá)到更好的整車跟蹤效果，提高列車的橫向穩(wěn)定性。