田長(zhǎng)青

(江蘇省揚(yáng)州市第一中學(xué)，225001)

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,不等式恒成立問(wèn)題在各類考試中經(jīng)常出現(xiàn),它往往與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯,具有一定的綜合性.有些不等式恒成立問(wèn)題中含有多個(gè)變量,使題目顯得繁雜且對(duì)思維靈活性要求較高,學(xué)生往往難以找到解決問(wèn)題的突破口.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)例,探討某些多變量不等式恒成立問(wèn)題的解題策略.

一、整體分析,變換消元

對(duì)某些多變量不等式恒成立問(wèn)題,若變量x，y之間聯(lián)系比較緊密,可通過(guò)恒等變形,先將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m(x,y)的表達(dá)式(其中m(x,y)為x，y組合成的表達(dá)式),再通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為“一變一參”的問(wèn)題.

例1對(duì)于任意的正數(shù)a，b,不等式(2ab+a2)k≤4b2+4ab+3a2恒成立,則k的最大值為_(kāi)_____.

例2(2010年湖南高考題)已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b，c∈R),且對(duì)任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).

(1)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(x+c)2;

(2)若對(duì)滿足題設(shè)的任意b，c,f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.

解(1)略.

(2)由(1)知,c≥|b|.

二、逐步分析,確定主元

對(duì)有些多變量不等式恒成立問(wèn)題,在不便于消元的情況下,可以把其中一個(gè)變量先看成主變量,其它字母都看成參數(shù).先解決主變量恒成立問(wèn)題,再把另一個(gè)變量看成主變量,通過(guò)逐步分析步步逼近,最后求得結(jié)果.

例4若對(duì)任意k∈[-1,1],當(dāng)x∈(0,4]時(shí),不等式6lnx+x2-9x+a≤kx恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值是______.

分析本題中有兩個(gè)變量k，x,一個(gè)參數(shù)a.與例3類似,可以先把變量k看成主變量,再把變量x看成主變量,通過(guò)兩次求一元函數(shù)最值,即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

于是,不等式a≤-6lnx-x2+8x在x∈(0,4]恒成立.令f(x)=-6lnx-x2+8x,x∈(0,4],則a≤f(x)min.

綜上,a≤7,即實(shí)數(shù)a的最大值為7.

三、特征分析,數(shù)形結(jié)合

例5已知不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2對(duì)任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_____.

分析本題用以上兩種方法皆難以完成,觀察表達(dá)式的代數(shù)特征,聯(lián)想其幾何意義,代數(shù)式(m-n)2+(m+λ-lnn)2表示點(diǎn)P(m,m+λ)與點(diǎn)Q(n,lnn)之間的距離的平方,可將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決.

多變量不等式恒成立問(wèn)題呈現(xiàn)形式多樣,解題方法靈活多變,技巧性較強(qiáng).要求我們從不同的角度、不同方向分析探討,選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}.當(dāng)然,除了以上的方法外,還有許多其它的方法等待我們?nèi)タ偨Y(jié),需要同學(xué)們?cè)诰唧w的解題過(guò)程中充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性.要感悟數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、整體代換等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用；體會(huì)數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).綜合考慮,靈活運(yùn)用,才能使問(wèn)題得以順利解決.