王 顏 常國慶

(江蘇省揚(yáng)州市仙城中學(xué)225000) (江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué)，225009)

不等式恒成立問題作為近年來高考的熱點(diǎn)題型,是高三復(fù)習(xí)課不等式部分的重點(diǎn)內(nèi)容,其中不等式在某個(gè)定區(qū)間內(nèi)恒成立是難點(diǎn)．對(duì)于這類問題,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生熱衷于“代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)”解決問題,殊不知“代入端點(diǎn)”得到的條件只是原命題成立的必要條件,用來解題有失偏頗,很難得到正確答案．但是,是不是這樣的解題過程就一無是處呢?正所謂“失敗中孕育著成功”,筆者發(fā)現(xiàn)通過必要條件的挖掘,雖然不能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氐玫酱鸢?但完全可以優(yōu)化解題過程．這個(gè)方法或許不是不等式恒成立問題一般意義上的通性通法,但是對(duì)于較為復(fù)雜的不等式恒成立問題或者函數(shù)最值問題來說,不失為一個(gè)打開思路的重要輔助工具．實(shí)際上,筆者認(rèn)為,對(duì)于通性通法的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)是相對(duì)的,如果一個(gè)問題的“特性特法”被發(fā)現(xiàn)能夠?yàn)橐活悊栴}的解決提供重要的解題思路,完全可以提升到通性通法的地位．下面通過幾個(gè)例子說明問題．

例1(2008年江蘇高考題)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x+1,對(duì)于x∈[-1,1],總有f(x)≥0成立,則a=______.

分析要使f(x)≥0恒成立,只需使f(x)min≥0成立即可.通過導(dǎo)數(shù)求最小值,注意對(duì)參數(shù)a的討論.

解法1f′(x)=3ax2-3.

(1)當(dāng)a≤0時(shí),有f′(x)<0恒成立,f(x)單調(diào)減.令f(1)≥0,得a≥2,舍去.

綜上,a=4.

反思解法1是解決恒成立問題的通性通法,是基本方法,必須要掌握. 但在教學(xué)過程中,有學(xué)生使用解法2得到了,雖然不能求出a的值,但利用了恒成立的特點(diǎn)(即在一些特殊值處成立的必要條件)縮小了參數(shù)取值范圍,并結(jié)合原有方法減少分類討論的類別,簡化了解題過程.

那么,特殊值的選擇通常應(yīng)當(dāng)如何考慮呢?事實(shí)上,如下例2表明除考慮區(qū)間端點(diǎn)外,還可以考慮一些常見特殊值(如單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)及0或±1等特殊點(diǎn)),進(jìn)一步縮小參數(shù)取值范圍.

例2設(shè)函數(shù)fn(x)=-xn+3ax+b(n∈N*,a，b∈R).

(1)若對(duì)任意x1，x2∈[-1,1],都有|f3(x1)-f3(x2)|≤1,求a的取值范圍;

①

②

反思本題從必要條件所帶來的結(jié)果中受益更大,不僅在題(1)中避免了通法引起的繁瑣的討論,而且給題(2)一個(gè)巧妙的解題思路.不過,由于必要條件自身的局限性,筆者覺得不能僅僅局限于代入端點(diǎn),一定要在縮小參數(shù)范圍的基礎(chǔ)上,二度審視原題,確定最后的答案.

那么,這樣的方法是不是只適用于不等式恒成立問題呢?能不能推廣這種方法呢?下面,筆者想再通過兩道函數(shù)最值的問題,再次說明這種方法的妙處.

解法1若m≥0,則函數(shù)f(x)單調(diào)增,有f(1)=4,得m=-4(舍).

當(dāng)-m<1,即m>-1時(shí),f(x)在[1,e]單調(diào)增,有f(1)=4,得m=-4(舍)；當(dāng)-m∈[1,e],即m∈[-e,-1]時(shí),f(x)在[1,e]先減后增,f(-m)=4,得m=-e3(舍);當(dāng)-m>e,即m<-e時(shí),f(x)在[1,e]單調(diào)減,有f(e)=4,得m=-3e.

綜上,m=-3e.

由此可跳過解法1的復(fù)雜分類討論,直接得到f(x)在[1,e]單調(diào)減.由f(e)=4,迅速解決問題,得答案m=-3e.

例4已知函數(shù)f(x)=(m-3)x3+9x,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1, 2]的最大值為4,求m的值.

分析本題與例3類似,可通過對(duì)m分類討論使問題獲解,但解題過程較為繁雜.利用最值的定義，可得如下簡便解法.