張禮明

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)，528454)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)中包括大量的公式和定理,很多學(xué)生因?yàn)楣椒倍喽ε聰?shù)學(xué).其實(shí),每一個(gè)數(shù)學(xué)公式和代數(shù)式都有其特殊的含義和結(jié)構(gòu),掌握好每一個(gè)代數(shù)式(或公式、不等式)的意義和結(jié)構(gòu),是學(xué)好數(shù)學(xué)的根本方法.本文舉例說(shuō)明利用一些常用公式的幾何意義,能巧妙求解一些比較復(fù)雜的問(wèn)題.

評(píng)注本題求解的難點(diǎn)在于識(shí)別目標(biāo)函數(shù)在結(jié)構(gòu)上隱含的特殊幾何意義.

例2設(shè)A(1,-1),B(0,1),若直線ax+by=1與線段AB(包括端點(diǎn))有公共點(diǎn),則a2+b2的最小值為_(kāi)_____.

解由直線ax+by=1與線段AB(包括端點(diǎn))有公共點(diǎn),得A(1,-1)，B(0,1)兩點(diǎn)在直線ax+by=1的兩側(cè),故(a-b-1)(0·a+b-1)≤0,即(a-b-1)(b-1)≤0.

評(píng)注按常規(guī)思路,處理公共點(diǎn)問(wèn)題是通過(guò)聯(lián)立方程組求解,而該題難點(diǎn)在于線段AB并不是完整的直線,將直線AB的方程與ax+by=1聯(lián)立方程組并不能完整刻畫(huà)問(wèn)題的全部特征. 轉(zhuǎn)換思維角度,利用二元一次方程組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域表示題設(shè)條件,用距離公式解讀目標(biāo)函數(shù)a2+b2,有效化解了問(wèn)題的求解難度,增強(qiáng)了數(shù)學(xué)思維的靈活性.

由三角形的性質(zhì),可得|PQ|+|QF|≥|PF|(P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立),故φ(a,b)≥|PF|-1.因此，只要求定點(diǎn)F(0,1)到動(dòng)點(diǎn)P(a,lna)的最短距離即可.

評(píng)注本題求解需充分題設(shè)條件及目標(biāo)函數(shù)的幾何背景,通過(guò)構(gòu)造幾何圖形并運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)將多元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問(wèn)題,對(duì)直觀想象提出了較高要求.

其實(shí),還有很多由公式、定理或不等式等知識(shí)組成的綜合題,側(cè)重考查同學(xué)們幾何思維的靈活性,萬(wàn)變不離其宗的是這些問(wèn)題本質(zhì)意義.數(shù)學(xué)教會(huì)我們的不僅是基礎(chǔ)知識(shí)和技能,更重要的是指引我們掌握透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的思維方法.