胡廣宏 夏麗娟

(江蘇省前黃高級中學(xué)國際分校，213161)

函數(shù)中的雙變量問題是高中數(shù)學(xué)經(jīng)?？疾榈闹匾R點之一.它常以填空題中的中檔題或難題出現(xiàn),解答題中也會以壓軸題的形式出現(xiàn)在試卷中.由于題目中變量較多,學(xué)生往往不知所措,無從下手,給學(xué)生解題帶來了很大的困擾．本文以高考或模考中常見的幾種雙變量問題為例,分析此類問題的解題策略．

一、變換主元

例1若2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的所有m都成立,求x的取值范圍．

評注本題主要考查恒成立問題,若以x為主元，從正面直接處理，過程較復(fù)雜；而采用變換主元的方法，從一元函數(shù)圖象入手，避開了難點，使問題輕松獲解．

二、化歸函數(shù)最值模型

對函數(shù)中“任意存在型”雙變量不等關(guān)系問題，要善于數(shù)形結(jié)合，通常根據(jù)函數(shù)的圖象及時轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)最值比較問題.

三、消元

1.用等量關(guān)系消元

例3已知分段函數(shù)

如果存在實數(shù)m,n(m

解,結(jié)合f(x)的圖象(如圖7)，知f(x)=a恰有三個不同的實數(shù)解,由圖7可知,實數(shù)a的取值范圍是(1,2).

評注本題求解的關(guān)鍵是利用f(m)=f(n)消元,將問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)g(n)的值域去解決．在解決問題的過程中,需關(guān)注自變量的取值范圍，防止出錯．

2.通過解析式恒等變形消元

評注此題求解的關(guān)鍵在于去掉絕對值符號,故先考慮函數(shù)f(x)及x2的單調(diào)性,去掉絕對值符號后,再進一步調(diào)整表達式,達到消元構(gòu)造新函數(shù)來解題的目的．

3.用換元法消元

證明依題意，只需證lnx1+lnx2>2.

可得lnx1+lnx2

綜上,可得lnx1+lnx2>2,即x1x2>e2.

評注本題屬于極值點偏移問題,處理的方法很多,也可以構(gòu)造函數(shù),用函數(shù)的單調(diào)性去處理．