侯 軍 卜大海

(中央民族大學(xué)附屬中學(xué)海南陵水分校，572400) (廣東省汕頭市澄海蘇北中學(xué)，515829)

在2019年的高考中,出現(xiàn)了一道以分段函數(shù)的為載體的圖象多維變換問題,并在2020年的各類模擬試題中得到了廣泛的拓展,形成了高考備考的新熱點(diǎn)．本文對(duì)這一類問題進(jìn)行探究和解讀,希望對(duì)高三復(fù)習(xí)迎考有所幫助．

一、等間距伸縮變換

解依題意，因?yàn)閒(x+1)=2f(x),所以f(x)=2f(x-1).

反思上述解法采用分類討論、數(shù)形結(jié)合解決問題，做法耗時(shí)，且分段作圖時(shí)易出錯(cuò).我們考慮通過圖象變換的方式達(dá)到快捷解題的目的．

更一般地,對(duì)于形如f(x+a)=bf(x)(a>0,b>0),可用如下兩種形式快速作圖.

方法1由f(x)=bf(x-a),其代數(shù)解釋為:

x∈(x1,x2)時(shí)，f(x)=bf(x-a);

x∈(x1+a,x2+a]時(shí)，f(x)=b2f(x-2a);

…

x∈(x1+(n-1)a,x2+(n-1)a]時(shí)，f(x)=bnf(x-na).

其圖形內(nèi)涵是函數(shù)圖象每向右移動(dòng)a個(gè)單位,圖象高度同時(shí)變?yōu)樯弦欢螆D象的b倍．

兩種方法，本質(zhì)相同.

解當(dāng)x=0時(shí),易知g(0)=-1.

二、等間距平移變換

一般地,對(duì)于形如f(x)=f(x+a)(a>0)的函數(shù)f(x),可知f(x)以a為周期,其函數(shù)圖象呈周期性重復(fù),這類周期函數(shù)可視為函數(shù)已知段圖象的等間距平移變換.

關(guān)于x的方程f(x)=x有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

解根據(jù)題意，當(dāng)x≤0時(shí),函數(shù)f(x)=3-x-a的圖象是由y=3-x的圖象向上或向下平移a個(gè)單位而得.

當(dāng)x>0時(shí),f(x)在[0,1]的圖象是由f(x)在(-1,0]的圖象右移一個(gè)單位得到;f(x)在(1,2]的圖象是由f(x)在(0,1]的圖象右移一個(gè)單位得到，…依此類推,可得到f(x)在y軸右邊的各段圖象,如圖3所示.

當(dāng)a=2時(shí),y=f(x)與y=x的圖象恰好有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).A,B.在此情況下，將函數(shù)y=f(x)圖象向上微小平移一點(diǎn),兩圖象就有三個(gè)不同的交點(diǎn);向下平移一小段時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn),但向下平移超過一個(gè)單位(即a≥3)時(shí),圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

因此,當(dāng)兩個(gè)圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為[2,3),此時(shí)方程f(x)=x有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根.

(A)2n+2 (B)2n2+n-1

(C)2n2+3n+1 (D)n2+4n+1

f(x)在(-2,+∞)的圖象可由(-2,0]的圖象向右以2為單位依次平移得到,如圖5所示.

于是，f(x)在R上的所有零點(diǎn)為2k-3(k∈N),y=f[g(x)]在(-∞,2n](n∈N)上的零點(diǎn)為方程2x-1=2k-3(k∈N)的解,其中x≤2n.不難解得x=k-1(0≤k≤2n+1,k∈N),故所求零點(diǎn)之和為

評(píng)注本題有兩個(gè)難點(diǎn),一是函數(shù)圖象的繪制,我們可以通過拋物線弧段等間距向右平移完成;二是對(duì)零點(diǎn)之和的求解,需由復(fù)合函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化.事實(shí)上,作為選擇題,還可以對(duì)n賦值,分析選項(xiàng)即可得到正確答案.

三、變間距伸縮變換

四、對(duì)稱翻轉(zhuǎn)變換

一般地,若函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2a-x),則y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱;若函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(2a-x)=2b,則y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.這兩個(gè)結(jié)論在分段函數(shù)中常有應(yīng)用．

例6已知函數(shù)

關(guān)于x的方程f2(x)-af(x)=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

解由f2(x)-af(x)=0，可得f(x)=0或f(x)=a.

由f2(x)=af(x)恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)