高健欽，彭俠夫

(廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，福建 廈門 361100)

0 引言

隨著我國軍事武器裝備作戰(zhàn)性能的不斷提升，艦船在航行過程中產(chǎn)生的角形變已成為提升武器裝備作戰(zhàn)性能的瓶頸。大型艦船如導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、航母等艦船并非剛體，在運動過程中會產(chǎn)生角形變[1]。艦船角形變產(chǎn)生的主要原因有以下幾點：一方面是由于載荷變化使得重力分布產(chǎn)生變化引起的形變，另一方面溫度變化也會導(dǎo)致船體結(jié)構(gòu)出現(xiàn)緩慢的變化，此外艦船在航行過程中受到的海浪沖擊、武器發(fā)射時產(chǎn)生的沖擊等作用也會引起船體的形變[2]。船舶角形變可根據(jù)產(chǎn)生原因和數(shù)量級差異，分為靜態(tài)角形變和動態(tài)角形變。形變幅值高達1°～5°，且短時間內(nèi)幾乎不隨時間變化，為靜態(tài)形變。形變幅值約為幾十角秒，隨時間變化較快，為動態(tài)形變。根據(jù)Wei Wu[3-4]的研究內(nèi)容分別從伯努利-歐拉梁理論和先前實測數(shù)據(jù)特征分析證實動態(tài)角形變符合二階馬爾可夫分布。船體變形角的存在是制約大型艦船建立統(tǒng)一空間基準(zhǔn)的根本原因，直接影響艦載裝備精度，因此對船舶變形進行極短期預(yù)報研究具有重要的意義。

船舶變形極短期預(yù)報是指利用船舶變形以及其他海況等的測量數(shù)據(jù)對船舶變形規(guī)律建立模型并預(yù)報未來五秒到十秒鐘的變形角大小，以便更好地提前做出控制策略[5]。關(guān)于對船舶運動及變形極短期預(yù)報的研究，國外最早開始于20世紀(jì)70年代。最初，極短期預(yù)報采用的方法計算繁雜，難以實際開展。20世紀(jì)80年代以后，現(xiàn)代控制理論發(fā)展成熟，在線實時預(yù)報與控制得以實現(xiàn)，預(yù)報工作進入可行性研究階段。目前，基于不同的原理，已相繼提出了多種船體變形預(yù)報方法。船體變形預(yù)報方法大致可以分為試驗方法和理論方法兩個方面，現(xiàn)階段對艦船角形變的極短期預(yù)報方法主要是孫佳麗等采用基于有限元分析技術(shù)[6]或黃強等采用基于船體梁彈性變形的理論計算為主[7]。試驗方法由于比較依賴形變模型及參數(shù)準(zhǔn)確程度，因此未得到廣泛的應(yīng)用。時間序列分析方法通常是按時間順序排列的一系列被觀測數(shù)據(jù)，按固定時間間隔對觀測數(shù)據(jù)進行采樣。在用此方法作預(yù)測時，常以過去的歷史資料為依據(jù)，尋找觀測數(shù)據(jù)序列的規(guī)律，預(yù)測將來的變化。由于艦船的變形具有很強的隨機性和非線性，使用傳統(tǒng)時間序列分析的方法進行預(yù)報并不能獲得理想的效果。

近些年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因其非線性映射、自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)等特點，已經(jīng)成為一種流行的系統(tǒng)建模和時間序列預(yù)測工具。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種高效的前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有獨特優(yōu)勢。相較于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度更快，其最佳逼近性能也更便于得到全局最優(yōu)解[8]。其中，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于其結(jié)構(gòu)簡單、非線性逼近精度優(yōu)和學(xué)習(xí)速度快等特點得到了廣泛青睞。在20世紀(jì)90年代，就先后有學(xué)者利用RBF網(wǎng)絡(luò)來逼近SD-AR模型中的函數(shù)系數(shù)[9-10]。然而由于對模型參數(shù)準(zhǔn)確性過分依賴，早期建立的RBF預(yù)測模型雖能達到預(yù)測大致趨勢的效果，但因其模型具有較強的隨機性，始終無法應(yīng)用于工程項目之中。

目前，將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于船舶變形的相關(guān)研究較少。應(yīng)用RBF-AR模型進行船舶變形極短期預(yù)報的難點在于模型參數(shù)的辨識，包括模型階次、RBF網(wǎng)絡(luò)中心的選取以及線性權(quán)重等。甘敏等[11]提出了兩種用于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)估計的混合算法，其中SNPOM辨識方法收斂速度快，精度高，優(yōu)于現(xiàn)有其他算法。本文使用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立船舶變形模型并采用SNPOM辨識方法，克服了RBF網(wǎng)絡(luò)預(yù)測隨機性的問題，能有效減少訓(xùn)練時間并提高預(yù)報精度。并結(jié)合符合撓曲變形特征的仿真數(shù)據(jù)對提出方法的可行性與有效性進行了驗證。

1 船體變形預(yù)報模型

針對船舶角形變的非線性特征，對于一個確定的時間序列{y(t)∈R1,t=1,…,N}，非線性時間序列建模主要任務(wù)是構(gòu)建如下映射關(guān)系，f:Rp→R1，可表示為：

(1)

式中，y(t)∈R為預(yù)測輸出值，f(·)為非線性映射，e(t)為高斯白噪聲，X(t-1)為t時刻的狀態(tài)向量，p為模型階次。

式(1)為一般表達形式，不能直接應(yīng)用。在實際控制中，通常采用狀態(tài)相依自回歸模型[12]，其結(jié)構(gòu)特征如下：

(2)

式中，{φi(X(t-1)),i=1,2,…,p}為狀態(tài)相依函數(shù)系數(shù)。

RBF網(wǎng)絡(luò)可以任意精度逼近任何函數(shù)，因此可用于逼近模型(2)中系數(shù)。高斯RBF網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

根據(jù)圖1所示結(jié)構(gòu)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入向量和輸出向量的函數(shù)關(guān)系通過非線性映射表現(xiàn)出來。其結(jié)構(gòu)可分為三層，包括輸入層、隱含層和輸出層。第一層是輸入層，由信號源節(jié)點組成。第二層為隱含層，其輸出由輸入矢量與徑向基函數(shù)中心之間的距離確定，中心函數(shù)一般選擇高斯函數(shù)。第三層是輸出層，表現(xiàn)為隱含層的輸出到輸出層的線性映射。

高斯RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以表示為：

(3)

式中，w0為偏置，{wi,i=0,1,…,m}為隱含層到輸出層的權(quán)重，m為隱含層節(jié)點數(shù)，λk表示RBF網(wǎng)絡(luò)的比例縮放因子，X為輸入向量，Z為中心向量，‖·‖為歐幾里得范數(shù)，表示向量的歐氏距離。

用式(3)所示RBF網(wǎng)絡(luò)逼近式(2)中狀態(tài)相依函數(shù)系數(shù)，得到RBF-AR模型結(jié)構(gòu)如下：

式中，{wik,i=0,1,…,p;k=0,1,…,m}為線性權(quán)重，d為模型的階次。

由此可以看出，RBF網(wǎng)絡(luò)是RBF-AR模型的一個組成部分，因此RBF-AR模型更具普適性。一般情況下，式(4)中不同回歸部分具有不同中心值，即使RBF網(wǎng)絡(luò)中心相同，其回歸多項式系數(shù)也可能不同。因此，在達到相同精度條件下，RBF-AR模型可能擁有更少的中心值。為了簡化計算，本文采用相同中心值與不同回歸多項式系數(shù)。

2 變形預(yù)報模型參數(shù)辨識

圖2 模型參數(shù)辨識流程

2.1 模型定階

對于船舶角形變預(yù)測模型階次的選擇，采用高AIC準(zhǔn)則進行定階，AIC值越大表示階次更為合適，計算過程如下：

(5)

2.2 參數(shù)分類

RBF-AR的模型(4)參數(shù)分為線性參數(shù)和非線性參數(shù)，其中線性參數(shù)可表示為：

θL={w0,wik|i=0,1,…,p;k=0,1,…,m}∈R(m+1)(p+1)

(6)

非線性參數(shù)主要是網(wǎng)絡(luò)中心及寬度，可表示為：

θN={λk,Zk|k=0,1,…,m}∈Rm+d

(7)

將式(4)進行化簡可得：

y(t)=f(θL,θN,X(t-1))+e(t)

(8)

y(t)=Ψ(θN,X(t-1))TθL+e(t)

(9)

2.3 參數(shù)初始化

(10)

(11)

2.4 優(yōu)化過程

定義殘差的平方和作為目標(biāo)函數(shù)：

(12)

(13)

因此，該優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)換為求：

(14)

根據(jù)式(11)可推得線性參數(shù)θL和非線性參數(shù)θN的更新公式為：

(15)

式中，k為迭代步數(shù)，βk為搜索步長，dk為搜索方向。dk的值難以直接求解，因此引入雅克比(Jacobian)矩陣，形式如下：

(16)

因此，可通過下式求出dk值：

(17)

式中，γk決定了dk的幅度和方向，如果下降太快，使用較小的γk，使之更接近高斯牛頓法 ；如果下降太慢，使用較大的γk，使之更接近梯度下降法[14]。

3 仿真驗證

為驗證所提變形預(yù)報方法對船舶角形變序列的跟蹤能力，設(shè)置了一組仿真實驗，通過模擬產(chǎn)生符合角形變特征的仿真數(shù)據(jù)，采用RBF-AR預(yù)報算法與傳統(tǒng)AR預(yù)報模型進行計算并比較其跟蹤能力。

船體甲板基準(zhǔn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點一般選定在艏艉線的中部，艦載設(shè)備沿艏艉線呈縱向分布。船體坐標(biāo)系定義為oxyz，oy沿著船體的縱軸指向船艏，oz垂直于甲板平面指向上方，ox指向船體右舷，與oy、oz構(gòu)成直角坐標(biāo)系，即右前上坐標(biāo)系。定義ox方向的變形為縱撓角(pitch)，oy方向的變形為橫扭角(rolling)，oz方向的變形為艏撓角(heading)。

文中所建立的是極短期的預(yù)報模型，因此靜態(tài)角形變可以視為常數(shù)[15]，采用的仿真數(shù)據(jù)為服從二階馬爾科夫過程分布的動態(tài)角形變與為常值的靜態(tài)角形變疊加而成的總形變角序列。船體強度理論研究和實際實驗表明，對于有限時間間隔來說，船體動態(tài)形變可視為平穩(wěn)隨機過程，即數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)不變。因此，動態(tài)形變角由以下公式仿真獲得：

(18)

根據(jù)表1參數(shù)的設(shè)置，船體變形角仿真數(shù)據(jù)如圖3所示。

表1 動態(tài)角形變參數(shù)設(shè)置

圖3 三軸的仿真變形角

圖3所示為仿真環(huán)境中三軸角形變大小，從上至下分別為艏撓角、橫扭角、俯撓角，通過圖片可以觀察到，三軸的變形角曲線都具有一定的隨機性。對數(shù)據(jù)進行截取，取0～180 s的船體變形角數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練和辨識，180～235 s的數(shù)據(jù)進行預(yù)報對比，通過對三軸角形變仿真數(shù)據(jù)的預(yù)報來驗證RBF-AR模型的有效性。采用均方誤差(mean squared error,MSE)來評價預(yù)測精度：

(19)

圖4 艏撓角RBF-AR預(yù)報結(jié)果

為公平比較及說明RBF-AR模型的預(yù)測精度，分別采用兩種船體變形極短期預(yù)報方法，在同一組變形仿真數(shù)據(jù)上測試兩種預(yù)報方法的性能。圖4～圖9分別為船體變形艏撓角、橫扭角、縱撓角兩種方法的變形預(yù)報曲線，從圖中可以看出兩種方法都能夠大致跟隨船體角形變的變化趨勢。從圖4與圖5，圖6與圖7，圖8與圖9的預(yù)報結(jié)果比較可以看出改進的算法提高了預(yù)報精度，大大減小了變形幅值預(yù)報誤差。由此可得，RBF-AR模型具有較強的跟蹤能力，能夠有效、準(zhǔn)確地對船舶角形變進行預(yù)報。與此同時我們也能通過圖4、圖6、圖8的預(yù)報曲線觀察到，對于船舶變形預(yù)報序列而言，同階的非線性自回歸模型比線性回歸模型有更高的精度，但在最大幅值處的預(yù)測仍存在一定誤差。

圖5 艏撓角AR預(yù)報結(jié)果

圖6 橫扭角RBF-AR預(yù)報結(jié)果

圖7 橫扭角AR預(yù)報結(jié)果

圖8 縱撓角RBF-AR預(yù)報結(jié)果

圖9 縱撓角AR預(yù)報結(jié)果

表2 預(yù)報性能指標(biāo)

通過表2給出了兩種預(yù)報方法的均方誤差(MSE)，通過對比兩種預(yù)報方法的均方誤差值也可以驗證改進算法對于預(yù)報效果的提升。

綜上所述，文中提出的RBF極短期船體變形角預(yù)報算法是有效的，能取得比較好的效果。

4 小結(jié)

本文針對傳統(tǒng)AR模型難以預(yù)測船體角形變的問題，在AR預(yù)報模型的基礎(chǔ)上提出了一種用一組RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近AR-SD模型參數(shù)的預(yù)報模型，從而可在全局范圍內(nèi)搜索最優(yōu)解。算法分析與實驗結(jié)果表明：傳統(tǒng)的時間序列預(yù)測方法無法實現(xiàn)對變形角的跟蹤，預(yù)測模型誤差較大。RBF-AR模型相較于傳統(tǒng)的時間序列模型具有跟蹤效果好、計算過程少的優(yōu)點，對預(yù)報過程中船體變形隨機性、非線性的問題，具有較好的預(yù)報效果。在Matlab中使用自帶函數(shù)擬合模型時，模型存在較強的隨機性。而使用結(jié)構(gòu)化的非線性參數(shù)優(yōu)化方法(SNPOM)，不僅有效的解決了線性參數(shù)與非線性參數(shù)互相混雜、難以辨識的問題，而且也使模型具有確定的參數(shù)。

5 結(jié)束語

對船體角形變進行精準(zhǔn)預(yù)報，實現(xiàn)全艦統(tǒng)一姿態(tài)基準(zhǔn)是艦載武器裝備系統(tǒng)協(xié)同工作的重要前提。RBF-AR模型在船體角形變預(yù)報任務(wù)中具有非常好的應(yīng)用前景。在實際應(yīng)用中可以節(jié)省大量的計算量和時間成本，極大地提升預(yù)報效果，對建立全艦統(tǒng)一姿態(tài)基準(zhǔn)提供巨大幫助。在未來的工作中，會將算法結(jié)合實測數(shù)據(jù)已經(jīng)半物理仿真平臺中進行試驗，提升算法的適用性，對船體變形精確預(yù)報，推動實現(xiàn)各站位點姿態(tài)基準(zhǔn)的精確引射和統(tǒng)一。