王清娟， 吳燕林

(陽(yáng)光學(xué)院基礎(chǔ)教研部， 福建福州 350015)

0 引言

國(guó)內(nèi)外已有許多學(xué)者對(duì)具收獲率或投放率的Holling-IV類(lèi)捕食系統(tǒng)進(jìn)行研究， 并取得很好的結(jié)論[1-5].但對(duì)于食餌具有較復(fù)雜的密度制約項(xiàng)， 兩種群均有非常數(shù)收獲率的研究相對(duì)較少， 文獻(xiàn)[6-7]分別討論了兩種群都有非常數(shù)收獲率的Holling-II類(lèi)和Holling-III類(lèi)模型， 研究了系統(tǒng)平衡點(diǎn)， 分析了中心焦點(diǎn)的階數(shù)及其穩(wěn)定性， 并給出系統(tǒng)極限環(huán)存在性及不存在性的相關(guān)條件.

文獻(xiàn)[8]研究了如下系統(tǒng)：

給出了此系統(tǒng)正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的充分條件和生態(tài)解釋.

在上述研究的基礎(chǔ)上， 本文將討論一類(lèi)食餌種群具有非線性密度制約， 而捕食種群和食餌種群同時(shí)具有非常數(shù)收獲率的Holling-IV類(lèi)功能反應(yīng)捕食系統(tǒng)：

(1)

(2)

1 平衡點(diǎn)的存在與性態(tài)分析

系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)有以下3種情況：

由以上討論得， 系統(tǒng)有平凡平衡點(diǎn)(0,0)， (x1,0)， 而正平衡點(diǎn)的存在有3種情況： 無(wú)正平衡點(diǎn)、 有唯一正平衡點(diǎn)、 有兩個(gè)平衡點(diǎn). 下面只考慮系統(tǒng)在G={(x,y)|x≥0,y≥0}內(nèi)有唯一正平衡點(diǎn)的情形.

(1)平衡點(diǎn)(0,0)和(x1,0)為系統(tǒng)(1)的鞍點(diǎn)；

故平衡點(diǎn)(x1,0)為鞍點(diǎn).

2 極限環(huán)的不存在性

證明取Dulac函數(shù)B(x,y)=x-1y-1， 則

于是

當(dāng)βc-m>0時(shí)，

由Dulac判別法知： 系統(tǒng)(2)在G內(nèi)無(wú)環(huán).