呂 芳

(洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 河南洛陽 471934)

1 基本概念

定義1[1,2]設(shè){X(t),t∈T}是一個隨機過程， 如果對于任意n≥1和任意t1,t2,…,tn∈T， (X(t1),X(t2),…,X(tn))是n維正態(tài)隨機向量， 則稱{X(t),t∈T}為正態(tài)過程或高斯過程.

將概率空間(Ω,F,P)上具有二階矩的隨機變量的全體記為H.

2 相關(guān)定理

定理1[5]設(shè)m維隨機向量X=(X1,X2,……,Xm)～N(μ,B)， 若n維隨機向量Y是X的線性變換， 即Y=XC， 其中C是m×n階矩陣， 則Y服從n維正態(tài)分布N(μC,CTBC).

引理1[6]設(shè)X=(X1,X2,……,Xn)是n維隨機向量，X～N(μ,B)， 其中μ為均值向量，B為協(xié)方差矩陣， 則X的特征函數(shù)為

由引理1及正態(tài)過程的定義易得定理3.

定理3設(shè){X(t),t∈T}為正態(tài)過程， 均值函數(shù)為mX(t),協(xié)方差函數(shù)為CX(s,t),則{X(t),t∈T}的任意有限維特征函數(shù)為

相關(guān)函數(shù)為

故協(xié)方差函數(shù)為

3 主要結(jié)論

ri∈R,ui∈U,i=1,2,…n,n∈N.

于是， ?m≥1， ?u1,…,um∈U， 有

因

(Y(u1),Y(u2),…,Y(um))

由定理2知(Y(u1),Y(u2),…,Y(um))是m維正態(tài)隨機向量， 故{Y(u),u∈U}為實正態(tài)過程.

由定理4知均方積分過程{Y(u),u∈U}的均值函數(shù)為

協(xié)方差函數(shù)為

結(jié)合定理3得實正態(tài)過程{Y(u),u∈U}的任意有限維特征函數(shù)為

ri∈R,ui∈U,i=1,2,…n,n∈N.