高繼文

自普蘭特1859 年發(fā)明鉛酸蓄電池以來，其廣泛用于軍事、日常生活等各個方面.鉛酸電池放電過程中，在持續(xù)不變的電流強度下，電池的電壓變化呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，電壓隨著放電時間的增加而不斷下降，直到降至一個固定數(shù)值，稱之為最低額定保護電壓，記為Um，且Um=9.0 V.當電池被充滿電后，開始讓它放電，隨著時間變化電壓也會相應變化的趨勢關系稱之為該電池的放電曲線.文章將電池在現(xiàn)階段能夠持續(xù)供電的時間以及放電到保護電壓所需的時間作為探討的主要對象，其中提供的相關電池數(shù)據(jù)來源于相同批次，當其出廠時以不同的電流進行相關放電測試研究，相同的電池在不同的衰減狀態(tài)下，再以相同的電流從充滿電狀態(tài)起，對其放電進行相關記錄.并需要解決以下問題：

其一，已給出相同的生產(chǎn)批次電池放電測試情況，請根據(jù)相關信息建立其放電曲線，再利用建立的放電曲線數(shù)學模型，當電壓為9.8 V 時，分別以30.0 A，40.0 A，50.0 A，60.0 A和70.0 A 不同的電流強度放電，求其相應的剩余放電時間是多少.

其二，試以20.0～100.0 A 任意一個恒定的電流強度下，構(gòu)建相應的放電曲線數(shù)學模型，同時利用MRE 值對模型的精度進行評估.當電流強度I=55.0 A 時，繪制其放電曲線圖.

其三，同一個鉛酸電池在不同衰減狀態(tài)下，以相同的電流強度從充滿電開始，觀察記錄其放電狀態(tài)，在已提供的衰減狀態(tài)3 下，試著討論預測電池的剩余放電時間（文中提到的3 個衰減狀態(tài)及相關數(shù)據(jù)均來自于2016 年全國大學生數(shù)學建模競賽C 題及附件數(shù)據(jù)）.

1 模型的建立

因為機器所需的電源如果發(fā)生故障，需要有后備的電池提供電源供給，但是如果在實際工作中沒有預先發(fā)現(xiàn)備用蓄電池問題，這些疏忽都將導致無法挽回的損失.因此，檢測蓄電池健康運行狀態(tài)是整個行業(yè)的重點研究方面之一［1］.

1.1 放電曲線的多項式模型

利用已有數(shù)據(jù)，提取電流強度與放電時間的相關數(shù)據(jù)，列出9 個電流強度值與分別對應的放電時間關系表，如表1 所示.

表1 電流強度與放電時間變化表

顯然，基于表1 的數(shù)據(jù)變化，可得出電流強度與放電時間的一一對應關系，繪制出散點圖，如圖1 所示，從而可直觀地看到放電時間的變化情況.

根據(jù)對應關系，容易得出結(jié)論：隨著電流強度逐漸增大，放電時間逐漸減小.通過已給數(shù)據(jù)，同一個批次的電池出廠時，用不同的電流強度進行放電測試，考慮到起始階段電池電壓穩(wěn)定性不夠，所以對30 min 后的電壓情況進行研究更具有代表性.綜合比較后利用三次函數(shù)模型進行擬合，利用EXCEL 畫出相應的放電曲線圖，如圖2 所示.

圖1 電流強度與放電時間變化圖

圖2 電池電壓與時間變化的放電曲線

從圖2 可以看出，不同的電流強度下，電池電壓會逐漸降低，不斷接近額定的最低保護電壓，同時放電時間也不斷增加.通過擬合的方法，容易得出電池電壓U關于放電時間t的多項式數(shù)學模型，模型如下：

其中：ai(i=0,1,2,3)為相關系數(shù).

結(jié)合圖2，在不同的電流強度下，對電池電壓與時間進行擬合，可以得出9 個三次函數(shù)多項式回歸方程，在此不一一列出.

1.2 MRE（平均相對誤差）模型

由MRE定義，建立如下模型：

根據(jù)平均相對誤差的定義，可知放電曲線在低壓段的質(zhì)量決定了電池放電時間的精度.考慮到電池放電曲線的采樣，在相同時間間隔下，電壓不高階段的樣本點相對較稀.所以已有數(shù)據(jù)中從Um開始最大間隔小于等于0.005 V，從中總計提取電壓的樣本點個數(shù)為231 個［2］.

根據(jù)公式（1）可得，當I=80.0 A，構(gòu)建時間T與電壓u的三次函數(shù)多項式模型，即：

其中：ki(i=0,1,2,3)為相關系數(shù)，u為電壓.

當I=80.0 A 時，所對應的三次函數(shù)為：

從數(shù)據(jù)中可以看出，Um開始按不大于0.005 V 的最大間隔，一共提取231 個電壓的樣本點，即設N=231，當I=80.0 A 時，MRE=0.006 51.按照相同的計算方法，不同的電流強度所對應的MRE值，如表2 所示.

表2 不同電流強度對應的MRE 值

1.3 電池剩余放電時間模型

由模型（3）易知，時間T與電壓u的三次多項式模型，即T(u)=k3u3+k2u2+k1u+k0，（其中ki，i= 1，2，3 為相關系數(shù)），恒定電壓下，在以不同電流強度通電狀態(tài)下，可以求解相應的剩余放電時間，求解模型如下：

在電壓恒定下，即電壓u=9.8 V，以I=70.0 A 時為例，則可得出T(u)=-70.391u3+1 621.8u2-12 132u+29 999，R2=0.999 9.

對該方程分別以電壓u=9.0 V 和u=9.8 V代入求解，最后可求得TS=250 min.同理在其他的電流強度下，所對應的剩余放電時間也可一一求解，具體如表3 所示.

表3 不同電流強度下電池的放電時間

2 模型的求解

分析9 個不同電流強度下三次函數(shù)多項式的參數(shù)，同時觀察電流和多項式模型參數(shù)值的相關變化，利用MATLAB 軟件進行分析，當電流數(shù)值提高十個數(shù)量級時，所對應的參數(shù)值也降低一個數(shù)量級，而單調(diào)性始終不變.因此，指數(shù)函數(shù)模型的特性比較適合［3］，檢驗后，發(fā)現(xiàn)擬合的效果較好，故建立優(yōu)化的數(shù)學模型，模型如下：

其中：ai,bi為參數(shù)，i=0,1,2,3，A,t為自變量.

利用MATLAB 軟件，將EXCEL 的數(shù)據(jù)導入后，可得式（5）的參數(shù)值如表4 所示.

接著對已求解得到的數(shù)學模型，借助MATLAB 軟件畫圖、擬合等功能，逐步編程后擬合出電流強度為55 A 的放電曲線［4］，放電曲線如圖3 所示.

表4 參數(shù)值列表

圖3 電流強度為55 A 時的放電曲線

利用已建立的數(shù)學模型，通過編程便可得到不同電流強度所對應的MRE值，如表5所示.

表5 不同電流強度對應的MRE 值

先對數(shù)據(jù)中衰減狀態(tài)3 的剩余放電時間進行初步分析，再利用MATLAB 軟件中cftool分析工具的幫助對得出的數(shù)據(jù)進行擬合分析，容易得出所建立的函數(shù)是單調(diào)遞減的，同時可以用3 次函數(shù)模型來擬合［5］，所以可得模型如下：

利用MATLAB 軟件，將已得到的EXCEL數(shù)據(jù)導入后，對需要求解的參數(shù)通過軟件語言進行編程.由于電池在放電過程中，其電壓在起始階段穩(wěn)定性差，因此對30 min 后的放電曲線狀態(tài)進行考查研究［6］，利用相同的方法進行數(shù)據(jù)擬合，采用三次函數(shù)模型建模，并較容易的利用MATLAB 畫出電池放電曲線圖，如圖4 所示.

圖4 30 min 后電池的放電曲線

利用EXCEL、MATLAB 對相關數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理，得到相關函數(shù)模型為：

所以，當u=9 V 時，電池的剩余放電時間約為1 282.7 min.從而，得知這樣的結(jié)果與新電池放電樣本狀態(tài)下的時間1 281.1 min 契合度較高［7］.遵循同樣的步驟與方法可以很快確定在衰減狀態(tài)1 和衰減狀態(tài)2 下，當u=9 V 時的電池的剩余放電時間.

因為模型的誤差分析情況是衡量所建立的數(shù)學模型精度必須完成的關鍵環(huán)節(jié)［8-9］.用已給數(shù)據(jù)，對電池狀態(tài)中前3 個數(shù)據(jù)進行評估，然后利用預測得到的相關數(shù)據(jù)與實際的數(shù)據(jù)進行對比，將回歸方程的誤差和殘差求出，殘差的求解公式如式（7）所示.

通過計算，可得到三個狀態(tài)下殘差及預測值，具體如表6 所示.

表6 預測值及殘差

利用表6 給出的數(shù)據(jù)，可以計算出殘差絕對值與實際數(shù)據(jù)的比值.求解模型如下：

其中：Ct為殘差絕對值和實際值的比值，|et|為殘差的絕對值，St為衰減狀態(tài)下的實際值.通過計算得到各狀態(tài)下的相關比值，如表7 所示.

表7 不同狀態(tài)下的比值

從表7 可以看出，每個狀態(tài)下的比值都小于1%，所以擬合的吻合程度較高［10］.因此可以對衰減狀態(tài)3 的剩余放電時間進行比較準確的預測.由于在30 min 前電池的穩(wěn)定性較差，可以再次利用EXCEL、MATLAB 軟件對數(shù)據(jù)進行處理，得到離散點，進而擬合出放電曲線如圖5 所示.

圖5 30 min 后衰減狀態(tài)3 的放電曲線

根據(jù)圖5 擬合得到曲線方程

因此，當u=9.0 V 的電池在放電時間T=807.4 min 時，經(jīng)計算可求出，在衰減狀態(tài)3下，鉛酸電池的剩余放電時間約為211 min.

3 結(jié)語

通過對已有數(shù)據(jù)進行適當?shù)靥幚?，建立了?shù)學模型，并且繪制出相應的可視化分析圖表，同時也對鉛酸電池放電預測進行了深入探討，在解決問題的思路和模型推廣應用上可為其他同類問題的研究提供一定的借鑒.