付新華，李 寧，郭淵昊，李 鵬

（三角輪胎股份有限公司，山東 威海 264200）

輪胎在接地時(shí)變形較復(fù)雜，受壓縮、剪切及拉伸等多種變形共同影響，目前有限元分析一般采用基于單軸拉伸數(shù)據(jù)擬合的Yeoh或Neo-Hookean等超彈性模型進(jìn)行表征[1-2]。本工作以實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)及超彈性擬合數(shù)據(jù)分析研究這種表征方式的適用性及其與綜合拉伸＋剪切＋壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的超彈性本構(gòu)模型的精度差異。

1 試驗(yàn)測(cè)試

橡膠材料幾乎不可壓縮，因此一般用單軸拉伸、等雙軸拉伸和平面拉伸等變形模式來表征橡膠材料的單軸拉伸/壓縮、等雙軸拉伸/壓縮及平面拉伸/壓縮等力學(xué)特性。

對(duì)某規(guī)格全鋼子午線輪胎膠料進(jìn)行單軸拉伸、等雙軸拉伸和平面拉伸3種變形模式的測(cè)試，試驗(yàn)夾具如圖1所示。將試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到3種變形模式的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，并與擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖1 試驗(yàn)夾具

2 不同變形模式試驗(yàn)結(jié)果擬合

目前有多種本構(gòu)模型可以表征橡膠材料的超彈特性，除了上述兩種模型外，還有基于熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)的Van der Waals模型和Arruda-Boyce模型及基于現(xiàn)象學(xué)的完全多項(xiàng)式模型和Ogden模型等。總體而言，基于變形張量I1的模型包括Neo-Hoohean和Yeoh等縮減多項(xiàng)式模型、Marlow模型和Van der Waals模型（β＝0，β為變形張量I1和I2合成I的線性參數(shù)）；基于I1和I2的模型包括Ogden模型和Van der Waals模型（β≠0）。這些模型的適用范圍和擬合精度不同。下面以同種膠料試驗(yàn)為例研究不同變形模式組合時(shí)幾種常用本構(gòu)模型的擬合精度[3-4]。

2.1 單軸拉伸數(shù)據(jù)擬合

單軸拉伸數(shù)據(jù)擬合的Yeoh，Ogden和Van der Waals模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分別如圖2—4所示。由圖2—4可以得出以下結(jié)果。

圖2 單軸拉伸數(shù)據(jù)擬合的Yeoh模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

單軸拉伸數(shù)據(jù)擬合得到的Yeoh模型表征的單軸拉伸曲線與測(cè)試數(shù)據(jù)匹配較好，平面拉伸變形擬合精度也較高，而等雙軸變形模式下應(yīng)變小于50%時(shí)也相對(duì)合理。

Ogden模型擬合出的單軸拉伸曲線與測(cè)試數(shù)據(jù)擬合較好，但另外兩種變形模式與測(cè)試數(shù)據(jù)差別巨大，因此僅有單軸拉伸數(shù)據(jù)時(shí)不適宜用Ogden本構(gòu)模型。

Van der Waals模型擬合出的單軸拉伸曲線與測(cè)試數(shù)據(jù)擬合較好，而另外兩種變形模式與測(cè)試數(shù)據(jù)差別很大。

由此可見，在僅有單軸拉伸測(cè)試數(shù)據(jù)時(shí)，Ogden和Van der Waals模型的擬合精度不如Yeoh模型。

2.2 單軸拉伸＋等雙軸拉伸數(shù)據(jù)擬合

單軸拉伸＋等雙軸拉伸數(shù)據(jù)擬合的Yeoh，Ogden和Van der Waals模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖5—7所示。由圖5—7可得出以下結(jié)果。

圖3 單軸拉伸數(shù)據(jù)擬合的Ogden模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

圖4 單軸拉伸數(shù)據(jù)擬合的Van der Waals模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

圖5 單軸拉伸＋等雙軸拉伸數(shù)據(jù)擬合的Yeoh模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

通過單軸拉伸＋等雙軸拉伸數(shù)據(jù)擬合Yeoh模型表征的等雙軸變形模式曲線的精度比僅有單軸拉伸數(shù)據(jù)時(shí)得到很大提升。

圖6 單軸拉伸＋等雙軸拉伸數(shù)據(jù)擬合的Ogden模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

圖7 單軸拉伸＋等雙軸拉伸數(shù)據(jù)擬合的Van der Waals模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

通過單軸拉伸＋等雙軸拉伸數(shù)據(jù)擬合Ogden模型表征的單軸拉伸和等雙軸拉伸變形模式曲線與測(cè)試數(shù)據(jù)擬合較好，但平面拉伸變形模式曲線與測(cè)試結(jié)果仍有差別。

通過單軸拉伸＋等雙軸拉伸數(shù)據(jù)擬合Van der Waals模型表征的3種變形模式曲線與測(cè)試數(shù)據(jù)擬合精度較高。

2.3 單軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合

單軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合的Yeoh，Ogden和Van der Waals模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖8—10所示。由圖8—10可見以下結(jié)果。

圖8 單軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合的Yeoh模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

通過單軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合Yeoh模型表征的單軸拉伸和平面拉伸變形模式曲線與測(cè)試結(jié)果擬合非常好，等雙軸變形模式曲線擬合精度也比僅有單軸拉伸測(cè)試數(shù)據(jù)時(shí)得到提升。

圖9 單軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合的Ogden模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

圖10 單軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合的Van der Waals模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

通過單軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合Ogden模型表征的單軸拉伸和平面拉伸變形模式曲線與測(cè)試結(jié)果擬合非常好，但等雙軸變形模式曲線與測(cè)試結(jié)果差別巨大。

通過單軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合Van der Waals模型表征的單軸拉伸和平面拉伸變形模式曲線與測(cè)試結(jié)果擬合度非常高，但等雙軸變形模式曲線與測(cè)試數(shù)據(jù)仍有差距。

2.4 單軸拉伸＋等雙軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合

單軸拉伸＋等雙軸拉伸＋平面拉伸數(shù)據(jù)擬合的Yeoh，Ogden和Van der Waals模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖11—13所示。

由圖11—13可見，通過3種變形模式數(shù)據(jù)擬合的Yeoh，Ogden和Van der Waals模型表征的單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸變形模式曲線與測(cè)試結(jié)果的擬合度均非常高。

圖11 3種變形模式測(cè)試數(shù)據(jù)擬合的Yeoh模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

通過對(duì)Yeoh，Ogden和Van derWaals超彈性本構(gòu)模型在不同變形模式試驗(yàn)數(shù)據(jù)下的擬合結(jié)果對(duì)比可以得到以下結(jié)論。

圖12 3種變形模式測(cè)試數(shù)據(jù)擬合的Ogden模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

圖13 3種變形模式測(cè)試數(shù)據(jù)擬合的Van der Waals模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

（1）Yeoh模型隨變形模式匹配擬合精度波動(dòng)較小，因此僅有單軸拉伸數(shù)據(jù)時(shí)適宜用Yeoh模型。

（2）Ogden模型對(duì)任意一種或者幾種變形模式的擬合精度都很高，也可以說該模型擬合時(shí)只對(duì)輸入的變形模式的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精度負(fù)責(zé)，而其他變形模式則可能非常差，因此該模型適用于擬合變形模式全面的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

（3）等雙軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)是Ogden和Van der Waals模型擬合精度的關(guān)鍵，因?yàn)樵撟冃文Ｊ奖碚髂z料壓縮特性，結(jié)合輪胎實(shí)際運(yùn)動(dòng)變形情況，仿真時(shí)所用本構(gòu)模型最好能夠表征等雙軸拉伸變形。

（4）上述各本構(gòu)模型對(duì)不同膠料的擬合精度也不盡相同，一方面與材料本身性能有關(guān)，同時(shí)對(duì)測(cè)試精度也有很高的要求。

3 仿真驗(yàn)證

以相同規(guī)格全鋼子午線輪胎為例驗(yàn)證不同變形模式下的計(jì)算精度以及3種變形模式下Yeoh，Ogden和Van der Waals等模型的計(jì)算精度。具體驗(yàn)證思路如下。

（1）選單軸拉伸及單軸拉伸＋等雙軸拉伸＋平面拉伸變形模式下結(jié)果進(jìn)行變形模式對(duì)比。

（2）在單軸拉伸＋等雙軸拉伸＋平面拉伸變形模式下對(duì)Neo-Hookean，Yeoh，Ogden和Van der Waals等本構(gòu)模型進(jìn)行對(duì)比。

3.1 局部受力對(duì)比

選擇不同變形模式下的各本構(gòu)模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)負(fù)荷下的穩(wěn)態(tài)滾動(dòng)計(jì)算，并分別選擇帶束層端點(diǎn)和胎體反包端點(diǎn)區(qū)域的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3.1.1 帶束層端點(diǎn)

帶束層端點(diǎn)區(qū)域受力分析見圖14，提取其應(yīng)變能密度和應(yīng)變數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖15和16所示。

圖14 帶束層端點(diǎn)區(qū)域受力分析

圖15 帶束層端點(diǎn)應(yīng)變能密度幅值對(duì)比

圖16 帶束層端點(diǎn)剪應(yīng)變幅值對(duì)比

由圖15和16可見：應(yīng)用不同變形模式擬合的同一本構(gòu)模型帶束層端點(diǎn)應(yīng)變能密度和剪應(yīng)變計(jì)算值的變化在3%～10%范圍內(nèi)；3種變形模式下不同本構(gòu)模型計(jì)算值的變化在7%～15%范圍內(nèi)；Yeoh與Van der Waals模型計(jì)算值的最大差異約為8%。

3.1.2 胎體反包端點(diǎn)

胎體反包端點(diǎn)區(qū)域受力分析見圖17，提取其應(yīng)變能密度和應(yīng)變數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖18和19所示。

圖17 胎體反包端點(diǎn)區(qū)域受力分析

圖18 胎體反包端點(diǎn)應(yīng)變能密度幅值對(duì)比

圖19 胎體反包端點(diǎn)剪應(yīng)變幅值對(duì)比

由圖18和19可見：應(yīng)用不同變形模式擬合的同一本構(gòu)模型反包端點(diǎn)應(yīng)變能密度和剪應(yīng)變計(jì)算值的變化在9%～15%范圍內(nèi)；3種變形模式下不同本構(gòu)模型計(jì)算值的變化在2%～13%范圍內(nèi)；Neo-Hookean與Van der Waals模型計(jì)算值的差異超過10%。

3.2 計(jì)算效率對(duì)比

對(duì)選用不同本構(gòu)模型計(jì)算時(shí)的收斂情況及計(jì)算時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示。

表1 不同本構(gòu)模型計(jì)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)

由表1可見：4種模型對(duì)兩種膠料計(jì)算的迭代次數(shù)變化趨勢(shì)不同，但各本構(gòu)模型迭代次數(shù)差別不明顯；不同模型對(duì)兩種膠料的計(jì)算時(shí)間變化趨勢(shì)也不相同，Yeoh和Van der Waals模型計(jì)算時(shí)間相對(duì)較短。

該結(jié)果僅是基于一款輪胎模型在只有超彈性表征下靜載計(jì)算得到的，以說明不同本構(gòu)模型在輪胎模擬計(jì)算中的區(qū)別。當(dāng)輪胎模擬中同時(shí)涉及超彈性和粘彈性時(shí)需注意選擇超彈性本構(gòu)模型。

4 結(jié)論

通過對(duì)不同變形模式組合下Yeoh，Ogden和Van der Waals等本構(gòu)模型擬合精度的分析，得到下述結(jié)論。

（1）當(dāng)僅有單軸拉伸數(shù)據(jù)時(shí)適宜選擇Yeoh模型，而用單軸拉伸＋等雙軸拉伸＋平面拉伸3種變形模式數(shù)據(jù)能夠更好地表征膠料在實(shí)際工況下的變形狀態(tài)。

（2）在測(cè)試數(shù)據(jù)包括3種變形模式時(shí)，Van der Waals和Ogden模型的擬合精度相對(duì)較高，應(yīng)用擬合精度較高的模型進(jìn)行計(jì)算可以更好地表征輪胎各工況的實(shí)際受力狀況，尤其是分析不同設(shè)計(jì)方案輪胎胎體反包端點(diǎn)和帶束層端點(diǎn)等局部受力時(shí)能得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。

此外，當(dāng)模型中涉及膠料的粘彈性時(shí)還要考慮超彈性與粘彈性的匹配問題。