陽(yáng) 倩，王 琦

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

非線性延遲微分方程被廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、自動(dòng)化等學(xué)科[1-5]。振動(dòng)性作為一種重要的定性行為，在生物數(shù)學(xué)和工業(yè)等領(lǐng)域有一些很好的應(yīng)用[6-8]。自上世紀(jì)70年代起，就有學(xué)者開始研究各種非線性延遲微分方程的振動(dòng)性[9-12]。1825年，Gompertz[13]在探討人類死亡規(guī)律時(shí)首次提出了Gompertz方程后Winsor[14]和Laird等[15]對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了修改并提出了一些在腫瘤方面的應(yīng)用，后來越來越多的學(xué)者對(duì)Gompertz型方程的性質(zhì)[16-19]與應(yīng)用[20-22]展開了大量的研究。

2011年，Piotrowska等[16]提出了幾類帶延遲項(xiàng)的Gompertz方程，并研究了延遲項(xiàng)對(duì)經(jīng)典Gompertz方程的影響，2013年，Bodnar等[17]在其基礎(chǔ)上又引入了一項(xiàng)用于反映種群變化過程的外部干擾，并研究了方程的Hopf分支。在此基礎(chǔ)上，考慮式(1)和式(2)的延遲Gompertz方程。

其中r， k，T 都是大于0的常數(shù)，初始條件為

1 預(yù)備知識(shí)

2 方程(1)和方程(2)的振動(dòng)行為

即

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)