胡習兵 ，向思宇 ?，方輝 ，2，袁智深

（1.中南林業(yè)科技大學土木工程學院，湖南長沙410004；2.中機國際工程設計研究院責任有限公司，湖南長沙410004）

近年來，人行懸索橋憑借其景觀性、跨越性、施工便捷性等優(yōu)勢逐漸受人們所青睞.因橋體加勁梁常采用鋼結構，橋面多鋪裝玻璃[1]、木板等材料，且橋梁跨度大、寬度窄，這導致結構中加勁梁剛度相對較低.由于人行懸索橋受活載與恒載較大，在豎向荷載作用下結構幾何非線性特征明顯[2]，因此，受荷后懸索橋橋面撓度常成為結構的主要控制因素之一.

國內外學者對于該類結構的研究主要集中于公路懸索橋，已取得了一系列的研究成果.王秀蘭等[3]推導出了塔、纜變形解析公式用于多塔懸索橋結構變形估算.DONG HO CHOI 等[4]將懸索轉換為等效梁系，利用柔度方程對多塔懸索橋水平力和撓度進行求解.THAI 等[5]在對多跨懸索橋結構分析時，考慮了加勁梁的作用.對于受活載作用下纜索變形，解析中常引入重力剛度的概念[6-7].劉釗等[8]基于前者概念，通過功能原理推導出了具有更好精度的重力剛度算法.柴生波等[9]針對大跨度懸索橋，通過研究主纜在活載作用下的特性以獲得懸索橋力學特性.由于大多數(shù)學者的研究內容均針對公路懸索橋[10-11]，而關于人行懸索橋研究甚少，因而，有必要對人行懸索橋進行深入研究.

人行懸索橋受荷時，滿布人群荷載作用下主纜受力最大，且跨中會產生較明顯的豎向位移，因此對滿布人群荷載作用時的懸索橋結構受力性能進行研究具有較好的適用性[12].本文根據(jù)人行懸索橋受力特征和結構體系特點，建立了人行懸索橋的計算分析模型，并在分析中考慮多個因素對懸索橋結構變形的影響.

1 基本假定

對人行懸索橋進行計算分析時，考慮其結構構造特性、主纜與吊桿自重占結構恒載比例較大、結構柔性突出等因素，為保證計算過程的實用性和計算精度，作如下假定：

1）不考慮加勁梁的剛度影響.將結構承受恒載時的受力狀態(tài)假定為主纜的初始線形和受力狀態(tài)，在此基礎上施加均布人群荷載；

2）主纜成橋時和成橋后受豎向荷載作用下的線形均為拋物線；

3）結構所受恒載和活載沿主纜長度方向投影為均勻分布；

4）主纜為理想柔性懸索，材料力學特性符合虎克定律；

5）受荷后IP 點處位移由邊纜變形導致，不計索鞍與橋塔頂端的摩擦力，不計橋塔軸向變形.

2 計算模型

2.1 計算公式推導

計算跨中纜伸長導致的結構變形時，將邊纜處支座假設為定向彈簧支座，其彈簧剛度由邊纜的彈性模量和垂度效應所確定.在荷載作用下導致彈簧拉伸，兩端產生位移為Δ，如圖1 所示.

圖1 跨中纜計算模型Fig.1 Intermediate computing model

根據(jù)圖1，可求跨中纜索無應力長度S：

式中：S1為跨中纜受荷后的長度；ΔS 為跨中纜的伸長量.

變形前主纜拋物線公式為：

設變形后主纜拋物線公式為：

式中：Δ 為IP 點處偏移量；f 為變形前主纜的垂度；f1為變形后主纜的垂度.

取結構變形后主纜跨中某處索段為隔離體，如圖2 所示.

圖2 隔離體計算模型Fig.2 Calculating model of isolator

根據(jù)圖2，將受荷后跨中索段長度S1用微分形式進行表示：

對式（4）進行積分并將其代入式（1）可得：

將式（5）中纜索無應力長度S 同樣利用微分形式表示，利用泰勒級數(shù)展開并省略其高次項可得：

式中：n 為人行懸索橋矢跨比.

利用虎克定律表示ΔS 并結合式（5）可得公式：

式中：H1為主纜受人群荷載時水平拉力；T 為成橋時主纜拉力；T1為主纜受人群荷載時拉力.

式（7）中含未知量有 Δ、f1，若能求出 f1，則可根據(jù)公式（8）求出跨中撓度值v.

2.2 索鞍位移對結構變形的影響

Δ 為彈簧支座處產生的位移，實際為結構受荷后塔頂偏移量.現(xiàn)對Δ 進行求解，其值與懸索橋邊纜長度和所受拉力相關，建立計算模型，如圖3 所示.

圖3 邊纜計算模型Fig.3 Side cable computing model

利用式（2）可列出力學平衡方程，可得主纜水平拉力計算公式：

式中：w 為主纜成橋時所受恒荷載；q 為主纜所受活荷載；H 為主纜受荷時水平拉力.

根據(jù)式（9）算出人群荷載作用時主纜的水平力H1，利用該水平力可求出邊纜的伸長量Δ，計算時考慮垂度效應，對彈性模量進行恩斯特修正[7]：

式中：γ 為邊纜容重；S2為邊纜長度；α 為邊纜水平夾角；E 為未修正主纜的彈性模量；E0為修正后主纜的彈性模量.

由人行懸索橋主纜變形協(xié)調條件可知：

式中：L1為邊纜水平投影長度.

根據(jù)邊纜計算模型圖3，將式（9）、式（10）代入式（11）可求出Δ 計算公式：

將式（12）、式（3）與式（6）代入式（7）中，可求得f1，并根據(jù)式（8）算出跨中撓度v.

2.3 考慮非線性對主纜變形的影響

由于人行懸索橋幾何非線性特征較為明顯，在實際位移計算時需進行多輪迭代計算，經(jīng)試算，在對實際結構受力分析過程時，需對結構進行2 輪以上迭代計算才能滿足計算精度要求.

將本文計算方法中所用主要公式進行整理，將式（9）代入式（11）并整理為式（13）；

由式（3）、式（13）、式（7）可組成方程組，并進行求解：

該方程組中，含未知數(shù)有 Δ、f1、H，由于有 3 個方程，可進行求解.先進行第一輪計算.首先利用式（9）求出結構受人群荷載時H 初始值，將其代入式（13）求出Δ，再將Δ 代入式（3）求出人行懸索橋跨中主纜線形表達式，此時垂度取成橋時垂度f.最后將式（3）代入式（7）求得f1，得出結構受人群荷載時跨中主纜線形表達式；再進行第二輪計算.將考慮IP 點處偏移后的L 代入式（9）求得修正后的H，再將其代入式（13）求得修正后的 Δ，最后將其代入式（3）與式（7）得最終結果.

3 計算方法與有限元分析對比

對本文計算方法進行誤差分析并驗證其適用范圍，利用Midas/Civil 建立有限元模型.進行受力分析前，先對結構進行施工階段平衡分析，以確保成橋狀態(tài)與目標態(tài)保持一致.計算采用考慮主纜垂度效應的分段直線法；加勁梁、主塔采用梁單元進行模擬；主纜、吊桿采用只受拉索單元進行模擬.加勁梁端部釋放沿橋面縱向平動約束，主纜及橋塔底部處采用固定約束；塔頂部采用釋放沿主纜方向平動的剛性約束.

根據(jù)目前已建常見人行懸索橋情況，將100 m、150 m、200 m 不同矢跨比人行懸索橋利用本文所述方法和有限元進行計算，算例中橋面寬度取3 m，豎向人群荷載取3.5 kN/m2，加勁梁沿橋面縱向剛度取2×10-6mm4.

3.1 主纜無應力長度

利用本文計算方法和有限元對不同矢跨比人行懸索橋跨中主纜無應力長度計算結果見表1 所示.由表1 可知，在人行懸索橋跨度較大且矢跨比過大時主纜無應力長度計算誤差偏大，矢跨比為1/5 且長度為200 m 時誤差最大為78.85 cm；在跨度較小且矢跨比較小時，誤差相對較小.因此，當人行懸索橋矢跨比為1/8 ～1/20 且跨度小于200 m 時，利用本文方法進行跨中主纜無應力長度計算誤差較小.可基于上述矢跨比范圍對人行懸索橋撓度計算方法適用范圍進一步分析.

表1 人行懸索橋主纜無應力長度計算結果Tab.1 Calculations of stressless length of main cable pedestrian suspension bridges

3.2 橋面撓度

由于人行懸索橋剛度較低，受豎向荷載作用下變形較大，尤其是在矢跨比較小時結構幾何非線性特征更為明顯[13].故對100 ～200 m 跨度并且矢跨比小于1/8 的結構撓度進行2 輪試算，試算結果如圖4 所示.

由圖4 可知，有限元分析結果基本位于第一輪與第二輪計算結果包絡內.經(jīng)過第二輪計算后，計算精度較第一輪有明顯提高，對于大跨度且小矢跨比的情況，精度提升效果較好；對于跨度較小且矢跨比較大的情況，第二輪計算結果與第一輪計算接近.因此，為保證結構安全且提高計算速度，矢跨比大于1/12.5 的結構采用一輪計算即可，而矢跨比接近1/20 的結構因誤差稍大，在實際工程中運用也較少，因此不再作考慮.

圖4 撓度試算結果Fig.4 Results of deflection

表2 為不同跨度與失跨比情況下本文計算方法與有限元計算結果對比.其中計算差值主要由結構幾何非線性程度和簡化計算時主纜無應力長度偏差造成.幾何非線性程度主要由矢跨比和橋梁跨度影響，矢跨比越小，跨度越大，那么幾何非線性程度越明顯，撓度計算值會偏大.主纜無應力長度計算時，采用的是泰勒簡化公式，并且實際情況下主纜也并非完美的拋物線形，因此，矢跨比較大時，簡化公式（6）后面的省略項值也較大，導致跨中主纜無應力長度計算結果偏小，最終造成撓度計算偏小.

表2 人行懸索橋跨中撓度計算結果對比Tab.2 Comparisons of calculation results of mid-span deflection of pedestrian suspension bridges

3.3 誤差分析

本文方法計算時，一方面幾何非線性程度會使計算結果偏大，另一方面主纜長度誤差會使得計算結果偏小，兩者共同作用使得撓度計算結果在表2中表現(xiàn)為：

1）當矢跨比大于1/10 時，撓度計算結果偏小，主要偏差由主纜無應力長度計算值偏小所主導，矢跨比越大，使得主纜無應力長度偏小差值越大，最終造成撓度計算差值越大.

2）當矢跨比小于1/10 時，撓度計算結果偏大，此時主纜無應力長度誤差較小，主要誤差變?yōu)橛蓭缀畏蔷€性程度所主導，兩者共同作用使得矢跨比越小，非線形程度越大，撓度計算差值越大.

3）在矢跨比為1/10 左右時，撓度計算結果精度較高.較大的跨度體現(xiàn)了更顯著的幾何非線性，在失跨比相同的情況下，較大跨度計算結果偏大時差值率較高，而當計算結果偏小時，差值率較低.

表2 算例中，除跨度為200 m、矢跨比為1/15 和跨度為100 m、矢跨比為1/8 計算結果誤差較大外，其余計算精度也相對尚可.盡管在《公路懸索橋設計規(guī)范》[14]中公路懸索橋推薦矢跨比為1/9 至1/11 之間，但是文獻[15]曾對山區(qū)已建人行懸索橋進行過統(tǒng)計，考慮到經(jīng)濟和便捷等因素，人行懸索橋跨度一般在200 m 內，矢跨比常為1/10 至1/15 之間.大部分人行懸索橋矢跨比和跨度范圍分布在本文方法誤差較小且偏安全部分，可用于結構初步設計計算.

4 實例驗證

4.1 成橋計算

工程為旅游景區(qū)內游客專用人行懸索橋（19 m+117 m+18.5 m）.橋梁理論計算跨徑為L=117 m，橋面寬度2.4 m.成橋狀態(tài)下垂度7.3 m.橋體采用鋼絲繩作為主要的承重索，橋面鋪裝鋼化玻璃，其余結構參數(shù)如表3 所示.

表3 工程實例結構參數(shù)Tab.3 Structural parameters of engineering example

分別利用有限元和本文方法對成橋時各參數(shù)結果進行計算，并將其與文獻[16]試驗結果進行對比，列于表4 中.有限元模型中構件單元類型及邊界條件與表2 算例相同.人行懸索橋現(xiàn)場如圖5 所示，有限元模型如圖6 所示.

圖5 人行懸索橋現(xiàn)場Fig.5 Pedestrian suspension bridge site

圖6 人行懸索橋有限元模型Fig.6 Finite element model of pedestrian suspension bridge

由表4 可知，利用本文所述方法進行計算，跨中主纜無應力長度誤差值很小僅0.03%，可用于施工時主纜長度下料；本文方法計算主纜成橋內力與有限元結果較吻合，與文獻[16]相比誤差為3.64%，精度較好；針對施工階段空纜位移，本文方法與有限元相比偏大，這是由于本文假設條件中未考慮加勁梁作用所致；邊吊桿處內力值均相對較小，長度誤差最大為22 mm，由于現(xiàn)常用人行懸索橋吊桿大都具有一定的長度調節(jié)能力，一般在100 mm 左右，采用本文計算方法所產生的誤差均在接受范圍內.

4.2 豎向受荷計算

根據(jù)文獻[15]可知，針對人行懸索橋受豎向荷載后撓度計算，現(xiàn)常用的手算計算公式為：

利用本文方法分別計算人行懸索橋在1 kN/m2及3.5 kN/m2豎向荷載作用下結構撓度變形，并將其與文獻[15]方法進行對比，如表5 所示.

由表5 可知，有限元分析與試驗結果吻合度較好，僅為毫米級.當豎向荷載為1 kN/m2時，利用本文方法計算主纜最大內力誤差為1.06%、撓度誤差為4.76%；而使用常用手算公式（14）進行計算時，其主纜撓度計算值偏大，這是因為該方法未考慮邊纜作用和IP 點處偏移導致.當豎向荷載為3.5 kN/m2時，利用本文方法計算主纜最大內力誤差為1.06%，計算主纜撓度誤差為1 mm；同時，在2 種不同荷載工況下，其塔頂位移誤差也均在施工可接受范圍內.

表4 實例計算結果對比一Tab.4 First comparisons of calculation results of examples

表5 實例計算結果對比二Tab.5 Second comparisons of calculation results of examples

盡管常用計算方法結果偏于安全，但誤差過大，經(jīng)濟性與本文方法相比較差，不利于實際工程運用.本文計算方法精度較好且計算簡便，可在實際工程中初步設計和設計驗算階段中使用.

5 結 論

本文對提出的計算模型進行了公式推導，并通過工程實例進行了驗證，得到以下結論：

1）利用本文方法計算主纜線形的精度與結構矢跨比相關，矢跨比較小時，能獲得較好的精度.

2）對于矢跨比大于1/12.5 的人行懸索橋，利用本文方法僅進行一次計算可得到較好的精度，而當矢跨比小于1/12.5 時，需進行2 輪計算.

3）本文方法針對大跨度、小矢跨比人行懸索橋計算還是存在一定誤差，文中對誤差來源就主纜線形、荷載模擬、計算模型幾個方面進行了闡述和分析，當跨度小于200 m 且矢跨比在1/8～1/15 范圍內誤差相對較小，可用于常見人行懸索橋的初步設計計算.

4）利用本文方法對實例進行了計算分析，并將其與有限元分析結果和常用計算方法進行了對比，最大相對誤差在5%內，精度較好，能用于實際工程中的初步計算和設計復核驗算.