邵 云 竇 瑾

(南京曉莊學(xué)院電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

由于滾動摩擦的原理和機(jī)制十分復(fù)雜，涉及的因素眾多，且目前尚未形成能被普遍認(rèn)可的、系統(tǒng)化的理論，因此大多數(shù)《力學(xué)》教材對此鮮有介紹，即使介紹也只是點(diǎn)到即止。漆安慎《力學(xué)》教材[1]是少數(shù)給出稍詳細(xì)點(diǎn)介紹的教材之一，但也限于篇幅，該教材對于滾動摩擦力矩的等效虛擬力即“滾動摩擦力”的介紹還不夠深入，對該“滾動摩擦力”與靜摩擦力的區(qū)別也未能闡述；同時，該教材對于滾動阻力因數(shù)與速度的關(guān)系以及滾動摩擦的一般物理機(jī)制均未能展開闡述；另外，該教材對于汽車最大速度值的估算也稍顯粗略。這些無疑給廣大師生的教與學(xué)增添了不小的難度。本文結(jié)合圖像與實(shí)例，嘗試闡述這些缺失的內(nèi)容，供大家參考。

1 滾動摩擦力矩、靜摩擦力、“滾動摩擦力”及其關(guān)系

當(dāng)滾動體在支撐面上作無滑動滾動時，由于支撐面的形變(如圖1、圖3、圖5)或滾動體的形變(如圖2、圖4、圖6)，亦或兩者皆發(fā)生形變(未畫出)，將使得支撐面對滾動體的支撐合力R(共面力系簡化后的單力)的作用點(diǎn)前移且方向指向平動方向的后上方[1,2]。R在支撐面法線方向的分力為N， 切線方向的分力為f。在接觸部分形變不大時，f可被近似看作靜摩擦力。圖1～圖6分別給出在減速、勻速、加速3種情形下支撐合力R及其分力的示意圖(重力未畫出)，其中R的方向已考慮了角加速度的要求。由圖可見，靜摩擦力f的大小隨加速度的增加而增加。法向支持力N對滾動體質(zhì)心O的力矩便是滾動摩擦力矩M滾，大小為

圖6 輪胎在剛性路面上加速滾動

圖5 剛性圓柱在軟路面上加速滾動

圖4 輪胎在剛性路面上勻速滾動

圖3 剛性圓柱在軟路面上勻速滾動

圖2 輪胎在剛性路面上減速滾動

圖1 剛性圓柱在軟路面上減速滾動

M滾=Nδ

(1)

其中力臂δ(見圖1)稱為滾動摩擦因數(shù)，它與接觸面的材料、粗糙程度、形變程度，以及滾動速度等有關(guān)[1,2]。但在速度不很大時，對于給定的滾動體與支撐面，δ隨速度變化很小，可近似視為一常量[2]。也就是說當(dāng)速度不很大時，圖1、圖3、圖5(或圖2、圖4、圖6)中的滾動摩擦力矩M滾的大小相等，與靜摩擦力f無關(guān)。滾動摩擦力矩M滾阻礙著滾動，對滾動體做負(fù)功[3]；而靜摩擦力f對滾動體則不做功。為方便計(jì)算，人們常常把滾動摩擦力矩對滾動體做負(fù)功替換成一個虛擬的“滾動摩擦力”f滾對滾動體的平動做負(fù)功，相當(dāng)于把滾動摩擦等效成滑動摩擦來研究問題[4]，于是有

-f滾·s=-M滾·θ

(2)

其中，s是滾動體的平動路程；θ是滾動體滾過的角度。設(shè)滾動體的半徑為r，并設(shè)接觸部分的形變不大，則有s≈rθ，于是由式(2)結(jié)合式(1)得

(3)

其中δ/r是一無量綱的量，稱作滾動阻力因數(shù)，記作μ′。則有

可見，滾動阻力因數(shù)μ′類似于滑動摩擦因數(shù)μ，f滾同樣正比于正壓力的大小N，從μ′和N便可直接計(jì)算出這個等效的“滾動摩擦力”f滾。與滾動摩擦因數(shù)δ一樣，滾動阻力因數(shù)μ′同樣與接觸面的材料、粗糙程度、形變程度，以及滾動速度等有關(guān)[1,2]，在速度不太大且其他條件一定時，μ′可視作一與速度無關(guān)的常數(shù)[2]。需要注意的是，“滾動摩擦力”f滾與圖1～圖6中的靜摩擦力不是一個概念，它與滾動體的加速度無關(guān)，即使它在數(shù)值上與圖3或圖4中的靜摩擦力值相等。

為了顯示“滾動摩擦力”f滾與靜摩擦力f的區(qū)別和各自用途，現(xiàn)以圖6為例，分別運(yùn)用角動量定理和動能定理來求解平直路邊上輪胎的運(yùn)動，假設(shè)輪胎上方?jīng)]有負(fù)載且輪胎的形變不大。該結(jié)論可推廣至圖1～圖5。

解法一(角動量定理法)：

如圖6，設(shè)輪胎質(zhì)量為m，半徑為r，繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為IC，輪胎向前的加速度為a，滾動的角加速度為α，據(jù)純滾動條件有a=rα。設(shè)滾動摩擦力矩大小為M滾，輪胎所受靜摩擦力大小為f，輪胎質(zhì)心受水平外力為F。則由牛頓第二定律和剛體對質(zhì)心軸的角動量定理得

聯(lián)立式(6)、式(7)解得

解法二(動能定理法)：

(10)

將式(10)兩邊同除以時間微分dt并整理即得輪胎的加速度量值

(11)

由f滾=M滾/r可見式(11)與式(8)是一致的，至于求靜摩擦力(約束力)，則還得運(yùn)用一下牛頓第二定律式(6)。

嚴(yán)格說，“滾動摩擦力”f滾只能用于動能定理(即從能量的角度進(jìn)行推理)，不能用于受力分析，畢竟它是一個虛擬力，無法在真實(shí)的受力圖中作出[2]。不過從式(8)和式(9)可以看出，當(dāng)輪胎勻速運(yùn)動或輪胎的轉(zhuǎn)動慣量IC→0時有f=f滾，這就意味著：在此情形下，可以直接用“滾動摩擦力”值f滾=μ′N代替靜摩擦力值f來處理滾動體的平動問題。

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們遇到的往往是輪胎上方存在負(fù)載的情況，例如騎自行車或開汽車等。若圖6中顯示的是有負(fù)載的自行車或汽車的從動輪，則經(jīng)分析可知，以上諸方程式及其結(jié)論依然成立，只是此時的滾動摩擦力矩M滾及外力F變得很大，相對來說，輪胎的質(zhì)量m與轉(zhuǎn)動慣量IC就變得很小了，于是由式(8)和式(9)取近似后便得M滾/r≈f，即f≈f滾，即此時靜摩擦力也可被“滾動摩擦力”近似替代了。這一點(diǎn)也可從以下角度來理解：因?yàn)檗D(zhuǎn)動慣量IC相對很小，所以從動輪受到的滾動摩擦阻力矩要遠(yuǎn)大于使之加速(或減速)滾動的合力矩，這就意味著圖6中的支撐力R幾乎通過質(zhì)心O，于是便得f≈f滾。在用“滾動摩擦力”近似代替靜摩擦力之后，再結(jié)合驅(qū)動輪的“牽引力”和空氣阻力，我們便可簡單而直觀地計(jì)算自行車或汽車的平動加速度、速度及最大速度了，這便是引入f滾這個虛擬力的意義所在。

2 滾動阻力因數(shù)與路面類型及車速的關(guān)系

前文提到，滾動阻力因數(shù)μ′與接觸面的材料、粗糙程度、形變程度，以及滾動速度等有關(guān)，因此當(dāng)汽車在路面上行駛時，μ′應(yīng)與路面的類型、行車速度、輪胎的材料與構(gòu)造、胎內(nèi)氣壓等因素有關(guān)。表1給出汽車在某些路面上以中低速行駛時μ′的

表1 不同路面上汽車中低速行駛時的μ′值

大致數(shù)值[2]，所給范圍是考慮到實(shí)際路況、車速等因素后的結(jié)果。

實(shí)際上，汽車的行駛速度對滾動阻力因數(shù)μ′的影響也是很大的[2]。由圖7可見，當(dāng)車速在100km·h-1以下時μ′值隨車速增加緩慢，可近似看作一常數(shù)，但其后μ′值隨車速增加得越來越快，汽車所受滾動摩擦阻力(矩)則越來越大，直至在200km·h-1以上時因輪胎邊緣產(chǎn)生駐波形變而爆胎。

圖7 良好的瀝青路面上滾動阻力因數(shù)與車速的關(guān)系

需要說明的是，由于目前的滾動摩擦理論尚不夠成熟，故以上的數(shù)據(jù)只能通過實(shí)驗(yàn)測得。

3 轎車最大速度的估算

圖8 以最大速度勻速行駛時轎車的受力

圖8中N1為前輪所受地面豎直向上的支持力，G為(兩)車輪自重，F(xiàn)1為車身對前輪軸向下的壓力，f1為前輪受到地面朝前的靜摩擦力，F(xiàn)′為前輪軸受到車身向后的拖拽力。后輪即從動輪所受諸力與前輪類似。由于車輪均作勻速平動，故有N1=G+F1，f1=F′，N2=G+F2，F(xiàn)″=f2。可見這些力在前、后輪分別形成兩個力偶矩，前輪的方向相同，后輪的相反。其中N1對前輪軸心的力矩便是前輪的滾動摩擦力矩，后輪的N2亦然。設(shè)前后輪完全相同，滾動阻力因數(shù)μ′也相同(實(shí)際前輪胎承壓更大，μ′值略大)，則δ=rμ′相等，即N1、N2到各自輪軸的距離也即力臂相等。

對于后輪即從動輪，由于作勻速滾動，所以有力矩平衡方程式

f2r=N2δ

成立。于是得

(12)

即后輪所受靜摩擦力等于后輪的“滾動摩擦力”。該結(jié)論在第1節(jié)已經(jīng)提及。

對于前輪(即驅(qū)動輪)，同理也有力矩平衡方程式

f1r+N1δ=M驅(qū)

成立。兩邊同除以車輪半徑r得

f1+f1滾=f牽

(13)

可見前輪所受朝前的靜摩擦力并非“牽引力”[2,5]，有f1

由于轎車整體做勻速運(yùn)動，水平方向受力平衡，故有

f1-F風(fēng)阻-f2=0

(14)

將式(12)、式(13)代入式(14)即得

f牽-f1滾-F風(fēng)阻-f2滾=0

(15)

其實(shí)在第1節(jié)已經(jīng)分析過：當(dāng)車輪上方存在較重的負(fù)載時，其轉(zhuǎn)動慣量可被忽略，即使車輪加速滾動，也可認(rèn)為它所受的力矩是平衡的。即式(12)、式(13)對于轎車總是成立的。于是我們便可參照式(15)寫出轎車(或載人自行車)的整體運(yùn)動方程如下：

f牽-f1滾-F風(fēng)阻-f2滾=ma

其中，m為轎車(或載人自行車)的質(zhì)量；a為其加速度。

下面利用式(15)估算普通桑塔納轎車的最大速度[1]。

轎車所受空氣阻力F風(fēng)阻的表達(dá)式為

(16)

其中，CD是轎車的空氣阻力系數(shù)；ρ是空氣密度；S是轎車迎風(fēng)面橫截面積；v是車速。對于普通桑塔納轎車而言，CD≈0.425，S=1.89m2。常溫(15 ℃)下空氣的密度為ρ=1.226kg·m-3。設(shè)轎車滿載總質(zhì)量M=1.52×103kg，發(fā)動機(jī)的有效驅(qū)動功率P有效=54kW，則“牽引力”為

(17)

其中ω為車輪角速度?？紤]到普桑轎車的實(shí)際速度可達(dá)150km·h-1以上，參考圖7后可設(shè)此時的滾動阻力因數(shù)μ′=0.02(子午線輪胎)，那么該轎車受到總的“滾動摩擦力”為

f1滾+f2滾=μ′Mg

(18)

將式(16)、式(17)、式(18)代入式(15)得

(19)

將諸數(shù)據(jù)代入式(19)并整理得

0.4924v3+298v-54000=0

(20)

解得

v=43.7m·s-1=157km·h-1=vmax

(21)

此即普桑轎車在有效功率P有效=54kW的驅(qū)動下，在良好的公路上行駛時的最大速度值估計(jì)。

如果忽略滾動摩擦，即在方程式(19)、式(20)中刪除左邊的第二項(xiàng)，則求得文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果：v′max=172km·h-1。可見文獻(xiàn)[1]中的近似處理所帶來的誤差其實(shí)還是不小的。另外，文獻(xiàn)[1]將滾動阻力因數(shù)取作μ′=0.01也不夠精確，μ′=0.01只能適用于中低速情形，對于150km·h-1以上的高速情形顯然是不適用的。

需要說明的是，vmax=157km·h-1是普桑轎車滿載即M=1.52×103kg時的最大速度。而普桑的裝配質(zhì)量在1100～1200kg之間，從式(19)、式(20)也可算出它空載(1200kg)時的最大速度約為160km·h-1。可見負(fù)載和滾動摩擦對于轎車最大速度的影響遠(yuǎn)小于空氣阻力。此結(jié)論與文獻(xiàn)[1]是一致的。另外，目前一般轎車的空氣阻力系數(shù)在0.28～0.4之間[2]，最大有效功率不少都在100kW以上。假設(shè)某轎車的CD=0.3，P有效=100kW，μ′=0.04(參見圖7)，其他條件與前面滿載的普桑相當(dāng)，則從式(19)、式(20)可估算出此轎車的最大速度為207km·h-1。

4 滾動摩擦的一般物理機(jī)制分析

滾動摩擦的物理機(jī)制十分復(fù)雜，涉及的因素眾多。對于滾動體而言，任何導(dǎo)致能量衰減的因素都將導(dǎo)致滾動摩擦力矩或“滾動摩擦力”的增加。一般來說，滾動摩擦產(chǎn)生于以下4個方面的因素[6]。

1) 微觀滑動

當(dāng)一滾動體在另一物體表面滾動時，由于切向應(yīng)力(包括靜摩擦力)的存在使得兩接觸面上的分子層各自產(chǎn)生不同的切向位移，于是產(chǎn)生微觀滑動。其中較柔軟的接觸面產(chǎn)生的切向位移更大。微觀滑動將導(dǎo)致動能的損耗，其機(jī)理與滑動摩擦相同(類似于宏觀的“輪胎打滑”)，這個損耗將對滾動摩擦力矩產(chǎn)生貢獻(xiàn)。

2) 塑性變形

在滾動過程中，當(dāng)垂直于接觸面的應(yīng)力達(dá)到一定大小時，在距離表面的一定深度處將產(chǎn)生塑性變形，該塑性變形區(qū)域隨應(yīng)力的增大而擴(kuò)大。塑性變形將消耗滾動體的動能，表現(xiàn)為滾動摩擦阻力矩。

3) 彈性滯后

當(dāng)滾動體在路面上滾動時，滾動體與路面間的彈力在加壓時的數(shù)值總是略大于減壓時的數(shù)值的現(xiàn)象稱為彈性滯后現(xiàn)象，其壓力回線類似于軟磁體的磁滯回線[2]。也就是說，當(dāng)滾動體與路面擠壓時所消耗的動能在接觸消除時并沒有被全部收回，而是消耗掉一小部分轉(zhuǎn)化為熱能。輪胎的彈性滯后效應(yīng)直接導(dǎo)致與硬質(zhì)路面接觸的輪胎皮的前半部分壓力明顯大于后半部分，這使得地面對輪胎總的支撐力的作用點(diǎn)前移并形成阻力矩。

4) 黏著效應(yīng)

滾動表面相互緊壓形成黏著結(jié)點(diǎn)，這些黏著結(jié)點(diǎn)在滾動過程中又將沿垂直于接觸面的方向彼此分離，產(chǎn)生阻力矩。

人們一般認(rèn)為：彈塑性固體的滾動摩擦主要?dú)w因于固體接觸過程中的變形損失和滯后損失，即塑性變形和彈性滯后是通常彈塑性材料滾動摩擦的主要原因[7]。對于在良好的路面上行駛的汽車而言，輪胎的彈性滯后效應(yīng)則是滾動摩擦的最主要原因[2]。

5 總結(jié)

本文從滾動摩擦力矩的等效功引入等效的“滾動摩擦力”的概念，闡述了它與靜摩擦力的本質(zhì)差別以及在通常的負(fù)載下它與從動輪靜摩擦力的可替代性；介紹了滾動阻力因數(shù)與路面及車速的關(guān)系；利用“滾動摩擦力”和“牽引力”重新估算了普通轎車在良好路面上行駛時的最大速度，并指出傳統(tǒng)教材[1]中的一些不足；最后簡要介紹了滾動摩擦的一般物理機(jī)制以形成一個相對完整的知識體系。限于筆者的知識水平，本文也只是筆者關(guān)于滾動摩擦基礎(chǔ)知識的一點(diǎn)零星的學(xué)習(xí)心得，權(quán)當(dāng)對文獻(xiàn)[1]中相關(guān)內(nèi)容的補(bǔ)充說明，謹(jǐn)供大家教學(xué)參考，不當(dāng)之處還望批評指正。