尹增謙 武麗姣

(華北電力大學(xué)數(shù)理系， 河北 保定 071003)

理論和實(shí)驗(yàn)研究表明，氣體系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，其分子數(shù)按速率的分布函數(shù)為麥克斯韋分布函數(shù)[1]

(1)

分子間的碰撞是使氣體系統(tǒng)從非平衡態(tài)弛豫到達(dá)平衡態(tài)的重要物理過程，研究在這個(gè)弛豫過程中速率分布函數(shù)的演化具有重要意義[2-5]，而蒙特卡羅方法是研究具有隨機(jī)性質(zhì)的物理過程的有效方法[2,3,6]。

本工作利用蒙特卡羅方法，用獨(dú)立隨機(jī)數(shù)分別抽樣得到碰撞分子對(duì)以及碰撞前速度的方向，建立了對(duì)方均根速率進(jìn)行修正的計(jì)算方案，獲得了分子間碰撞對(duì)分子速率分布函數(shù)演化影響的規(guī)律。研究結(jié)果表明，當(dāng)全體分子的初始速率為一定分布(如分布在一個(gè)或兩個(gè)數(shù)值上)時(shí)，隨著碰撞次數(shù)的增多，其速率分布函數(shù)逐漸趨向于麥克斯韋分布函數(shù)。在分布函數(shù)的演化過程中，分子的方均根速率基本保持不變，而平均速率發(fā)生明顯變化并趨近于一個(gè)確定值。

1 理論分析

按照理想氣體模型，分子與器壁之間以及分子與分子之間發(fā)生的碰撞為彈性碰撞，而分子與器壁之間的碰撞不會(huì)改變分子的速率大小，從而不影響速率分布函數(shù)，所以不考慮分子與器壁之間的碰撞。

1.1 分子間的彈性碰撞分析

如果兩個(gè)同種分子發(fā)生彈性碰撞，不失一般性，假設(shè)其作用力的方向?yàn)閤軸方向，則碰撞后兩個(gè)分子各自的x軸方向速度分量vx互換，而其他速度分量vy、vz不變。亦即，若參與碰撞的兩個(gè)分子A、B碰撞前的速度分量分別為vAx、vAy、vAz和vBx、vBy、vBz，碰撞后速度分量分別為v′Ax、v′Ay、v′Az和v′Bx、v′By、v′Bz，則有

(2)

顯然，碰撞后兩個(gè)分子的速率分別為

(3)

如果假設(shè)碰撞作用力的方向?yàn)閥軸或z軸方向，則應(yīng)有

(3a)

或

(3b)

根據(jù)上述分析結(jié)果，由碰撞前兩個(gè)分子A、B的各速度分量vAx、vAy、vAz和vBx、vBy、vBz，就可以根據(jù)式(3)或式(3a)、(3b)計(jì)算出碰撞后分子A、B的速率v′A、v′B。

為了便于對(duì)氣體系統(tǒng)中分子碰撞的數(shù)值模擬，用描述速度大小的速率以及描述速度方向的夾角來代替各速度分量。如果分子A、B的速度方向與z軸的夾角分別為θA、θB，速度矢量在xoy平面上的投影與x軸的夾角分別為φA、φB，如圖1所示，則分子速度在x、y、z軸上的分量分別為

圖1 分子速度方向及分量示意圖

(4)

所以，根據(jù)碰撞前兩個(gè)分子A、B的速率vA、vB以及描述其速度方向的角度θA、φA、θB、φB，就可以根據(jù)式(3)和式(4)得到碰撞后的速率v′A、v′B。

1.2 抽樣方法

假設(shè)氣體系統(tǒng)中，分子速度的方向是均勻分布的，即θ與φ分別在(0，π)和(0，2π)之間均勻隨機(jī)分布。所以，我們就可以利用隨機(jī)數(shù)得到描述參與碰撞的兩個(gè)分子A、B速度方向的角度θA、φA、θB、φB。碰撞前分子A、B的速率vA、vB為上一次碰撞后的結(jié)果，啟動(dòng)數(shù)值模擬時(shí)，vA、vB為給定初始速率值或者由給定的速率分布函數(shù)抽樣得到。

1.3 方均根速率修正方案

如果沒有計(jì)算誤差，基于式(3)或式(3a)、(3b)計(jì)算得到的碰撞后分子速率，滿足碰撞后動(dòng)能之和等于碰撞前動(dòng)能之和，即經(jīng)過多次碰撞后氣體系統(tǒng)的分子動(dòng)能之和即方均根速率保持不變。然而，由于數(shù)值計(jì)算中不可避免的計(jì)算誤差，有可能隨著碰撞次數(shù)的逐漸增多而逐漸累積，即分子動(dòng)能之和可能發(fā)生較大的變化。鑒于這種情況，我們?cè)谟?jì)算程序中加入修正，即在每經(jīng)過一定次數(shù)(比如50000次)的碰撞后，計(jì)算系統(tǒng)分子的方均根速率，求得其與初始設(shè)定值的差值，然后按比例修正當(dāng)前每個(gè)分子的速率，使分子方均根速率與初始設(shè)定值相等。

2 數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果

在本工作的數(shù)值計(jì)算中，假設(shè)所有分子的初始速率為一個(gè)值，或者一半分子具有一個(gè)值而另一半分子具有另外一個(gè)值。

圖2 速率分布函數(shù)曲線的演化(實(shí)線為數(shù)值模擬結(jié)果，虛線為T=300K的麥克斯韋速率分布函數(shù)曲線)(a) 105個(gè)分子，碰撞次數(shù)105； (b) 105個(gè)分子，碰撞次數(shù)2×105； (c) 105個(gè)分子，碰撞次數(shù)5×105； (d) 105個(gè)分子，碰撞次數(shù)109。

圖3 方均根速率、平均速率隨碰撞次數(shù)的演化

圖4 速率分布函數(shù)曲線的演化(實(shí)線為數(shù)值模擬結(jié)果，虛線為T=300K的麥克斯韋速率分布函數(shù)曲線)(a) 105個(gè)分子，碰撞次數(shù)105； (b) 105個(gè)分子，碰撞次數(shù)2×105； (c) 105個(gè)分子，碰撞次數(shù)5×105； (d) 105個(gè)分子，碰撞次數(shù)109

圖5 方均根速率、平均速率隨碰撞次數(shù)的演化

總之，無論是分子的初始速率為一個(gè)值還是兩個(gè)值，氣體系統(tǒng)都不是處于平衡態(tài)，通過分子間碰撞，速率分布函數(shù)發(fā)生變化，隨著碰撞次數(shù)的增大，速率分布函數(shù)逐漸趨向于相應(yīng)的麥克斯韋分布函數(shù)。

為了檢驗(yàn)碰撞方向的選取對(duì)速率分布函數(shù)的影響，我們計(jì)算了碰撞分別發(fā)生在x軸、y軸以及z軸方向時(shí)，速率分布函數(shù)的演化情況，即在模擬程序中分別執(zhí)行式(3) 、式(3a)以及式(3b)，圖6給出了一個(gè)典型的模擬結(jié)果。結(jié)果表明，無論采用式(3) 、式(3a)還是式(3b)，隨著碰撞次數(shù)的增多，速率分布函數(shù)總是逐漸地趨向于麥克斯韋分布函數(shù)，但是，以z軸為碰撞方向的計(jì)算結(jié)果與以x軸、y軸為碰撞方向的計(jì)算結(jié)果有較明顯的差別，其原因也許是抽樣時(shí)vz是由一個(gè)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的，而vx、vy是由兩個(gè)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的。

圖6 選取不同碰撞方向的模擬結(jié)果(105個(gè)分子，碰撞次數(shù)5×106)(a) 碰撞方向?yàn)閤軸； (b) 碰撞方向?yàn)閥軸； (c) 碰撞方向?yàn)閦軸

需要指出的是，本文工作中計(jì)算的碰撞次數(shù)所對(duì)應(yīng)的真實(shí)物理過程的時(shí)間是很短暫的，分子的個(gè)數(shù)也是很少的，而且局限于同種分子。例如，標(biāo)準(zhǔn)狀況下，空氣分子的平均碰撞頻率為6.5×109[1]，即平均每個(gè)分子在一秒時(shí)間內(nèi)發(fā)生6.5×109次的碰撞，而本文工作中105個(gè)分子最多才發(fā)生了109次碰撞，即相當(dāng)于大約10-4秒的物理過程。另外，105的分子個(gè)數(shù)也顯得很小，與真實(shí)的氣體系統(tǒng)差別很大。如何實(shí)現(xiàn)對(duì)大分子數(shù)、多種類分子氣體系統(tǒng)、更長(zhǎng)時(shí)間碰撞過程的精確模擬，以及研究碰撞方向的選取對(duì)結(jié)果的影響等是具有重要意義的工作，我們正在深入研究。

3 結(jié)語

利用蒙特卡羅方法和我們建立的方均根速率修正方案，對(duì)分子速率分布函數(shù)以及分子平均速率的演化進(jìn)行了數(shù)值模擬。結(jié)果表明，隨著碰撞次數(shù)的增大，速率分布函數(shù)逐漸趨向于相應(yīng)的麥克斯韋分布函數(shù)，分子的平均速率也逐漸趨向于相應(yīng)的確定值。