陳文力 湯曉 王銀河

摘要：針對(duì)二維線性系統(tǒng)，探究可實(shí)現(xiàn)其狀態(tài)軌跡形狀與參考系統(tǒng)狀態(tài)軌跡間形狀漸近跟蹤的控制方法.首先，利用剛體運(yùn)動(dòng)描述系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的形狀漸近跟蹤概念，然后對(duì)傳統(tǒng)模型匹配條件進(jìn)行擴(kuò)展。在該條件下，采用Lyapunov穩(wěn)定性與模型參考自適應(yīng)相結(jié)合的方法，設(shè)計(jì)形狀漸近跟蹤控制器。實(shí)驗(yàn)表明，該控制器可保證被控系統(tǒng)與參考系統(tǒng)狀態(tài)軌跡達(dá)到形狀漸近跟蹤。與傳統(tǒng)方法相比，所給出的模型匹配條件及形狀漸近跟蹤控制器適用范圍更廣。最后，對(duì)模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，證明了該控制方法的有效性。

關(guān)鍵詞：自適應(yīng)控制;線性系統(tǒng);形狀漸近跟蹤控制器

DOI：10.11907/rjdk.192355 開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

中圖分類號(hào)：TP301文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-7800（2020）006-0070-04

0 引言

形狀是一個(gè)描述曲線彎曲輪廓的幾何概念，近年來，形狀的概念廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)及工程實(shí)踐中，取得了許多有價(jià)值的研究成果。文獻(xiàn)對(duì)形狀描述及形狀匹配在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了討論;文獻(xiàn)在仿真人臉皺紋模型中，將形狀函數(shù)應(yīng)用于人臉皺紋模型;文獻(xiàn)針對(duì)一類仿射非線性系統(tǒng)，探究了非線性動(dòng)態(tài)權(quán)值約束的最優(yōu)概率密度函數(shù)控制問題，基于對(duì)概率密度函數(shù)形狀的控制，提出了一種最優(yōu)概率密度函數(shù)控制方法。由此可以看出，利用形狀概念研究工程問題具有重要的理論和實(shí)踐意義。

在控制理論研究中，形狀通常作為描述控制目標(biāo)的重要概念而加以利用。文獻(xiàn)提出系統(tǒng)被控曲線軌跡形狀與參考軌跡曲線形狀合同的控制問題，結(jié)合相對(duì)曲率概念與曲線論基本定理，提出了一類雙輸入非線性系統(tǒng)二維平面形狀合同控制方法;文獻(xiàn)基于微分幾何平面曲線與空間曲線理論，提出了混沌系統(tǒng)形狀同步的概念，利用曲率構(gòu)造相應(yīng)的控制器，使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡與響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的形狀完全相同;文獻(xiàn)針對(duì)一類具有不確定運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性的多機(jī)器人系統(tǒng)形狀控制問題，提出了一種有效的自適應(yīng)控制方法。然而，文獻(xiàn)和主要考慮多機(jī)器人群隊(duì)列形狀控制，并未考慮系統(tǒng)狀態(tài)軌跡形狀控制;文獻(xiàn)提出的形狀同步控制均在假設(shè)曲線是正則的前提下，通過利用曲率構(gòu)造控制器實(shí)現(xiàn)形狀同步，該方法并不適合于具有非正則狀態(tài)軌跡曲線的情形。從控制理論的角度看，上述文獻(xiàn)對(duì)形狀同步、形狀合同等控制問題的研究均可聚焦于形狀跟蹤問題。事實(shí)上，形狀不僅可通過弧長(zhǎng)和曲率描述，還可通過剛體運(yùn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)、平移）加以描述。因此，基于剛體運(yùn)動(dòng)考慮其它類型的形狀漸近跟蹤控制器的設(shè)計(jì)方法也具有理論和實(shí)踐意義，但目前對(duì)該問題的研究甚少。

基于此，針對(duì)一類二維線性系統(tǒng)，本文利用剛體運(yùn)動(dòng)提出形狀漸近跟蹤的概念，結(jié)合模型參考自適應(yīng)控制方法及LYapunov穩(wěn)定性理論，為被控系統(tǒng)設(shè)計(jì)形狀漸近跟蹤控制器，以實(shí)現(xiàn)被控系統(tǒng)狀態(tài)軌跡形狀與參考系統(tǒng)狀態(tài)軌跡形狀的漸近跟蹤。本文提出的形狀漸近跟蹤控制器設(shè)計(jì)是基于一組模型匹配條件，這組模型匹配條件可視為傳統(tǒng)模型跟隨問題中模型匹配條件的擴(kuò)展。本文提出的形狀漸近跟蹤可視為通常系統(tǒng)狀態(tài)漸近跟蹤問題的一般化。

本文首先描述被控系統(tǒng)與參考系統(tǒng)定義、形狀漸近跟蹤定義并提出假設(shè);然后，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論進(jìn)行形狀漸近跟蹤控制器設(shè)計(jì)和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，進(jìn)而得到形狀漸近跟蹤控制器及兩個(gè)參數(shù)自適應(yīng)律;最后，通過仿真例子驗(yàn)證形狀漸近跟蹤控制器有效性。

1 系統(tǒng)描述

在該條件下，通過求解方程（8）可得到K*和F*。

（2）若已知矩陣K*和F*，則式（8）可視為關(guān)于vec（M^T）的線性方程，因而其有解的充要條件為：

在該條件下，通過求解方程（8）可得到滿足MM^T=I的矩陣M。

通過式（6）事先給定的m維向量H和求解得到的矩陣M，使式（6）滿足有解的充要條件rank（AM^T）=rank（AM^T，BH），進(jìn)而通過式（6）可求得二維向量N;當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，N=MA^-1BH。

式（4）-式（6）為通常模型參考自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)中模型匹配條件（Erzberger Condition）的一般化，當(dāng)M和N分別為單位矩陣和零向量時(shí)，即為常見模型匹配條件。

2 控制設(shè)計(jì)

本文控制目標(biāo)是為二維線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)形狀漸近跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)其與參考系統(tǒng)的形狀漸近跟蹤。為實(shí)現(xiàn)該控制目標(biāo)，提出如式（11）所示的形狀漸近跟蹤控制器。

定理1：考慮二維線性系統(tǒng)與參考系統(tǒng)。若假設(shè)1成立，且參考系統(tǒng)所有信號(hào)均有界，則在形狀漸近跟蹤控制器（11）和自適應(yīng)律（12）、（13）的作用下，二維線性系統(tǒng)與參考系統(tǒng)形狀漸近跟蹤。

證明：考慮正定函數(shù)，如式（16）所示。

針對(duì)正定函數(shù)（16）關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，可得：

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本文方法有效性，利用Matlab軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。矩陣A、A_m、B、B_m與滿足假設(shè)1的正交矩陣M、控制器參數(shù)向量H由Matlab程序隨機(jī)產(chǎn)生。選取參考系統(tǒng)輸入u_m=[sint COSt]^T，然后根據(jù)前文所述的第一種求解方法，按如下步驟求解K*和F*。

（1）根據(jù)方法一中有解的充要條件判斷是否有解，若無解則再次產(chǎn)生隨機(jī)矩陣，直到滿足有解條件為止，進(jìn)而得到相應(yīng)矩陣。

（2）求解式（8）中的矩陣方程，進(jìn)而得到相應(yīng)的K*和F*。

仿真結(jié)果如圖1-圖5所示。

從圖l和圖2可看出，雖然被控系統(tǒng)狀態(tài)軌跡與參考系統(tǒng)狀態(tài)軌跡位置不同，但其形狀是漸近相同的，這意味著被控系統(tǒng)狀態(tài)軌跡可通過一個(gè)合適的剛體運(yùn)動(dòng)后與參考系統(tǒng)狀態(tài)軌跡漸近重合，即達(dá)到了形狀漸近跟蹤。圖3-圖5分別說明了控制輸入及自適應(yīng)律均有界。上述仿真結(jié)果表明，本文提出的形狀漸近跟蹤控制器可有效實(shí)現(xiàn)被控系統(tǒng)與參考系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡形狀漸近跟蹤。

4 結(jié)語

研究結(jié)果表明，在一組合適的模型匹配條件下，形狀漸近跟蹤控制器可有效實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡形狀與參考系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的形狀漸近跟蹤。雖然這些結(jié)論是基于二維線性系統(tǒng)得出的，但從本文理論分析可以看出，該方法也可擴(kuò)展為一般維數(shù)的線性系統(tǒng)，而且相應(yīng)模型匹配條件和矩陣求解方法也可進(jìn)行擴(kuò)展?，F(xiàn)有文獻(xiàn)的控制設(shè)計(jì)方法并不適用于線性系統(tǒng)形狀漸進(jìn)跟蹤控制問題，因此尋找合適的控制設(shè)計(jì)方法將是下一個(gè)研究?jī)?nèi)容。