泥立麗 王永

【摘要】給出了測(cè)量平差問(wèn)題中各類條件方程的確定方法。在測(cè)角三角網(wǎng)的平差中，正確無(wú)誤地確定各類條件方程是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。文中通過(guò)精選的四個(gè)測(cè)角三角網(wǎng)，從如何確定幾何模型的類型、如何確定布網(wǎng)的目的、如何確定起算數(shù)據(jù)以及如何確定必要觀測(cè)數(shù)等幾個(gè)方面，分步驟地進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并給出了思路。文中給出的方法，簡(jiǎn)單易行，不容易出錯(cuò)，適合于大多數(shù)的初學(xué)者和普通測(cè)量工作者。

【關(guān)鍵詞】幾何模型;起算數(shù)據(jù);必要觀測(cè)數(shù);條件方程

在測(cè)量平差的教學(xué)工作中，對(duì)于一個(gè)幾何模型，當(dāng)確定了必要觀測(cè)數(shù)后，就可以確定多余觀測(cè)數(shù)并依此列出各種條件方程了。條件方程的類型非常多，包括圖形條件、圓周條件、極條件以及坐標(biāo)方位角條件等。如何正確地列出相應(yīng)的條件方程是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，本文中，作者結(jié)合教學(xué)的實(shí)際精選了四個(gè)測(cè)角三角網(wǎng)，并給出了一些分析思路。

1 算例

如圖1至圖4所示，為四個(gè)測(cè)角三角網(wǎng)，求下列各測(cè)角三角網(wǎng)按條件平差時(shí)條件方程的總數(shù)及各類條件的個(gè)數(shù)，其中Pi為待定點(diǎn)，i為已知邊，i為已知方位角，i取非負(fù)整數(shù)。

2 分析思路

2.1大體分析思路

（1）確定幾何模型的類型

即根據(jù)三角網(wǎng)的觀測(cè)值來(lái)確定它是測(cè)角三角網(wǎng)、測(cè)邊三角網(wǎng)還是邊角網(wǎng)。如圖1至圖4均為測(cè)角三角網(wǎng)。

（2）確定布設(shè)三角網(wǎng)的目的

即布設(shè)三角網(wǎng)是為了確定網(wǎng)的形狀還是待定點(diǎn)的坐標(biāo)。如圖1中，其已知數(shù)據(jù)包括兩個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)、一個(gè)已知方位角，可知該網(wǎng)是為了確定待定點(diǎn)的坐標(biāo);圖2中，沒(méi)有已知點(diǎn)，但包括兩條已知邊長(zhǎng)，因此該網(wǎng)是為了確定形狀和大小，由于大小固定的網(wǎng)是形狀不變時(shí)的一種特例，因此該網(wǎng)的最終目的是為了確定形狀。圖3中，沒(méi)有已知點(diǎn)，僅包括一條已知邊長(zhǎng)和兩個(gè)坐標(biāo)方位角，因此該網(wǎng)是為了確定形狀。圖4中，包括3個(gè)已知點(diǎn)，因此該網(wǎng)最終目的是為了確定待定點(diǎn)的坐標(biāo)。

（3）判斷已知數(shù)據(jù)是否為起算數(shù)據(jù)

已知數(shù)據(jù)未必是起算數(shù)據(jù)。在觀測(cè)網(wǎng)中，為了實(shí)現(xiàn)布網(wǎng)的最終目的，已知數(shù)據(jù)是否起作用需要進(jìn)行判斷。如果起作用，則為起算數(shù)據(jù)。在圖1中，為了確定待定點(diǎn)坐標(biāo)，A、B兩點(diǎn)和方位角0都是起作用的，因此它們是起算數(shù)據(jù)。在圖2中，已知的邊長(zhǎng)對(duì)于確定該網(wǎng)的形狀不起作用，因此它們不是起算數(shù)據(jù)。

（4）確定必要觀測(cè)數(shù)t

在這里給出兩種方案確定必要觀測(cè)數(shù)t，在分析問(wèn)題時(shí)，要靈活交替使用。

①當(dāng)測(cè)角三角網(wǎng)中已知點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)，就可以確定待定點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)網(wǎng)中的起算數(shù)據(jù)均為點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，必要觀測(cè)數(shù)即為待定點(diǎn)個(gè)數(shù)的二倍，如圖4，必要觀測(cè)數(shù)t=3×2=6。若起算數(shù)據(jù)除了點(diǎn)坐標(biāo)外還包括方位角等，如圖1，為了確定待定點(diǎn)坐標(biāo)，只需要A、B兩點(diǎn)即可，其中有5個(gè)待定點(diǎn)，即有5×2=10個(gè)待確定數(shù)據(jù)。要確定這10個(gè)數(shù)據(jù)，需要10個(gè)觀測(cè)值;但是題中已有1個(gè)起算方位角，利用該方位角和AB邊的方位角可以得到1個(gè)水平角值，即在10個(gè)數(shù)據(jù)中減去1個(gè)，因此必要觀測(cè)數(shù)t=10-1=9。

②依據(jù)文獻(xiàn)，根據(jù)公式t=2p-q-4，其中p是三角網(wǎng)中所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)，q是多余的、獨(dú)立、起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（注意三者的順序，判斷時(shí)要依次判斷）。要明確該公式是針對(duì)測(cè)角三角網(wǎng)的，圖1中共有點(diǎn)個(gè)數(shù)p=7，q=1，從而可得t=9。

（5）確定各類條件方程

有了必要觀測(cè)數(shù)t后，即可確定多余觀測(cè)數(shù)r，進(jìn)而確定各類型條件方程。

2.2各類條件方程的確定

三角網(wǎng)中，條件方程的類型很多，但具體哪些存在呢？得看一下三角網(wǎng)中都含有哪些基本幾何圖形！下面分別說(shuō)明。

2.2.1圖形條件

也叫內(nèi)角和條件，它存在于各種三角網(wǎng)中，只要一個(gè)單三角形中的所有內(nèi)角都觀測(cè)了，就可以列出，否則不可以。如圖1中△AP3P4內(nèi)就有一個(gè)內(nèi)角沒(méi)有觀測(cè)。

2.2.2圓周條件

也叫水平條件，如果三角網(wǎng)中含有中點(diǎn)多邊形，那么就有可能存在圓周條件;具體能否列出圓周條件，還得看中點(diǎn)多邊形的中心點(diǎn)上所有角度是否存在（不管是直接觀測(cè)的還是間接計(jì)算得到的，都可以視作存在）;如果存在，就可以列出圓周條件;否則不可以。如圖1中，就有一個(gè)以P5點(diǎn)為中心點(diǎn)的中點(diǎn)五邊形或是中點(diǎn)四邊形，所以肯定存在圓周條件。

2.2.3極條件

也叫邊長(zhǎng)條件，它通常存在于大地四邊形、中點(diǎn)多邊形和扇形等基本幾何圖形中，如果三角網(wǎng)中含有這幾種圖形，那么就有可能存在極條件;具體能否列出極條件，還得看這些基本幾何圖形中的所觀測(cè)的內(nèi)角個(gè)數(shù)是否足夠，如果足夠，就可以列出，否則不可以。如圖1中，含有大地四邊形ABP1P5，也含有中點(diǎn)五邊形或中點(diǎn)四邊形，且其內(nèi)角都進(jìn)行了觀測(cè)，所以肯定存在極條件。

2.2.4方位角（或固定角）條件

如果網(wǎng)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的起算方位角，則可以列出它們之間的關(guān)系式。具體能否列出，也得看兩者之間的連接角個(gè)數(shù)夠不夠。如圖3中，兩個(gè)已知方位角之間就可以列出1個(gè)坐標(biāo)方位角條件。

2.2.5固定邊（或基線）條件

如果三角網(wǎng)中有兩條或兩條以上的已知邊時(shí)，則可以列出固定邊條件。如圖2中，就可以列出1個(gè)固定邊條件。

2.2.6坐標(biāo)條件

當(dāng)三角網(wǎng)中存在被隔開(kāi)的三個(gè)或三個(gè)以上已知點(diǎn)時(shí)，則產(chǎn)生坐標(biāo)條件。利用坐標(biāo)遞推公式，縱橫坐標(biāo)的推算值等于已知坐標(biāo)值。如圖4中，利用A、C兩點(diǎn)可以推出B點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)。

3 算例分析

3.1圖1的分析

（1）該幾何模型是一個(gè)測(cè)角三角網(wǎng)。

（2）已知數(shù)據(jù)是A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)和一個(gè)已知方位角，該網(wǎng)的目的是為了確定待定點(diǎn)的坐標(biāo)，因此兩個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)和已知方位角均為起算數(shù)據(jù)。

（3）依據(jù)公式t=2p-q-4，其中q=1，則t=10，r=11。

（4）各類條件的確定：

對(duì)于圖1，可以看作是由一個(gè)以點(diǎn)P5為中心點(diǎn)、點(diǎn)A-B-P1-P2-P3為外點(diǎn)的中點(diǎn)五邊形和1個(gè)單△AP3P4（注意，∠AP3P4沒(méi)有觀測(cè)）組成，此時(shí)先確定5個(gè)圖形條件和1個(gè)極條件;在此基礎(chǔ)上，連線點(diǎn)P1、P4，從而形成了一個(gè)單△AP1P4和一個(gè)以點(diǎn)A為極的四點(diǎn)扇形，這樣增加1個(gè)圖形條件和1個(gè)極條件;又連線點(diǎn)A、P1，形成一個(gè)單△ABP1和一個(gè)大地四邊形ABP1P4（注意：這個(gè)大地四邊形與中點(diǎn)五邊形部分重疊），這樣又增加1個(gè)極條件和1個(gè)圖形條件。因?yàn)橛袃蓚€(gè)已知方位角，因此又可列出1個(gè)方位角條件。

綜上，圖1的分析結(jié)果是：n=21，t=9，r=12;共有12個(gè)條件方程，其中有7個(gè)圖形條件，1個(gè)圓周條件，3個(gè)極條件，1個(gè)方位角條件。

3.2圖2的分析

（1）首先確定該幾何模型是一個(gè)測(cè)角三角網(wǎng)。

（2）邊P1P2、P3P4的長(zhǎng)度已知且沒(méi)有已知坐標(biāo)點(diǎn)，可知該網(wǎng)是為了確定形狀和大小。為了確定大小，只需要一條已知邊就足夠;所以只剩下確定形狀的問(wèn)題（大小固定的圖形是該圖形形狀不變化的一種特殊情況）。

（3）該網(wǎng)中的已知數(shù)據(jù)不是起算數(shù)據(jù);因?yàn)樵跊](méi)有已知坐標(biāo)點(diǎn)的測(cè)角網(wǎng)中它們對(duì)于確定網(wǎng)的形狀不起作用。

（4）確定必要觀測(cè)數(shù)t

可以采用化整為零的方式，分兩種情況介紹。①確定三角網(wǎng)的形狀，其實(shí)就是確定該網(wǎng)中所有內(nèi)角的大小。一個(gè)三角網(wǎng)通常是由許多單三角形互相鄰接、部分重疊等組成;確定了單三角形的兩個(gè)內(nèi)角，就可以確定這個(gè)單三角形的形狀，因此只要數(shù)一下這個(gè)三角網(wǎng)中必要的互相鄰接但不重疊的單三角形的個(gè)數(shù)，然后再乘以2，就是必要觀測(cè)數(shù)t，即t=互相鄰接且沒(méi)有重疊的單三角形個(gè)數(shù)×2。圖2可以看作是四個(gè)鄰接單△P1P2P3、△P1P3P4、△P1P4P5和△P1P5P6組成（其它不必要的單三角形不作考慮），所以t=4×2=8。②一個(gè)三角網(wǎng)有時(shí)是由單三角形、中點(diǎn)多邊形等基本幾何圖形之間互相鄰接、部分重疊組成。只要數(shù)一下網(wǎng)中必要的單三角形、中點(diǎn)多邊形、大地四邊形或扇形等互相鄰接但不重疊的個(gè)數(shù)，采用化整為零的方式，也很容易確定必要觀測(cè)數(shù)t。圖2也可看作是單△P1P2P3和一個(gè)以P1點(diǎn)為極、P3-P4-P5-P6為外點(diǎn)的四點(diǎn)扇形鄰接而成;或者可看作是單△P1P5P6和一個(gè)以P1點(diǎn)為極、P2-P3-P4-P5為外點(diǎn)的四點(diǎn)扇形組成。單三角形的必要觀測(cè)數(shù)為2，四點(diǎn)扇形的必要觀測(cè)數(shù)為6，因此，圖2所示三角網(wǎng)的必要觀測(cè)數(shù)t=2+6=8。

（5）各類條件的確定

對(duì)于圖2，含有單三角形、扇形，因此肯定會(huì)有圖形條件和極條件。若將該圖看作是單△P1P2P3和一個(gè)以P1點(diǎn)為極、P3-P4-P5-P6為外點(diǎn)的四點(diǎn)扇形組成，則先得出1個(gè)極條件和5個(gè)圖形條件;在此基礎(chǔ)上，又連線點(diǎn)P2和P5后，新出現(xiàn)了一個(gè)以P1為極的四點(diǎn)扇形和一個(gè)單△P1P2P5;因此，又多了1個(gè)圖形條件和1個(gè)極條件。

綜上，圖2的分析結(jié)果是：n=16，t=8，r=8;共有8個(gè)條件方程，其中有6個(gè)圖形條件，2個(gè)極條件。

3.3圖3的分析

依據(jù)上面的分析，圖3的分析結(jié)果是：n=13，t=5，r=8;共有8個(gè)條件方程，其中有5個(gè)圖形條件，2個(gè)極條件，1個(gè)方位角條件。

3.4圖4的分析

依據(jù)上面的分析，圖4的分析結(jié)果是：n=12，t=6，r=6;共有6個(gè)條件方程，其中有1個(gè)圖形條件，1個(gè)圓周條件，2個(gè)極條件，2個(gè)坐標(biāo)條件。

4 結(jié)論

以上總結(jié)了四個(gè)測(cè)角三角網(wǎng)的各類條件方程的分析思路，簡(jiǎn)單易懂，且不易出錯(cuò)。但需要再?gòu)?qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：

（1）要注意起算數(shù)據(jù)與已知數(shù)據(jù)的區(qū)別，已知數(shù)據(jù)未必是起算數(shù)據(jù)，但起算數(shù)據(jù)是已知數(shù)據(jù)，詳細(xì)情況請(qǐng)參考文獻(xiàn);

（2）需要強(qiáng)調(diào)，對(duì)于條件方程之間的獨(dú)立性判斷是最難掌握的，也是最容易出錯(cuò)的地方，本文中提出的一些方法可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題。

（3）三角網(wǎng)的目的分為確定網(wǎng)的形狀和大小以及待定點(diǎn)坐標(biāo)。大小確定的三角網(wǎng)是形狀確定的三角網(wǎng)的一種特例。

（4）該文中的思路也可以用于GNSS網(wǎng)、導(dǎo)線網(wǎng)、水準(zhǔn)網(wǎng)等。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：

泰山學(xué)院人才基金項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：Y-01-2017001。

者簡(jiǎn)介：

泥立麗（1980-），女，山東博興人，博士，講師，泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)及數(shù)據(jù)處理。