方葉祥，王洪冬，錢 慶，樊樹海

(南京工業(yè)大學 經(jīng)濟與管理學院，江蘇 南京 211816)

經(jīng)典的經(jīng)濟生產(chǎn)批量(economic manufacturing quantity, EMQ)指的是為了使企業(yè)庫存得到有效控制而制定的生產(chǎn)批量決策模型。此模型由于假設條件限制，認為設備生產(chǎn)出產(chǎn)品均合格，且認為設備不會發(fā)生失效，未能綜合考慮反映企業(yè)設備實際的運行情況，及生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的返工情況，在應用上與實際有較大的差距。為此，本文研究質(zhì)量需要得到保證，設備維護也需要保證的情況下，批量模型的計算方法。并將這種情形下的批量稱為質(zhì)量批量。

近年來，有很多文獻從不同的視角對經(jīng)濟生產(chǎn)批量的決策來進行研究。有部分學者從設備維護及質(zhì)量來補充經(jīng)濟生產(chǎn)批量模型。如Giri等[1]考慮了隨機的故障停機時間和維修時間，運用凈現(xiàn)值方法建立了設備維修和EPQ的整合費用模型，并給出了精確的算法。Kim等[2]不但考慮設備的故障情況，而且將產(chǎn)品質(zhì)量的影響引入到整合模型中，總費用模型中考慮了再加工成本。Chen[3]認為設備可生產(chǎn)出不合格品，對不合格品進行重加工，并對設備進行維護。盧震等[4]引入役齡回退因子和等效役齡概念進行動態(tài)預防性維修成本、故障維修成本及次品修復成本的構(gòu)建[5]。文獻[6]認為產(chǎn)品質(zhì)量和設備劣化水平存在函數(shù)關系，由生產(chǎn)出的產(chǎn)品質(zhì)量結(jié)合設備劣化水平來構(gòu)建設備維護模型。文獻[7]指出當結(jié)束每一次生產(chǎn)批量的制作時，全面檢驗所生產(chǎn)的產(chǎn)品。如果次品率遠超規(guī)定閾值，則維護設備。

有部分學者結(jié)合維護及設備劣化來考慮經(jīng)濟生產(chǎn)批量模型。在對設備劣化及設備維護策略中，大部分的研究假設設備維護后如新。文獻[8]研究了在產(chǎn)品需求隨機、產(chǎn)品合格率隨著設備狀態(tài)劣化而衰減之間的影響關系。文獻[9]研究生產(chǎn)批量計劃與設備預防性維護計劃集成決策方法。文獻[10]考慮了設備劣化引起產(chǎn)品缺陷率增大以及顧客需求波動，利用Gamma過程對上游生產(chǎn)單元的劣化過程進行研究。文獻[11]采用非完美預防性視情維修、小修與故障更換相結(jié)合的維修策略。文獻[12]引入性能可靠度約束，以平均費用率最小為目標進行維護。文獻[13]考慮產(chǎn)品質(zhì)量損失和兩臺設備的緩沖區(qū)，尋求最優(yōu)維護策略。文獻[14]將生產(chǎn)批量、質(zhì)量閾值以及預防性維護閾值聯(lián)合起來考慮，構(gòu)造了費用成本模型。文獻[15]提出一種加速劣化模型,研究了加速劣化系統(tǒng)的最優(yōu)視情維修策略。文獻[16]運用隨機系數(shù)增長來刻畫變化的設備狀態(tài)，由經(jīng)濟生產(chǎn)批量和監(jiān)測的設備狀態(tài)建立模型。文獻[17]研究將離散制造業(yè)生產(chǎn)計劃問題與生產(chǎn)設備的非周期預防性維修相結(jié)合，優(yōu)化確定最優(yōu)的生產(chǎn)計劃及設備預防性維修序列。

以上研究局限在某個時間點的決策，但在實際制定生產(chǎn)批量決策時，需要從全流程的視角來考慮加工成本問題，追求最大邊際效益，需要考慮到返工產(chǎn)品的邊際成本。因此，本文考慮設備生產(chǎn)的返工產(chǎn)品成本的邊際效應下的期望利潤最大值，以探討實際生產(chǎn)設備劣化及產(chǎn)品返工情況下的生產(chǎn)批量決策(質(zhì)量批量決策)，為企業(yè)制定切實有效的生產(chǎn)批量，獲得最大期望利潤提供參考。

1 模型描述

1.1 生產(chǎn)設備

在一個生產(chǎn)過程當中，以生產(chǎn)速率為M生產(chǎn)某種產(chǎn)品。設一個生產(chǎn)批量為Q(決策變量之一)，設備在運行的過程中會逐漸發(fā)生劣化。本文采用Gamma過程來描繪設備的隨機劣化路徑。由于此過程具有遞增、增量平穩(wěn)的特性，所以可用來描述設備劣化過程的多種情形，如磨損、腐蝕、鈍化等[14]。設生產(chǎn)設備在時刻t的劣化量為X(t)且設X(0)=0，設備的劣化預警點設為V2。其中，劣化預警點是指設備運行到劣化量或設備使用壽命警界點。

1.2 不完全維護策略

設備在生產(chǎn)運行過程當中，為保證設備運行的可靠性，降低設備運行的故障風險，通過對設備劣化水平的檢測來為預防性維護提供決策支撐。因某些設備監(jiān)測數(shù)據(jù)技術的原因，需設備停機后進行檢測。因此，在生產(chǎn)結(jié)束后檢測設備。設預防性維護的閾值為V1(決策變量之二)，當設備劣化水平X(t)≥V1時，假設設備可以繼續(xù)進行生產(chǎn)。本文假設維護是不完全的，即使進行了維護，而設備亦不能恢復如新。

1.3 質(zhì)量控制策略

隨著設備的持續(xù)運行，設備是處于不斷劣化的過程當中，而產(chǎn)品的質(zhì)量也不斷地降低，引用文獻[4]中假設次品率是服從冪指數(shù)分布φ(t)=β1tγ,γ＞0,0＜φ＜1。其中，為了區(qū)分Gamma分布參數(shù)中的β，此處系數(shù)設為β1。次品數(shù)如下：

其中，β是設備次品率，γ是次品率系數(shù)。

經(jīng)過不完全的預防性維修，設備的性能恢復得到了改善，運用等效役齡的方法，設備的次品率同設備失效率一樣有如下變化。設T為生產(chǎn)周期，N為次數(shù)，αi指的是經(jīng)過i次預防性維修后，改善設備性能的役齡因子，其中0＜αi＜1。

在(0，T)時間內(nèi)，設備產(chǎn)生的次品數(shù)量

在(T，2T)時間內(nèi)，設備產(chǎn)生的次品數(shù)量

在[(N?1)T，NT]時間內(nèi)，設備產(chǎn)生的次品數(shù)量

在生產(chǎn)過程中，加工完的產(chǎn)品立即接受質(zhì)量檢測，而檢測出的次品中又存在著可返工產(chǎn)品，可返工產(chǎn)品經(jīng)過規(guī)定的流程返工可獲得一定的利益，即要使得所生產(chǎn)獲得利益最大化，但是返工次數(shù)不可能無休止地進行，所以返工率到達質(zhì)量控制閾值R(決策變量之三)時，進行預防性更換。

1.4 符號與假設

1) 假設生產(chǎn)過程是持續(xù)不斷的。

2) 生產(chǎn)設備為單設備。生產(chǎn)過程包括質(zhì)量批量生產(chǎn)和返工生產(chǎn)2個環(huán)節(jié)，分別在2臺不同的設備上。

3) 進行預防性維護或預防性更換活動后，設備的開機時間忽略。

4) 假設設備劣化值在(0，1)之間。

2 模型構(gòu)建

cn為預防性維護所需的費用，cm為預防性更換所需的費用。cs為設備啟動費用，ca為設備檢測費用，ch為單位生產(chǎn)次品的損失。假設Q(t)為[0,t]內(nèi)生產(chǎn)批量總數(shù)。第n個生產(chǎn)批量期為第n個批量與第n+1個批量之間的時間間隔。記Pn為第n個生產(chǎn)批量期內(nèi)產(chǎn)生的總利潤(1≤n≤N(t))，其包括生產(chǎn)產(chǎn)品獲取的利潤Pn，設備開始的啟動費cs、殘廢品損失DCn、返工成本TCC，以及可能存在的設備檢測費用ca、預防維護費用cn、預防更換費用cm。記tn為第n個生產(chǎn)批量開始的時刻，?=Q/M作為一個批量的生產(chǎn)時間。根據(jù)設備的隨機劣化行為，第n個生產(chǎn)批量對應有3個互斥的隨機事件 {Ai|i=1,2,3}，{A1}表示批量生產(chǎn)過程中設備未發(fā)生故障，返工率未到達質(zhì)量控制閾值R，且生產(chǎn)批量結(jié)束后設備劣化水平X(tn+?)檢 測到的值未達到預防性維護閾值V1，無需維護。{A2}表示在批量生產(chǎn)的過程中設備劣化水平超過預防性維護閾值V1，需進行預防性維護。{A3}表示在批量結(jié)束時，劣化水平超過劣化預警點V2時，為了使利潤獲得最大化，此時可繼續(xù)進行產(chǎn)品生產(chǎn)活動，此時生產(chǎn)的產(chǎn)品會產(chǎn)生返工，但返工所需的成本不大于所獲得利潤的時候，可繼續(xù)生產(chǎn)，維持生產(chǎn)活動持續(xù)進行。當返工率達到質(zhì)量控制閾值R時，需要進行預防性更換。如圖1所示。

圖1 設備在一個生產(chǎn)批量中劣化速率與利潤函數(shù)變化示意圖Figure 1 Schematic diagram of the degradation rate and profit function of a device in a production batch

根據(jù)以上3種情形，第n個生產(chǎn)批量期內(nèi)產(chǎn)生的總利潤用Pn可表示為

情形1第n個生產(chǎn)批量結(jié)束后設備無需進行預防性維護。

情形2生產(chǎn)過程中設備劣化未達到設備劣化閾值需進行預防性維護?？偫麧櫚ǎ涸O備啟動費用cs、次品損失設備檢測費用ca及預防性維護所需的費用cn。

情形3生產(chǎn)過程中返工率達到閾值R需進行預防性更換。

M1—MN表示生產(chǎn)工藝步驟；本文主要考慮返工步驟為2步的工藝步驟，S1為生產(chǎn)工藝的改變原因；S2為上一道工序未達到規(guī)定尺寸要求原因；S3為生產(chǎn)材料的更替原因；S4為由于產(chǎn)品檢測出問題的原因。設A1、A2為按返工原因進行分類的步驟。返工成本矩陣、返工概率矩陣如表1、表2所示。

返工過程示意圖如圖2所示。

因此次品返工成本為

表1 返工成本矩陣F(Ai,Sj)表Table 1 Rework cost matrix F(Ai, S j) table

表2 返工概率矩陣R(Ai, S j)表Table 2 Rework probability matrix R(Ai, S j) table

圖2 返工示意圖Figure 2 Rework diagram

將式(9)、(11)、(13)代入式(8)即可得第n個批量之中的總利潤Pn。

記Epn(Q,V1,R)是在設備運行下的總利潤期望函數(shù)?？偲谕麧櫤瘮?shù)等于[0,t]時間內(nèi)總期望利潤即

3 數(shù)值實驗

設一機床設備對某一固體進行車削加工操作，車削的質(zhì)量評估標準主要以固體的長度及內(nèi)徑的誤差。設M=50 單位/h、cs=800元/次，ca=200 元/次，cm=7 000 元/次，P價=700 元/單位，ch=60 元/單位。根據(jù)設備的歷史運行數(shù)據(jù)及供應商所提供數(shù)據(jù)擬合得：α=0.3，β=0.8(α、β為Gamma分布形參和尺參)，V2=0.95，β1=0.8(冪指數(shù)系數(shù))，γ=1.3。

由文獻[4]可知，不完全預防性維護的相關變量如表3所示。

求得次品數(shù)

表3 不完全預防性維護的相關變量Table 3 Related variables for incomplete preventive maintenance

當設備劣化量小于預防性維護閾值X＜V1時

當設備劣化量大于預防性維護閾值X＞V1時

當返工率大于質(zhì)量控制閾值R(Ai,S j)×θN/Mt≥R時

根據(jù)三因素的Box-Behnken的實驗方案，采用蒙特卡洛仿真運行17組實驗，計算出不同情況下的期望利潤對實驗記錄數(shù)據(jù)進行仿真500次。再運用Design Expert 8.0.6軟件，確定回歸方程參數(shù)，并繪制出相應的關系圖及相關方差分析，如表4。為了研究生產(chǎn)批量大小Q、預防性維護閾值V1、質(zhì)量控制閾值R對利潤的影響，通過方差分析，Q、V1、R對Epn值的效應顯著(p＜0.05)。則說明此模型有統(tǒng)計學的意義。失擬項p的值0.842 7＞0.05，則表明無失擬因素存在。二次回歸方程如式(21)。

表4 回歸系數(shù)及方差分析(ANOVA)結(jié)果Table 4 Regression coefficient and analysis of variance (ANOVA) results

由圖4可知，考慮返工成本近似最優(yōu)解為(Q*，期望利潤值最大Epn=元。因此生產(chǎn)批量為710的時候，若對設備進行檢測，其劣化量超過0.70時進行預防性維護。如果返工率達到0.77則對設備進行預防性更換。

圖3 未考慮返工成本的擬合所得3個影響因素對期望利潤影響的三維曲面Figure 3 Three-dimensional surface that affects the expected profit without considering the rework cost

圖4 考慮返工成本的擬合所得3個影響因素對期望利潤影響的三維曲面Figure 4 Three-dimensional surface that affects the expected profit with considering the rework cost

綜上，考慮邊際成本的利潤和批量大于未考慮的情況，影響期望利潤最重要影響因素是Q，其次是V1，最后是R。

4 結(jié)束語

本文主要針對設備的劣化狀態(tài)、生產(chǎn)批量的大小和維護策略進行聯(lián)合建模。根據(jù)質(zhì)量控制閾值來對設備進行有效的預防性更換。為了使得生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤得到更大的提升，通過生產(chǎn)批量、預防維護閾值及質(zhì)量控制閾值構(gòu)建決策變量，構(gòu)造期望利潤最大的優(yōu)化目標模型。通過對比考慮返工成本的邊際效應與未考慮的情況下期望利潤的最大值，得出考慮返工邊際成本的生產(chǎn)批量(即質(zhì)量批量)能夠得到期望利潤最大。本文對制造企業(yè)的生產(chǎn)管理、設備的維護及提高生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，提高生產(chǎn)利潤、增加設備的利用率具有一定的參考價值。

本文主要考慮了設備返工成本的邊際效應獲得最大期望利潤。然而，在實際的生產(chǎn)過程中，生產(chǎn)設備由多臺設備串聯(lián)或者并聯(lián)組合而成，隨著設備數(shù)量的增加，對于模型的決策變量及求解難度隨之上升。對于更復雜的多設備與維護決策的集成問題還需要進一步研究。