祝 燕

(廣東省梅縣東山中學(xué) 514017)

現(xiàn)在我國(guó)對(duì)人才的要求是綜合化、創(chuàng)新化，如果缺乏對(duì)事物的“舉一反三”能力，將很難面對(duì)今后復(fù)雜多類的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，很難適應(yīng)社會(huì)的需要.一題多解是指利用不同的思維方法，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題使用兩種或者兩種以上的方法策略進(jìn)行分析解答.以下通過(guò)具體實(shí)例的求解進(jìn)行闡述.

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)假設(shè)直線l與動(dòng)點(diǎn)C所形成的軌跡相切于點(diǎn)P，并與直線x=4相交于一點(diǎn)Q，那么以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)x軸上的某定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)方法一設(shè)而不求，精準(zhǔn)計(jì)算.

由題意分析可知，直線l的斜率是存在的，那么可設(shè)直線l的方程為：y=kx+m.

依題意，Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0，即3+4k2=m2.

綜合以上分析，可知以PQ為直徑的圓必過(guò)x軸上的定點(diǎn)(1，0).

方法二善用性質(zhì)結(jié)論，減少?gòu)?fù)雜運(yùn)算.

將各點(diǎn)坐標(biāo)代入整理可得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0，即x0(1-t)+t2-4t+3=0.

因?yàn)閤0是任意取的，所以有1-t=0，t2-4t+3=0同時(shí)成立，所以t=1.

故以PQ為直徑的圓必過(guò)x軸上的定點(diǎn)(1，0).

方法三由特殊到一般，代入驗(yàn)證.

易得到與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，(3,0).

小結(jié)一般情況下，對(duì)于圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常有兩類處理方法：

(1)參數(shù)法：對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線方程系數(shù)，引進(jìn)相關(guān)參數(shù)，利用參數(shù)表示坐標(biāo)或系數(shù)等，然后依據(jù)題意，分析定點(diǎn)、定值成立的條件，得出方程，進(jìn)而解方程求出答案.

(2)從特殊到一般的推理法：先選擇一些特殊點(diǎn)(如坐標(biāo)軸上的點(diǎn))或特殊直線(如垂直于x軸或y軸的直線，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線等)探究求出滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)或某值，再進(jìn)一步證明該點(diǎn)或值與相關(guān)變量無(wú)關(guān)，那么即為所要求的定點(diǎn)或定值等.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)方法一設(shè)而不求，精準(zhǔn)計(jì)算.

(a)若直線的斜率存在，可設(shè)直線方程為y=k(x-1)(k≠0)，交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(xA，yA)，B(xB，yB).

那么依據(jù)題意有：

方法二由特殊到一般，代入驗(yàn)證.

在平時(shí)學(xué)習(xí)、考試碰到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，很多通過(guò)各個(gè)板塊知識(shí)交匯編制的數(shù)學(xué)題都具有采用一題多解策略分析求解的可能，具備培養(yǎng)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題核心素養(yǎng)的價(jià)值.通過(guò)對(duì)此類題目進(jìn)行一題多解的探究，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解題能力、探究能力等，而且可以在探究多種解法的過(guò)程中，通過(guò)各種解法的相互比較，促進(jìn)學(xué)生積極地、全面地靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)方法、提升數(shù)學(xué)能力、培育數(shù)學(xué)素養(yǎng).