魏成年

(甘肅省武威第六中學(xué) 733000)

圓錐曲線(xiàn)中的取值范圍問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，也是高考的難點(diǎn).從學(xué)生的答題情況看，相當(dāng)多的毛病出在運(yùn)算上，究其原因，往往是方法選擇不當(dāng)或運(yùn)算不合理(策略意識(shí)差)，造成中途擱淺或結(jié)果出錯(cuò).問(wèn)題的根源在于學(xué)生解題不講策略，遇到題目瞎撞亂碰，而運(yùn)算時(shí)也缺乏目標(biāo)意識(shí)，不講究運(yùn)算的合理性.因此，如何增強(qiáng)圓錐曲線(xiàn)的解題策略意識(shí)，提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度就顯得尤為重要.下面我們以近年的高考題為例來(lái)說(shuō)明解決這類(lèi)問(wèn)題的策略方法.

一、利用圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)構(gòu)造不等關(guān)系來(lái)確定參數(shù)的取值范圍

(2)解法略.

評(píng)析有關(guān)中點(diǎn)弦的問(wèn)題，利用點(diǎn)差法：設(shè)點(diǎn)代入→作差→斜率關(guān)系，可以減少運(yùn)算、降低難度，為解題帶來(lái)方便.

二、利用圓錐曲線(xiàn)中的判別式構(gòu)造不等關(guān)系來(lái)確定參數(shù)的取值范圍

例2 (同例1)

評(píng)析圓錐曲線(xiàn)中的范圍問(wèn)題類(lèi)型較多，解法靈活多變，靈活選取不同的方法會(huì)為解題帶來(lái)便利. 但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把待求的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)參數(shù)的函數(shù)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.與例1的解法(幾何法)相比，本例的解法(代數(shù)法)就顯得運(yùn)算繁雜，對(duì)運(yùn)算能力的要求較高，因此，圓錐曲線(xiàn)的解題中對(duì)方法的選擇就顯得尤為重要.

三、利用求函數(shù)值域方法將待求量表示為其它變量的函數(shù)，求其值域來(lái)確定參數(shù)的范圍

例3 (2016·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)圓:

x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1，直線(xiàn)l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析(1)由橢圓的定義易得點(diǎn)E的軌跡方程.(2)解決直線(xiàn)與橢圓相關(guān)的問(wèn)題，常規(guī)思路是先把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程來(lái)解決相關(guān)的問(wèn)題.本題中設(shè)出直線(xiàn)方程代入橢圓方程中，利用弦長(zhǎng)公式求出|MN|，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出|PQ|，從而將四邊形面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù)問(wèn)題，便可求得四邊形面積的范圍.

(2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，

設(shè)l的方程為

y=k(x-1)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

將l方程代入橢圓得：

(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，

設(shè)過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)m為：

因此，所求四邊形MPNQ的面積為

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，易得四邊形MPNQ的面積為12.

評(píng)析求四邊形MPNQ面積的取值范圍，我們可構(gòu)造面積關(guān)于直線(xiàn)l的斜率的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)S關(guān)于k的函數(shù)求得面積的范圍，這是求解這類(lèi)問(wèn)題常用的方法.

四、利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍

(1)求橢圓的方程；

(2)求k的取值范圍；

(3)求△OAB的面積S的取值范圍.

將l方程代入橢圓方程， 得：

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

(3)由(1)(2)知，

設(shè)△OAB的AB邊上的高為d，則

評(píng)析這種類(lèi)型的問(wèn)題是圓錐曲線(xiàn)中常見(jiàn)的問(wèn)題.由已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍思路相對(duì)簡(jiǎn)單，思維要求也不是很高，但對(duì)運(yùn)算能力的要求比較高，必須引起對(duì)運(yùn)算的高度重視，以便在高考中立于不敗之地.

五、利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式來(lái)確定參數(shù)的范圍

例5 (2016·天津卷)設(shè)橢圓

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線(xiàn)與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍.

分析(1)易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)由角的不等關(guān)系化為邊或坐標(biāo)的不等關(guān)系，通過(guò)垂直關(guān)系簡(jiǎn)化為l的斜率與邊或坐標(biāo)的關(guān)系，解不等式便可得到所求范圍.

(2)設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k(k≠0)，則直線(xiàn)l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB)， 將l的方程代入橢圓方程，得

(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

由(1)知F(1,0)，設(shè)H(0,yH)，所以，

在△MAO，由∠MOA≤∠MAO得:

評(píng)析本題由角的不等關(guān)系來(lái)尋找邊或坐標(biāo)的不等關(guān)系是不太常見(jiàn)的題型.因此，圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)除了關(guān)注運(yùn)算能力外，對(duì)思維的靈活性、應(yīng)變能力也是不容忽視的.

六、利用隱含的不等關(guān)系建立不等式來(lái)確定參數(shù)的范圍

(1)當(dāng)t=4，|AM|=|AN|時(shí)，求△AMN的面積；

(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的范圍.

分析(1)易解△AMN的面積；

(2)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)寫(xiě)出AM的方程，與橢圓聯(lián)立可求得|AM|；再用同樣的方法或整體代換斜率k得到|AN|，利用2|AM|=|AN|得到k與t的關(guān)系式，依據(jù)隱含的t>3的范圍可求得k的范圍.

解法略.

評(píng)析直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)的計(jì)算方法等考查推理論證能力、運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法，能力要求高，難度大，是大家在復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)中需要特別關(guān)注的問(wèn)題.

圓錐曲線(xiàn)的解題策略主要體現(xiàn)在方法的選擇和運(yùn)算的機(jī)智應(yīng)變上，只要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中注意識(shí)別模式，擇優(yōu)定法，緊扣條件，布列方程，抓住主元，整體代換，圍繞目標(biāo)，化繁為簡(jiǎn)，經(jīng)歷這樣的思考、分析，高考中的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題便不在話(huà)下.