周曉琳

(江蘇省南通市天星湖中學(xué) 226009)

一、概述構(gòu)造函數(shù)法

類似于構(gòu)造方程法，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)知識(shí)與方程間聯(lián)系緊密，合理應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法，利于培養(yǎng)并提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，特別是在幾何與代數(shù)類型數(shù)學(xué)題干信息求解中有明顯的適用性.數(shù)學(xué)題目實(shí)際求解過(guò)程中，將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為形式簡(jiǎn)單的函數(shù)，以此簡(jiǎn)化求解過(guò)程，準(zhǔn)確解答題目，為學(xué)生思維創(chuàng)造性發(fā)展創(chuàng)造條件.

數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，要注意所構(gòu)造的函數(shù)必須要滿足以下內(nèi)容：(1)函數(shù)與原題聯(lián)系緊密.(2)創(chuàng)建的函數(shù)能夠確保便于應(yīng)用常規(guī)解題方法解答題目.(3)值域、單調(diào)性、奇偶性及周期性等方面，函數(shù)要符合題干要求，提高函數(shù)準(zhǔn)確性.(4)根據(jù)題干條件構(gòu)造函數(shù).函數(shù)構(gòu)造過(guò)程中，首先要全面分析命題條件、結(jié)論及特點(diǎn)，在提取其中邏輯與構(gòu)想基礎(chǔ)上，參考題目條件重新組合，一次獲得滿足解題要求的構(gòu)造函數(shù)；此外還要觀察并分析函數(shù)，聯(lián)系分析條件與結(jié)論，最終獲得正確結(jié)論.該解題方法邏輯性強(qiáng)，且解題方便，適用范圍大，已成為高中數(shù)學(xué)解題中一種比較常見(jiàn)的解題方法.

二、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造函數(shù)法的具體應(yīng)用

1.利用構(gòu)造函數(shù)比較式子大小

比如比較an與bn兩個(gè)式子的大小.分析：通過(guò)觀察這兩個(gè)數(shù)可以看出，其有相同的指數(shù)但底數(shù)不同.因而，實(shí)際解題過(guò)程中，可通過(guò)構(gòu)造冪函數(shù)y=xn，利用該函數(shù)單調(diào)性判斷兩個(gè)算式的大小.(1)如果n>0，在(-∞，+∞)區(qū)間范圍內(nèi)函數(shù)y=xn為單調(diào)遞增，所以an與bn的大小取決于a與b的大小，即假若a>b，那么an>bn，反之則anb>0，那么anbn.

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)對(duì)比幾個(gè)數(shù)的大小，是函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的重要體現(xiàn)，此種情況下實(shí)際學(xué)習(xí)中，必須要了解構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性對(duì)比函數(shù)大小.一般，構(gòu)造函數(shù)是日常比較常用的初等函數(shù)或其復(fù)合形式，因此利用構(gòu)造函數(shù)對(duì)比算式大小，了解一次、二次、指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)圖象與單調(diào)性是非常重要的.

2.構(gòu)造二次函數(shù)解答數(shù)學(xué)題

數(shù)學(xué)解題中，比如已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a的取值范圍.

解答b+c=1-a，b2+c2=1-a2，那么構(gòu)造函f(x)=2x2-2(b+c)x+b2+c2=(x-b)2+(x-c)2≥0是恒成立的，因此Δ=4(b+c)2-8(b2+c2)≤0，換言之4(1-a)2-8(1-a2)≤0，由此求出-1/3≤a≤1.

該題目解答過(guò)程中，將b+c與b2+c2視為一個(gè)整體，以此為二次函數(shù)f(x)=2x2-2(b+c)x+b2+c2的構(gòu)造創(chuàng)造了條件，最后借助二次函數(shù)性質(zhì)獲求出最終結(jié)果.

3.構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用于分解因式

比如分解因式a3+b3+c3-3abc.

該題目屬于三元三次多項(xiàng)式，結(jié)構(gòu)特殊且根與系數(shù)聯(lián)系緊密，因而實(shí)際解題過(guò)程中，基于a、b、c三個(gè)單位構(gòu)建三根三次多項(xiàng)式函數(shù)，利用函數(shù)求解問(wèn)題.具體解題過(guò)程主要為：假設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3+yx2+zx+r，得出a+b+c=-y，ab+ac+bc=z,abc=-r，獲得以下三個(gè)公式：f(x)=a3+ya2+za+r=0，f(x)=b3+yb2+zb+r=0與f(x)=c3+yc2+zc+r=0.結(jié)合這三個(gè)等式，推導(dǎo)出(a3+b3+c3)+y(a2+b2+c2)+z(a+b+c)+3r=0，并求出最終結(jié)果，即a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc).

4.構(gòu)造一次函數(shù)解答數(shù)學(xué)題

解決以下問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù)有效提高解題效率.假設(shè)不等式為2x-1>m(x2-1)，其滿足|m|≤2的所有值條件下不等式恒成立，求未知數(shù)x取值范圍.解答該類型題目是，首先可將不等式轉(zhuǎn)換為(x2-1)m-(2x-1)<0，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造一次函數(shù)即f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(|m|≤2).然后結(jié)合該一次函數(shù)圖象基本性質(zhì)得到f(-2)<0，最后代入未知數(shù)x求出其最終取值范圍.

5.構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)

此過(guò)程中，采用換元法簡(jiǎn)化原不等式對(duì)數(shù)的真數(shù)部分，并構(gòu)造兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，以此證明原不等式成立，其在不等式證明中應(yīng)用比較廣.

綜上所述，隨著新課標(biāo)改革的深入推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，函數(shù)教學(xué)是非常重要的內(nèi)容，應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)法已成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要應(yīng)用思想，對(duì)解題效率與學(xué)生解題能力的提高具有非常重要的意義.因此，高中學(xué)習(xí)階段，老師要引導(dǎo)學(xué)生深入了解構(gòu)造函數(shù)法解題思想應(yīng)用的作用，了解函數(shù)性質(zhì)及形式，靈活應(yīng)用該方法解決實(shí)際學(xué)習(xí)生活中遇到的問(wèn)題，從根本上提高自身數(shù)學(xué)解題能力，獲得更加準(zhǔn)確地結(jié)果.