廣東省東莞實驗中學 (523120) 薛新建

1.問題的引入

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年)》對于高中數(shù)學課程性質(zhì)特別指出，“數(shù)學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言”，數(shù)學課程承載著“引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界”這一重要使命.正確理解問題，用已有的知識去表征問題是解決問題的重要前提，而用不同的知識多角度表征解決同一問題，既是探索數(shù)學問題本質(zhì)的需要，也是培養(yǎng)學生思維能力，實踐能力和創(chuàng)新能力的重要途徑.

表征是認知心理學中的一個重要概念，是指知識在學習者頭腦中的呈現(xiàn)和表達方式，因此，對問題的表征，既取決于問題本身，又取決于學習者對問題的理解.常見數(shù)學問題的表征形式有文字表征，符號表征，圖形表征和操作表征四種.同一種表征形式，由于采用的數(shù)學工具不同，又會形成多種方法.各種表征形式互有優(yōu)劣，解題時可以把各種表征形式相結(jié)合并根據(jù)需要進行轉(zhuǎn)換，形成問題的多元表征.

2.多元表征的相關(guān)理論

希伯特(Hiebert)和卡彭特(Carpenter)認為，一個數(shù)學概念或事實只有成為內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一部分的情況下，才是真正被理解了.而理解的程度又取決于聯(lián)系的數(shù)目和強度.喻平教授提出的CPFS理論表明，數(shù)學教學的重要任務(wù)是完善學生的概念域和概念系，命題域和命題系.概念或者命題之間的等值抽象關(guān)系，強抽象關(guān)系，弱抽象關(guān)系或者廣義抽象關(guān)系等關(guān)系本身就蘊含著思維能力和創(chuàng)新能力，因此對一道題的多維度解讀，深層次發(fā)掘，各種表征方式結(jié)合轉(zhuǎn)化與互相比較，既是解決問題的需要，也是構(gòu)建數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)和完善數(shù)學認知結(jié)構(gòu)必不可少的過程.

波利亞在解題表中的一些步驟，如在弄清條件和結(jié)論后，要追問自己：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？有沒有和這個問題相關(guān)且早已解決的問題？你可以利用它的結(jié)果嗎？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？這些問題都引導我們在面對一個新的問題時，應(yīng)該從熟悉的知識中尋找思路并努力嘗試用不同的方法，從不同的角度去表征問題，這對于問題的解決是非常有用的.

3.案例分析

分析：該題背景非常經(jīng)典，即三角形中已知一角及其對邊展開設(shè)問，相同條件背景分別在全國Ⅰ卷2011(第16題)，2012(第17題)，2014(第16題)，2015(第16題)，2016(第17題)，2017(第17題)反復(fù)出現(xiàn)，設(shè)問類型包括求三角形周長(或其最值)，求三角形面積(或其最值)，求邊(或其線性組合)等各種變式.出鏡率如此之高，究其原因，該條件背景有如下特點：(1)條件簡單易于入手，可以考察學生基礎(chǔ)知識，基本能力，基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，符合高考試題基礎(chǔ)性和一般性特點；(2)條件屬于知識點交匯處，可以用解三角形，平面幾何，解析幾何，向量，參數(shù)方程，極坐標方程等不同模塊的知識來表征解決問題，符合高考試題綜合性和開放性特點；(3)該條件下，學生可以創(chuàng)建不同模型去刻畫動量變化，又有足夠的創(chuàng)造性空間可以給學生去發(fā)掘，符合高考探究性和創(chuàng)新性特點.正是基于上述特點，該條件背景能夠在新課改從能力立意到素養(yǎng)導向的轉(zhuǎn)變中長盛不衰.

下面以多元表征的視角來展開對該題的多維探究.

3.1 符號表征視角

符號表征是對問題中的元素及其關(guān)系符號化，以字母或者數(shù)學符號的形式予以表征，常見形式如方程(或等量關(guān)系)，不等式，函數(shù)解析式，向量(符號形式)，公式，定理等.該題條件就是以符號形式出現(xiàn)，因此，用符號形式表征問題是本題首選.而對于三角形中邊角數(shù)量關(guān)系常用表征工具是正余弦定理，因此下述兩種方法是最常見方法.

3.2 圖形表征視角

圖形表征是指對問題中的元素及其關(guān)系幾何化或者圖表化，以幾何元素如點，線，面，角，幾何體等，以及圖形，圖表，圖象，框圖，數(shù)軸(坐標軸)等直觀形象地表征問題的方式.本題中涉及三角形的邊和角的問題，這些都是幾何元素，因此用圖形表征解決該問題也是情理之中.

圖1

圖2 圖3

3.3 多元表征視角

多元表征即根據(jù)題目條件，靈活運用多種表征形式，把文字表征的準確性，符號表征的簡潔性和圖形表征的直觀性相結(jié)合，利用不同數(shù)學工具，形成靈活多樣的解題思路.

圖4

上述解法把問題轉(zhuǎn)化成了直線與圓的位置關(guān)系的問題，主要側(cè)重幾何法，如果直線采用參數(shù)方程的話，則更加側(cè)重代數(shù)法.

圖5

圖6

圖7

4.案例反思及教學建議

在從多個角度，選用不同知識對同一道題目進行多元表征后，有如下總結(jié)和發(fā)現(xiàn)：

(1)多元表征的過程就是對問題思考和認識的過程.在表征問題的不同階段，我們既會面臨表征方式的選擇與比較，也會面臨表征方式的轉(zhuǎn)化與結(jié)合.例如，表征4與表征5體現(xiàn)了探索C點軌跡的定義法和直接法，是相同思路下的不同方法，解題時既可以選擇從數(shù)的角度去量化邊角關(guān)系，也可以從形的角度去圖化邊角關(guān)系，量化嚴謹全面，圖化形象直觀，二者都可以刻畫三角形邊角之間的變化關(guān)系，究竟哪個更好一些？顯然不能一概而論，要因題而異，因需而異.再如，在表征8中，先從圖形表征發(fā)現(xiàn)，可以用直線交點去刻畫A點位置，進而用符號表征從方程的角度去探索求解，是典型的解析幾何解題的思路與方法，通過表征形式的及時轉(zhuǎn)換結(jié)合達到最終解題的目的.

(2)多元表征過程中體現(xiàn)了多樣的數(shù)學方法.本案例中就包含了建模法、換元法、圖象法(坐標法)、比較法、向量法、構(gòu)造法、參數(shù)法等方法.表征方法繁多的原因在于對邊，角，頂點這些變量的選擇性表征，角定邊動就形成了表征3；邊定角動就形成了表征4；圍繞點B的運動變化展開思考就形成了表征6；圍繞點A的運動變化展開思考就形成了表征8.可見不同表征形式的選擇是出于解決問題的需要，是為了把問題著力點突出展示.

(3)多元表征過程中體現(xiàn)了豐富的數(shù)學思想.本案例中就體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想(表征1，表征2，表征8，表征9，表征10)，數(shù)形結(jié)合的思想(表征3，表征4，表征5，表征6，表征7，表征8)，轉(zhuǎn)化與化歸的思想(表征3，表征4，表征6，表征7)，特殊與一般的思想(表征3，表征4，表征6)等數(shù)學思想.數(shù)學思想的反復(fù)體驗是發(fā)展學生學習能力，實踐能力和創(chuàng)新意識的重要途徑.

(4)多元表征的目的是為了發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).詩云“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，一道美景，觀察的角度不同會得到不一樣的美的享受.同樣的，對于一個數(shù)學問題本質(zhì)的探究，也需要通過不同的表征形式對其刻畫，才能更加客觀和全面.例如本例中通過對十種表征總結(jié)發(fā)現(xiàn)，雖然表征問題的方法和思想多種多樣，但最終落足點無非兩種：要么找到三角形邊與角的量化關(guān)系，要么找到符合題目邊角條件的三角形.這二者其實就是該問題的代數(shù)與幾何本質(zhì).

鑒于上述思考，我們對數(shù)學教學提出建議：重視多元表征的訓練，既要有意識地在課堂預(yù)設(shè)中引導學生多角度表征刻畫數(shù)學問題，也要注意課堂中多元表征思維的即興生成；重視變式題組的訓練，一題多變既是對問題全面理解的必要引導，也是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)構(gòu)建最有效的途徑；重視階段性總結(jié)，章節(jié)總結(jié)與跨章節(jié)總結(jié)，知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化與多元表征互為表里，相互促進，二者結(jié)合拓展了對數(shù)學知識理解的廣度和深度.