武文娟
(廣州工商學院 基礎教學部,廣州510850)
求不定積分的方法很多,主要有直接積分法、第一換元法、第二換元法、分部積分法。第一換元法(又稱湊微分法)是求不定積分最常用的方法,靈活性大、技巧性強,是最難掌握的一種方法。雖然看似形式多樣,但并不是毫無技巧可言。本研究將依據(jù)被積函數(shù)的特點提出第一換元法求不定積分的解題技巧。
設f(u)具有原函數(shù)F(u),u=φ(x)可導,則有以下第一換元公式:
=F(u)+C=F(φ(x))+C
第一換元法求不定積分的關鍵是找到合適的中間變量u=φ(x)。以下將給出第一換元法求不定積分的技巧,共分三步:第一,把被積函數(shù)看成幾個因式的乘積,找出其中最復雜的因式。第二,與基本積分表對照,找出與復雜因式最相似的公式。第三,根據(jù)最相似的基本積分公式找出中間變量。運用以上三步技巧可以快速有效地幫助學生找到中間變量u=φ(x),可以靈活應用第一換元法求解定積分。
以下將通過典型例題具體闡釋第一換元法求不定積分的技巧。這個技巧對于求不定積分是行之有效的,能幫助學生從容運用第一換元法求定積分。
例:計算下列不定積分
解:令u=cosx,則du=-sinxdx,于是
=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C
解:令u=2-3x,則du=-3dx,于是
解:令u=xlnx,則du=(1+lnx)dx,于是
=ln|u|+C=ln|lnlnx|+C