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        第一換元法求不定積分的技巧

        2020-07-21 02:34:54武文娟
        黑龍江科學(xué) 2020年14期
        關(guān)鍵詞:教學(xué)部因式積分法

        武文娟

        (廣州工商學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,廣州510850)

        求不定積分的方法很多,主要有直接積分法、第一換元法、第二換元法、分部積分法。第一換元法(又稱湊微分法)是求不定積分最常用的方法,靈活性大、技巧性強(qiáng),是最難掌握的一種方法。雖然看似形式多樣,但并不是毫無技巧可言。本研究將依據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)提出第一換元法求不定積分的解題技巧。

        1 第一換元法的定義

        設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u=φ(x)可導(dǎo),則有以下第一換元公式:

        =F(u)+C=F(φ(x))+C

        2 第一換元法的應(yīng)用

        3 第一換元法求不定積分的難點(diǎn)

        4 第一換元法求不定積分的技巧

        第一換元法求不定積分的關(guān)鍵是找到合適的中間變量u=φ(x)。以下將給出第一換元法求不定積分的技巧,共分三步:第一,把被積函數(shù)看成幾個(gè)因式的乘積,找出其中最復(fù)雜的因式。第二,與基本積分表對(duì)照,找出與復(fù)雜因式最相似的公式。第三,根據(jù)最相似的基本積分公式找出中間變量。運(yùn)用以上三步技巧可以快速有效地幫助學(xué)生找到中間變量u=φ(x),可以靈活應(yīng)用第一換元法求解定積分。

        5 典型例題

        以下將通過典型例題具體闡釋第一換元法求不定積分的技巧。這個(gè)技巧對(duì)于求不定積分是行之有效的,能幫助學(xué)生從容運(yùn)用第一換元法求定積分。

        例:計(jì)算下列不定積分

        解:令u=cosx,則du=-sinxdx,于是

        =-ln|u|+C=-ln|cosx|+C

        解:令u=2-3x,則du=-3dx,于是

        解:令u=xlnx,則du=(1+lnx)dx,于是

        =ln|u|+C=ln|lnlnx|+C

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