許文杰，林海嬋，歐宜貴

(海南大學(xué) 理學(xué)院，海南 ?？?570228)

考慮如下一類非線性單調(diào)方程組問題

(1)

其中，X?Rn是一個非空閉凸集，F(xiàn)：Rn→Rn是連續(xù)的單調(diào)映射，即

(2)

(3)

其中，搜索方向dk由下式確定

(4)

(5)

1 預(yù)備知識

定義1[4]設(shè)Ω?Rn是非空閉凸集.從Rn到Ω的投影算子PΩ[x]定義為

(6)

關(guān)于投影算子PΩ[x]的特性，參考文獻(xiàn)[4].

定義2[4]稱映射F：Rn→Rn是強(qiáng)單調(diào)的，若存在常數(shù)μ>0，使得

(7)

顯然，從式(7)和Cauchy-Schwarz不等式，可推知強(qiáng)單調(diào)映射F滿足

(8)

引理1[1]設(shè)搜索方向dk由算法DFPA產(chǎn)生，則滿足

(9)

及

(10)

(11)

2 收斂率分析

為了進(jìn)一步分析算法DFPA的收斂率，假設(shè)：

A1映射F在X內(nèi)是Lipschitz連續(xù)的，即存在常數(shù)L>0，使得

(12)

A2映射F：Rn→Rn是強(qiáng)單調(diào)的.

引理3[2]若假設(shè)A1成立，則算法DFPA在第k步迭代過程中，由線搜索準(zhǔn)則(5)所確定的步長因子αk滿足下列不等式

(13)

利用上述有關(guān)的結(jié)論，得到本文主要結(jié)果.

證明關(guān)于定理1的前一部分證明，參考文獻(xiàn)[1]中的Theorem 2.1的證明.以下證明定理1的第二部分結(jié)論.

事實上，利用結(jié)論(10)和(13)，即可推得：存在正常數(shù)c1>0，使得

(14)

(15)

另一方面，由假設(shè)A1、式(10)及αk≤β，?k，可推得

(16)

以及

(17)

其中，c2=max{L(β(1+2t)L+1)，(c1μ)2}.從而，結(jié)合式(15)～(17)，并利用式(11)，可推出：存在正常數(shù)c3>0，使得

(18)

證畢.

3 一般算法模型框架及具體的數(shù)值試驗

對已有求解問題(1)的無導(dǎo)數(shù)投影方法和本文以上的分析，可以構(gòu)造如下更一般的求解問題(1)算法模型框架.

一般算法模型框架(GDFPA)：

Step3用某種方法來構(gòu)造搜索方向dk，使其滿足

(19)

和

(20)

其中，c4>0和c5>0是2個常數(shù)；

Step4計算試驗點zk=xk+αkdk，其中步長因子αk由線搜索方案(5)確定；

Step5更新迭代點.令

(21)

Step6令k：=k+1，轉(zhuǎn)Step1.

注2 對于Step2中的的dk具體構(gòu)造方法，參考文獻(xiàn)[2]的有關(guān)討論.受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā),給出一種構(gòu)造dk的方法，即

(22)

(23)

引理4 若dk的由式(22)和(23)定義，則對所有的k，有

(24)

和

(25)

證明若k=0，則式(24)和(25)顯然成立.

若1≤k

以及

表明不等式(24)和(25)在1≤k

同理，當(dāng)k≥m，可類似于上述情形的證明方法推出不等式(24)和(25)也成立.

綜上所述，不等式(24)和(25)對于任意的k均成立

注3 由引理4的結(jié)論可知，由式(22)和(23)定義的dk滿足條件式(19)和(20).此外，從引理4的證明過程還可以看出，結(jié)論(24)和(25)并不需要“強(qiáng)單調(diào)假設(shè)”.

關(guān)于算法GDFPA的收斂性特性，在此僅給出結(jié)論，而其詳細(xì)的分析和討論，參考本文先前的分析和討論，在此略去.

為了驗證算法模型GDFPA的可行性，選取了以下2個問題來進(jìn)行數(shù)值試驗：

表1 數(shù)值試驗結(jié)果

從表1的測試結(jié)果可以看出，只要給出滿足條件的搜索方向，可以得到問題所需精度的解.

4 小 結(jié)

對算法DFPA的局部收斂速率進(jìn)行討論.在一定的條件下，證明了本文方法所產(chǎn)生的迭代序列至少是線性收斂的，此結(jié)果要優(yōu)于先前結(jié)論.同時，還給出了具有相同收斂特性的求解單調(diào)方程組的無導(dǎo)數(shù)投影法的更一般算法模型框架.