井亞彬，黃佩珍

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

隨著人工智能、物聯(lián)網(wǎng)、高性能計(jì)算等領(lǐng)域的迅猛發(fā)展，集成電路的需求持續(xù)增長。在集成電路的制造、封裝和服役過程中，金屬內(nèi)連導(dǎo)線內(nèi)不可避免地會(huì)出現(xiàn)缺陷(夾雜、孔洞、裂紋等)。這些缺陷在力、電、熱等作用下發(fā)生漂移、變形，從而造成集成電路金屬內(nèi)連導(dǎo)線短路或斷路失效[1-2]。夾雜是一種典型缺陷，夾雜的分布和形態(tài)對于內(nèi)連導(dǎo)線的可靠性有著重要影響。此外，在先進(jìn)金屬功能材料、結(jié)構(gòu)和器件的仿生設(shè)計(jì)中對于夾雜的研究也受到越來越多的關(guān)注[3-6]。因此研究材料內(nèi)部夾雜的演化機(jī)理，對于全面了解材料的宏觀特性，提高電子器件的可靠性，改善材料的力學(xué)及物理性能具有重要意義。

夾雜的研究工作始于Eshelby[7]首次提出了等效夾雜理論，此后研究者們提出并運(yùn)用一系列的方法與模型研究了夾雜的形態(tài)演化。Thompson 等[8]應(yīng)用連續(xù)尖銳界面模型探討了彈性應(yīng)力對夾雜形態(tài)演化的影響，得到了圓形及四方形夾雜的平衡形態(tài)。Lee[9-10]提出了離散原子法，模擬了圓形失配夾雜形狀演化過程及平衡形態(tài)。結(jié)果表明：軟粒子趨向于低對稱性的平衡形態(tài)，例如板狀；而硬粒子趨向于高對稱性的平衡形態(tài)，例如圓形。而在單軸拉應(yīng)力作用下，正失配應(yīng)變下的軟粒子最終會(huì)演變?yōu)榇怪庇趹?yīng)力方向的板狀；而硬粒子會(huì)沿著應(yīng)力方向伸長。Leo 等[11]基于Cahn-Hilliard型廣義自由能泛函[12]，提出了擴(kuò)散界面模型，并運(yùn)用此模型研究了各向同性基體中彈性不均勻性對夾雜演化的影響。Kolling 等[13]提出了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型，有限元模擬了平面應(yīng)變且無外載條件下無限大基體中彈性不均勻失配夾雜的平衡形態(tài)，探討了彈性模量比對其影響。Sun 等[14]運(yùn)用分子動(dòng)力學(xué)方法模擬了純鐵奧氏體基體中的鐵素體各向異性生長，鐵素體最終趨向于生長為伸長的板狀，且與其初始構(gòu)型無關(guān)。Sun 等[15]運(yùn)用位移不連續(xù)法和有限差分法，分析了各向異性應(yīng)力下夾雜的偏轉(zhuǎn)軌跡。王峰等[16]提出一種求解含夾雜的非均勻材料問題的擴(kuò)展無單元Galerkin 法，利用了水平集方法對夾雜界面形狀和不連續(xù)位移場進(jìn)行表征。此外，邊界元法[17-18]、相場法[19-21]、擴(kuò)展有限元[22]等都大大促進(jìn)了對夾雜演化機(jī)理的研究和理解。

基于Eshelby 等效夾雜理論，Wang 等[23]導(dǎo)出了復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下夾雜形狀演化控制方程，并得到不同外載條件下夾雜的平衡形態(tài)、及失穩(wěn)條件，給出自由能與夾雜的形狀、大小、應(yīng)力、失配應(yīng)變、夾雜與基體的模量比等參數(shù)的定量關(guān)系。Li 等[24]推導(dǎo)了在梯度應(yīng)力場誘發(fā)界面擴(kuò)散下的無限大金屬基體中橢圓形夾雜的遷移速度的解析解，探討了夾雜與基體的模量比對其影響規(guī)律。Yang 等[3]發(fā)展了一種定量估算遠(yuǎn)場拉應(yīng)力作用下不同形狀的硬粒子的旋轉(zhuǎn)角度、周期等參數(shù)的理論框架。Wang 等[25]研究了表面張力誘發(fā)下處于無限大彈性平面內(nèi)的納米級夾雜周圍的應(yīng)力場，發(fā)現(xiàn)隨著彈性模量比的增大(由軟粒子變?yōu)橛擦Ｗ?，處于夾雜一側(cè)的夾雜－基體界面上的法向應(yīng)力會(huì)變大、基體側(cè)的會(huì)減小，切應(yīng)力變化不大?？梢?，彈性模量比對于夾雜－基體系統(tǒng)應(yīng)力場及夾雜形狀演化有重要影響作用。

材料內(nèi)部夾雜的形態(tài)演化嚴(yán)重影響材料的宏觀性能。而擴(kuò)散、界面遷移等質(zhì)流機(jī)制主導(dǎo)著微結(jié)構(gòu)演化過程中的物質(zhì)輸運(yùn)過程。材料在實(shí)際的服役過程中，其內(nèi)部夾雜的演化往往可以由擴(kuò)散(表面擴(kuò)散、晶界擴(kuò)散、界面擴(kuò)散)機(jī)制或者界面遷移機(jī)制單獨(dú)發(fā)揮作用，也存在多種機(jī)制同時(shí)作用的可能。以往大多數(shù)研究關(guān)注的是表面擴(kuò)散或界面擴(kuò)散[23-24]，而未見文獻(xiàn)報(bào)道界面遷移下夾雜形態(tài)演化的研究。基于Sun 等[26]的界面遷移理論，本文將其推廣至固－固界面系統(tǒng)，并用有限元方法重點(diǎn)分析了夾雜與基體的模量比對金屬內(nèi)連導(dǎo)線中夾雜形態(tài)演化規(guī)律的影響。

1 基本理論

考慮如圖1 所示的二相彈性系統(tǒng)，橢圓形夾雜嵌在有限大的基體中，在遠(yuǎn)場施加雙向等值拉應(yīng)力σ0； h 代表內(nèi)連導(dǎo)線/基體的寬度， L為所截取的導(dǎo)線長度。夾雜的長軸和短軸的半軸長為 a、b，且分別與坐標(biāo)軸的x 、 y方向重合；夾雜的形態(tài)比 β=a/b； Ei、 Em分別為夾雜和基體的彈性模量。導(dǎo)線中z 方向的應(yīng)變，在基體的約束下，其大小可忽略，xoy 平面內(nèi)的應(yīng)變狀況即可反應(yīng)其真實(shí)服役過程的變化，因此可將此視為二維平面應(yīng)變問題。二維平面應(yīng)變問題反映了三維問題的本質(zhì)，代表了夾雜和導(dǎo)線沿著厚度方向的均勻性。假設(shè)夾雜和基體都為各向同性均勻彈性體，夾雜表面張力 γs(單位面積表面的自由能)為各向同性；忽略夾雜與基體間的化學(xué)勢差的影響，即Δ g=0；此外，由于研究的是晶內(nèi)單夾雜系統(tǒng)，故不考慮晶界能的影響。

圖1 雙向應(yīng)力下橢圓夾雜模型Fig. 1 The elliptic inclusion model under bidirectional stresses

在遠(yuǎn)場外載下，夾雜－基體系統(tǒng)的總自由能G包括表面能、彈性應(yīng)變能以及遠(yuǎn)場力做的功，即：

2 可靠性驗(yàn)證

3 數(shù)值模擬及討論

夾雜－基體系統(tǒng)的總自由能主要由界面能和彈性能共同組成。界面能與界面面積成正比。而彈性能產(chǎn)生的主要因素包括施加的遠(yuǎn)場應(yīng)力和夾雜與基體間的晶格錯(cuò)配度即失配應(yīng)力。處于基體中夾雜的平衡形態(tài)主要取決于界面能和彈性應(yīng)變能對系統(tǒng)總自由能的相對貢獻(xiàn)。

本節(jié)數(shù)值模擬雙向等值拉應(yīng)力(σx=σy=σ0)下夾雜與基體的彈性模量比 α=Ei/Em對夾雜形態(tài)演化的影響。為方便起見，采用無量綱參數(shù)σ=σ0b/γs、h=h/b。 定義夾雜面積變化率ΔS =(S-S0)/S0×100%， 其中，S 是夾雜隨時(shí)間演化的即時(shí)面積，S0為夾雜的初始面積。

3.1 模量比對夾雜形態(tài)演化的影響

圖4 β=6、 h=40、 σ=40時(shí) ，不同α 下夾雜的形態(tài)演化圖及初始時(shí)刻應(yīng)力云圖Fig. 4 The morphological evolution of inclusion and the stress nephogram at initial moment under different α for β=6, h=40, σ=40

圖5 β=6、 h=40、 σ=40時(shí) ，不同α 下夾雜的面積變化率隨時(shí)間的變化Fig. 5 The area change as a function of time at different α for β=6, h=40, σ=40

夾雜在形態(tài)演化的過程中，伴隨著面積的改變。圖5 給出了不同模量比下夾雜面積的改變率隨時(shí)間的變化。由圖5(a)可見，當(dāng)夾雜退化為孔洞時(shí)，夾雜長大、面積急劇增長，且在短時(shí)間內(nèi)面積變化超過90%。面積變化率隨著模量比的逐漸增大而顯著減小。由圖5(b)可見，當(dāng)夾雜收縮時(shí)，隨著模量比的逐漸增大，夾雜面積減小的速率隨之增大，相同時(shí)間內(nèi)，面積減小更多。并且當(dāng)模量比較大時(shí)，面積變化率因模量比的改變而變化不大。可見當(dāng)夾雜長大時(shí)，模量比越大，夾雜長大越慢，模量比對夾雜長大有抑制作用；夾雜收縮時(shí)，模量比越大，收縮越快，模量比對夾雜的收縮有促進(jìn)作用。

由上分析可知，模量比在夾雜的形態(tài)演化過程中扮演著重要的角色。因此，下面將重點(diǎn)討論模量比(主要探討軟夾雜，即α ≤1時(shí)的情況)對于夾雜形態(tài)演化分叉的臨界條件的具體影響。

3.2 模量比對臨界應(yīng)力的影響

圖6 所示為不同應(yīng)力條件下夾雜的形態(tài)演化圖。由圖可見，當(dāng)σ =20時(shí)，界面能在夾雜演化過程中占據(jù)優(yōu)勢， p ＜0，導(dǎo)致夾雜物質(zhì)穿越界面進(jìn)入基體、夾雜收縮。在表面張力作用下，夾雜表面逐漸向著曲率中心收縮，最終演化為圓形穩(wěn)態(tài)(見圖6(a))。而σ=55時(shí)，彈性應(yīng)變能在系統(tǒng)總自由能中占據(jù)主導(dǎo)地位， p ＞0 (即 νn＞0)，基體中的物質(zhì)穿越界面進(jìn)入夾雜中，夾雜－基體界面向著基體方向運(yùn)動(dòng)，夾雜長大，并且沿長軸方向急劇伸長(見圖6(b))。經(jīng)分析可知，肯定存在一種應(yīng)力狀態(tài)，界面能和彈性應(yīng)變能處于動(dòng)態(tài)平衡之中，夾雜面積不會(huì)發(fā)生變化。經(jīng)過大量數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，其他條件不變的情況下，確實(shí)存在著臨界應(yīng)力σc，隨著時(shí)間的變化，夾雜面積保持不變。綜上，當(dāng)σ ＞σc時(shí)，夾雜沿長軸長大；反之，夾雜收縮并趨于圓形。

3.3 模量比對臨界形態(tài)比的影響

圖9 所示為在其他條件不變、不同形態(tài)比下夾雜的形態(tài)演化。由圖可見，形態(tài)比大的狹長夾雜沿著長軸長大；而形態(tài)比小(對稱性越高)的夾雜收縮，并趨于圓形穩(wěn)態(tài)。同理，經(jīng)分析可知夾雜形態(tài)演化出現(xiàn)分叉時(shí)存在著臨界形態(tài)比 βc：β ＞βc時(shí)，夾雜沿長軸長大。反之，夾雜收縮并趨于圓形。

由圖10 可見，當(dāng)夾雜收縮時(shí)，形態(tài)比的增加會(huì)阻礙其收縮趨勢。當(dāng)夾雜長大時(shí)，形態(tài)比促進(jìn)其長大。

圖11 所示為模量比對夾雜形態(tài)演化分叉時(shí)臨界形態(tài)比的影響。由圖可見，隨著模量比的增大，臨界形態(tài)比也隨之增大。當(dāng) α ＜0.6時(shí)，臨界形態(tài)比 βc曲線隨模量比的增大而急劇上升，模量比對臨界形態(tài)比影響較大。 α ＞0.6時(shí) ， βc曲線趨于平緩，模量比對臨界形態(tài)比的影響變小。此外，在同一模量比下，可看出線寬越大，臨界形態(tài)比越大。

3.4 模量比對臨界線寬的影響

圖12 所示為不同線寬下夾雜隨時(shí)間的形態(tài)演化過程。由圖可見，在不同線寬下的夾雜也存在長大和收縮兩種演化趨勢。經(jīng)大量數(shù)值模擬可知，其他條件不變的情況下，夾雜演化分叉時(shí)存在著臨界線寬ehc， 當(dāng)h ＜hc時(shí)，夾雜沿長軸長大；反之，夾雜收縮并趨于圓形。

圖12 α =0.1、 σ=17 、 β=5 時(shí)，不同 h下夾雜隨時(shí)間的演化Fig. 12 The morphological evolution of inclusion over time at different h for α =0.1, σ=17, β=5

由圖13 可知，夾雜長大時(shí)，線寬越小，面積增長率越大，即相同時(shí)間內(nèi)，夾雜長大的越快。當(dāng)夾雜收縮時(shí)，隨著線寬的增大，面積縮減的越快，且當(dāng)h≥40時(shí)，線寬對夾雜演化的影響較小。綜上可知，線寬對于夾雜的長大有抑制作用，促進(jìn) 其收縮。

圖13 α =0.1、 β=5、 σ=17時(shí) ，不同 h下夾雜的面積變化率隨時(shí)間的變化Fig. 13 The area change as a function of time at different h for α=0.1,β=5,σ=17

圖14 給出了模量比對夾雜形態(tài)演化分叉時(shí)臨界線寬的影響。由圖可知臨界線寬ehc隨著模量比的增大而逐漸減小。同一模量比下，應(yīng)力越大，臨界線寬越大。且當(dāng)應(yīng)力較大時(shí)，模量比增長的初始階段，臨界線寬的變化較大。

圖14 模量比對臨界線寬的影響Fig. 14 The effect of the modulus ratio on the critical line width

經(jīng)過大量計(jì)算，發(fā)現(xiàn)臨界線寬對于模量比的變化十分敏感，模量比的變化范圍十分小時(shí)，線寬的變化范圍已超過50，超出其作用范圍，因?yàn)榫€寬超出50 時(shí)，其對應(yīng)力場的影響已很小。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用所建立的應(yīng)力誘發(fā)固－固界面遷移下的有限單元法，數(shù)值模擬了處于各向同性彈性基體中橢圓形夾雜的形態(tài)演化過程，主要探討了不同模量比下夾雜演化規(guī)律以及模量比對臨界應(yīng)力、臨界線寬和臨界形態(tài)比的影響，得到主要結(jié)論如下：

(1) 不同彈性模量比下夾雜的形態(tài)演化存在長大和收縮兩種分叉現(xiàn)象。

(3) 模量比或線寬的增大抑制夾雜的長大，而促進(jìn)其收縮；應(yīng)力、形態(tài)比的增大促進(jìn)夾雜的長大，而抑制其收縮。

(4) 臨界應(yīng)力或臨界形態(tài)比隨著模量比的增加而增大。且在 α ＜0.6時(shí) ，模量比對σc、 βc的影響顯著。而臨界線寬ehc隨著模量比的增大而逐漸減小。