李鑫凱，張?zhí)祢U，梁先明

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2.中國西南電子技術(shù)研究所，四川 成都 610036)

0 引 言

在波達方向估計(direction of arrival，DOA)算法中[1,2]，以經(jīng)典的MUSIC[3,4]和ESPRIT[5,6]算法為代表。兩種經(jīng)典算法適用于窄帶信號或低相關(guān)信號，而且信號數(shù)要小于陣元數(shù)。由于兩種算法的一些不足，近幾年來提出了一些改進的算法。文獻[7]提出用協(xié)方差秩最小化的估計方法；文獻[8]提出相關(guān)矩陣二次重構(gòu)方法；文獻[9]提出一種改進MUSIC算法，對局部信號空間進行譜峰搜索。對于寬帶信號的波達方向估計，一般分為非相干寬帶信號子空間ISM[10]和相干寬帶信號子空間CSM[11]兩種算法，ISM算法主要處理非相干信號的波達方向估計問題，而CSM可以處理相干信號，是把若干個窄帶信號通過聚焦算法變換到同一頻率下進行波達方向估計，因為需要聚焦，計算復(fù)雜。高階累積量[12]算法能夠抑制高斯白噪聲的影響，是一種比較常用的方法。

本文研究了異步多用戶長碼直擴信號的波達方向估計，由于異步長碼直擴信號是用一周期偽碼調(diào)制多位信息碼，導(dǎo)致信噪比很低，又因為異步多用戶直擴信號是寬帶信號，若直接用MUSIC算法估計波達方向，將導(dǎo)致估計結(jié)果不準(zhǔn)確，而且目前關(guān)于異步多用戶長碼直擴信號的波達方向估計研究較少。針對上述問題，提出用相干信號子空間和高階累積量算法對異步信號進行波達方向估計，分別仿真了異步周期和非周期信號在兩種算法下成功概率和均方根誤差。

1 陣列信號模型

1.1 直擴信號模型

異步多用戶長碼直擴信號的信號模型為

(1)

1.2 陣列信號模型

一般常用的陣列有圓陣，平面陣，直線陣等，本文采用一種計算簡單的陣列信號模型，用M個等距排列的直線陣接收信號，陣元間距為l； 假設(shè)有K個遠場異步LC-DS-CDMA 信號從不同的方向入射到陣列上，入射角為θ1，θ2，…θk， 假設(shè)噪聲是均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲與信號是相互獨立的，而且信號與信號間互不相關(guān)。選第一個陣元作為參考陣元，在t時刻時，第m個陣元上的接收數(shù)據(jù)為

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(2)

2 MUSIC算法

MUSIC算法是經(jīng)典的窄帶波達方向估計算法，通過構(gòu)造空間譜，進行譜峰搜索估計入射方向。假設(shè)接收信號為X(t)， 信號作自相關(guān)處理，得到協(xié)方差矩陣為

R=E[X(t)X(t)H]

(3)

其中，E表示期望，H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

由1.2節(jié)知，信號與噪聲之間相互獨立，故把式(2)帶入式(3)中，得到

RX=E[X(t)X(t)H]=AE[SSH]AH+σ2IM

(4)

對RX進行特征分解得

(5)

(6)

由于信號子空間與噪聲子空間彼此正交，故當(dāng)入射角等于θ時，PMUSIC(θ) 產(chǎn)生極大值，K個入射信號就會產(chǎn)生K個極大值，故出現(xiàn)K個峰值就對應(yīng)K個信號。

3 波達方向估計算法

寬帶信號的波達方向估計是把信號變到頻域，然后分解成J個窄帶，再用窄帶算法估計波達方向。

把式(2)變換到頻域，得采樣信號為

X(f)=A(f,θ)S(f)+N(f)

(7)

假設(shè)觀測時間為T0, 把觀察時間T0分為P段，每段為TS=T0/P， 并對每個子帶做j點傅里葉變換得到P段不相關(guān)的窄帶頻域分量，記為XP(fj),p=1,2,…P,j=1,2,…J。

3.1 CSM算法

CSM是估計寬帶信號的波達方向的常用算法，通過聚焦矩陣將每個頻率點的數(shù)據(jù)變換到參考頻率，然后再用MUSIC算法進行估計。

構(gòu)造聚焦矩陣T(fj)， 滿足

T(fj)A(fj)=A(f0),j=1,2…J

(8)

式中：f0為參考頻率，把T(fj) 帶入式(7)得

T(fj)X(fj)=T(fj)A(fj,θ)S(fj)+T(fj)N(fj)=
A(f0,θ)S(fj)+T(fj)N(fj),j=1,2,…,J

(9)

在本文中，選用旋轉(zhuǎn)信號子空間變換算法(RSS)進行聚焦矩陣的構(gòu)造，即

(10)

文獻[13]提出了一種聚焦矩陣的形式

T(fj)=V(fj)UH(fj)

(11)

式中：U(fj) 和V(fj) 分別為A(fj)AH(f0) 經(jīng)過奇異值分解的左奇異矢量和右奇異矢量。

聚焦變換之后陣列流型A(f0,θ) 不再隨頻率改變，把T(fj) 帶入式(7),假設(shè)變換后的矩陣Y(fj)， 即

Y(fj)=T(fj)X(fj),j=1,2,…J

(12)

對式(12)求協(xié)方差為

RY(fj)=E[Y(fj)YH(fj)]=A(f0,θ)RS(fj)AH(f0,θ)+
σ2T(fj)TH(fj)j=1,2,…J

(13)

由于分為J個窄帶，則

(14)

式中

RS(fj)=S(fj)SH(fj)

(15)

Rn(fj)=N(fj)NH(fj)

(16)

具體步驟為：

(1)先把信號分為P段，然后把每段均分成J個窄頻段并進行傅里葉變換；

(2)由式(11)構(gòu)造聚焦矩陣；

(3)經(jīng)過變換得到式(12)，再求其協(xié)方差矩陣，即式(14)；

(4)最后用窄帶方法求波達方向。

3.2 高階累積量算法

高階累積量能夠估計抑制白噪聲的影響，但是運算量比較大，本文采用四階累積量，由下式表示

(17)

式中：k1,k2,k3,k4∈{1,2,…,M},M為陣元數(shù)。

本文采用聚焦后的矩陣式(12)，在不同頻率點構(gòu)造四階累積量矩陣CYj， 第 [(k1-1)M+k3] 行 [(k2-1)M+k4] 列的元素為

CYj=E{(Y?Y·)(Y?Y·)H}-
E{(Y?Y·)}E{(Y?Y·)H}-E{YYH}?E{(YYH)·}

(18)

式中：?表示Kronecker乘積，·表示共軛，H表示共軛轉(zhuǎn)置。CYj共有M4個值，將M4個值放入M2×M2的矩陣RYj中，則式(18)為

(19)

上式中

CS=E{(S?S·)(S?S·)H}-
E{(S?S·)}E{(S?S·)H}-E{SSH}?E{(SSH)·}

(20)

B(θ)=[b(θ1)b(θ2) …b(θk)]=
[a(θ1)?a·(θ1) …a(θk)?a·(θk)]

(21)

b(θ1)=a(θ1)?a·(θ1)

(22)

對式(19)進行加權(quán)平均得

(23)

對上式進行特征分解，由于有K個入射信號，故有K個較大特征值，M2-K個較小特征值，較小特征值組成的噪聲子空間為En=[ek+1ek+2…eM2]， 則空間譜為

(24)

具體步驟為：

(1)同3.1節(jié)步驟(1)和步驟(2)一樣，得到Y(jié)(fj)；

(2)由式(17)和式(18)求得CYj， 然后通過式(19)和式(23)求得四階累量算法下的協(xié)方差矩陣；

(3)對式(23)進行特征分解，得到En；

(4)對式(24)進行譜峰搜索，得到異步信號的波達方向。

4 實驗仿真及分析

通過matlab進行仿真，比較在不同陣元與不同信噪比下異步LC-DS-CDMA信號波達方向估計的成功概率和均方根誤差。

以下實驗都采用如下條件，實驗中采用信源數(shù)k=3， 且相互獨立，信號的入射角θ為-30°，0°，20°。本文選用均勻直線陣，陣元數(shù)為6，陣元間距為半波長，快拍數(shù)500，偽碼周期63，信息碼寬度21，信息碼個數(shù)1000；擴頻序列采用gold序列。噪聲為高斯白噪聲，且噪聲與信號相互獨立。

仿真實驗一：取信噪比為-12 dB，仿真結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 異步PLC-DS-CDMA信號波達方向估計

圖2 異步PLC-DS-CDMA信號波達方向估計

由圖1和圖2知，異步PLC-DS-CDMA信號，在信噪比為-12 dB下，兩種算法的估計結(jié)果偏差在1°以內(nèi)，但四階累積量的偏差更小，表明估計結(jié)果更加準(zhǔn)確。

仿真實驗二：在不同信噪比下的成功概率，分別仿真6個陣元和8個陣元下的結(jié)果，蒙特卡洛仿真200次，仿真結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 6個陣元時的成功概率

圖4 8個陣元時的成功概率

從圖3可以看出，6個陣元時，在-10 dB時兩種算法都能達到100%正確率，從圖4可知，8個陣元，在-14 dB時，成功率可以達到100%。表明陣元數(shù)越多，成功率越高，而且四階累積量算法比CSM算法的估計結(jié)果更好。

仿真實驗三：分別在6個陣元和8個陣元時，不同信噪比下異步PLC-DS-CDMA信號的均方根誤差。蒙特卡羅仿真200次。仿真結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 6個陣元時的均方根誤差

圖6 8個陣元時的均方根誤差

從圖5和圖6可知，在6個陣元，信噪比為-20 dB，兩種算法均方根誤差為1點多，而8個陣元時，為0.6上下，表明陣元數(shù)越多，均方根誤差越小，估計效果更好，兩種算法的均方根誤差性能曲線圖相差不大。

仿真實驗四：異步NPLC-DS-CDMA信號應(yīng)用兩種算法在-12 dB信噪比時的波達方向估計，其中擴頻碼周期為127，信息碼寬度為90，仿真結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖7 6個陣元時的仿真結(jié)果

圖8 6個陣元時的仿真結(jié)果

從圖7和圖8可知，異步NPLC-DS-CDMA信號應(yīng)用兩種算法同樣可以估計出入射方向。

仿真實驗五：異步NPLC-DS-CDMA信號用兩種算法的成功率。仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 6個陣元時的仿真結(jié)果

從圖9看出，異步NPLC-DS-CDMA信號在-8 dB時兩種算法的成功率達到100%，由仿真實驗二知異步PLC-DS-CDMA信號在-10 dB能達到100%，說明兩種算法對非周期信號的估計性能比周期信號差。

仿真實驗六：對于異步NPLC-DS-CDMA信號不同信噪比下的均方根誤差。仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10 6個陣元時的仿真結(jié)果

從圖10看出，隨著信噪比升高，異步NPLC-DS-CDMA信號的均方根誤差逐漸變小。

5 結(jié)束語

本文提出用相干信號子空間算法和四階累積量算法去估計異步LC-DS-CDMA信號的波達方向。通過計算機仿真，周期和非周期信號都能用本文所提的兩種算法在信噪比下大于-10 dB時準(zhǔn)確估計出波達方向，本文仿真了在不同信噪比下的成功率和均方根誤差，驗證了兩種算法的正確性，四階累積量算法比CSM算法的估計效果更好，但是四階累量的計算量較大，仿真速度比較慢。