趙 旭, 史維娟, 吉國興

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院, 西安 710119)

保持問題是指刻畫算子代數(shù)上能保持某一性質(zhì)、 集合或關(guān)系的映射的問題[1]. 近年來, 對線性保持問題或可加保持問題的研究已引起人們廣泛關(guān)注[2-5]. 譜在算子理論中具有重要作用, 譜和譜的子集常用于研究Hilbert空間或Banach空間上算子的結(jié)構(gòu), 文獻[6]對保持譜或譜子集的線性映射或可加映射給出了具體刻畫. 在無限維Banach空間中, 算子的正規(guī)特征值是一個重要概念, 文獻[7]對雙向保持正規(guī)特征值的可加映射做了詳細刻畫, 指出對于任意給定的正整數(shù)m, 若可加滿射φ雙邊保持m正規(guī)特征值及m+1正規(guī)特征值, 則φ為自同構(gòu)或反自同構(gòu). 本文研究使算子特征空間維數(shù)有限的正規(guī)特征值之集, 并刻畫B(X)上雙邊保持該集合的可加滿射.

1 預備知識

設X是復無限維Banach空間,X*是X的對偶空間. 對于X的閉子空間M, 用dimM和codimM分別表示M的維數(shù)和余維數(shù), isoM是M中的所有孤立點集. 設非零向量x∈X和非零泛函f∈X*,x?f表示一秩算子, 且對任意的向量z∈X, (x?f)z=f(z)x.B(X)表示X上所有有界線性算子構(gòu)成的代數(shù). 對算子T∈B(X), 用T*,ker(T),ran(T)分別表示T的伴隨算子、 零空間和值域.T的譜和點譜定義如下：

若T是閉值域算子, dim ker(T)<∞且codim ran(T)<∞, 則稱T是Fredholm算子. Fredholm算子T的指標定義為ind(T)=dim ker(T)-codim ran(T). 注意到, Fredholm算子的有限秩擾動也是Fredholm算子且指標不變.B(X)中的非零算子T的升標a(T)和降標d(T)定義如下：

若該下確界不存在, 則將a(T)和d(T)定義為+∞. 若Fredholm算子T的升標和降標有限, 則稱T為Browder算子. 算子T是Browder算子當且僅當T是指標為零的Fredholm算子, 且a(T)<∞.

其中Γ=?Ω是在復變理論下Ω的正向邊界. 此時定義H(σ；T)=ran(E(σ；T)). 若λ∈isoσ(T), 則{λ}是σ(T)的閉開子集, 將H({λ}；T)簡寫為H(λ；T). 若dimH(λ；T)<∞, 則λ稱為T的正規(guī)特征值.

將T的正規(guī)特征值之集記作σ0(T), 顯然σ0(T)?σp(T). 對任意給定的正整數(shù)n, 用Nn(T)表示T的滿足dim ker(T-λI)≤n的正規(guī)特征值之子集. 由文獻[8]中推論1.14可得：

2 主要結(jié)果

命題1設T∈B(X), 0∈Nn(T)且F是一秩算子. 若0∈Nn(T+F)且0?Nn(T-F), 則0∈Nn(T+2F)或0∈Nn(T-2F).

證明: 令F=z?f, 其中z∈X且f∈X*. 由于0∈Nn(T), 由Nn(T)的定義可知T是指標為零的Fredholm算子, 因此T±F和T±2F是指標為零的Fredholm算子. 首先斷言T-F,T+2F和T-2F均不可逆. 事實上, 由于

(ker(T)∩ker(f))?(ker(T-F)∩ker(T+2F)∩ker(T-2F)),

不妨設ker(T)∩ker(f)={0}, 則存在非零向量x∈ker(T),y∈ker(T+F), 使得f(x)=f(y)=1.令w=2x-y,w1=-x+2y,w2=3x-2y, 則w,w1,w2是非零向量, 且滿足

(T-F)w=0, (T+2F)w1=0, (T-2F)w2=0.

因此T-F,T+2F和T-2F均不可逆.

由于0?Nn(T-F), 由Nn(T-F)的定義, 下面分兩種情形討論.

情形1)a(T-F)=∞.

設P=max{a(T),a(T+F)}, 則P<∞. 下面證明a(T+2F)<∞.

反設a(T+2F)=∞, 則a(T+2F)>p且a(T-F)>p. 由文獻[9]中命題2.2可知: 若非零算子T滿足a(T)≤m,F是一秩算子且存在兩個不相等的非零常數(shù)α和β, 使得a(T+αF)>m且a(T+βF)>m, 則對任意的非零常數(shù)c, 有a(T+cF)>m. 因此a(T+cF)>P, 其中c是任意非零常數(shù), 則a(T+F)>P, 與0∈Nn(T+F)矛盾, 所以a(T+2F)<∞. 同理可得a(T-2F)<∞. 由于2F是一秩算子, dim ker(T)≤n, 由文獻[10]中引理2.3可得dim ker(T+2F)<∞或dim ker(T-2F)<∞. 綜上, 0∈Nn(T+2F)或0∈Nn(T-2F).

情形2) dim ker(T-F)>n.

由于F是一秩算子, 由文獻[11]中引理5可知： 映射λ→ dim ker(T+λF)在有理數(shù)域上除去至多一點外是常值函數(shù). 由于dim ker(T)≤n, dim ker(T+F)≤n且dim ker(T-F)>n, 所以

dim ker(T+2F)=dim ker(T-2F)≤n.

又知2F是一秩算子且a(T)≤∞, 由文獻[12]中命題2.7可知,a(T+2F)<∞或a(T-2F)<∞. 因此0∈Nn(T+2F) 或0∈Nn(T-2F). 證畢.

下面給出算子T∈B(X)不是一秩算子的必要條件.

命題2設T∈B(X). 若dim ran(T)≥2, 則存在算子S∈B(X), 使得0∈Nn(S)∩Nn(S+T), 0?Nn(S-T)且0?Nn(S±2T).

證明: 由于dim ran(T)≥2, 則存在線性無關(guān)的向量x1,x2, 使得Tx1與Tx2線性無關(guān). 設

L1=∨{x1,x2},L2=∨{Tx1,Tx2},

則存在X的閉子空間K1和K2, 使得

X=L1⊕K1=L2⊕K2.

(1)

由于K1和K2同構(gòu), 故存在可逆的有界線性算子A:K2→K1. 在式(1)式的空間分解下, 算子T有如下表示:

其中S11x1=0,S11x2=-Tx2. 顯然dim ker(S)=1. 因此

其中(S11+T11)x1=Tx1, (S11+T11)x2=0. 所以S和S+T都是指標為零的Fredholm算子, 且

dim ker(S)=dim ker(S+T)=1,

計算可得

(S11-T11)x1=-Tx1, (S11-T11)x2=-2Tx2.

因此S-T是可逆算子, 同理S+2T和S-2T可逆.

綜上, 存在S使得0∈Nn(S)∩Nn(S+T), 0?Nn(S-T)且0?Nn(S±2T). 證畢.

推論1若T∈B(X)是非零算子, 則存在算子S∈B(X), 使得0∈Nn(S)且0?Nn(S+2T).

證明: 由命題2可知, 只需證明T是一秩算子的情形. 由于T是非零算子, 所以存在非零向量x0∈X, 使得Tx0≠0. 令

X=∨{x0}⊕M=∨{Tx0}⊕N,

(2)

其中M和N是X的閉子空間. 由于M和N同構(gòu), 因此存在有界可逆的線性算子A:N→M. 在式(2)的空間分解下,T表示為

對于算子T22A, 存在λ∈, 使得λI+T22A是可逆的, 因此λA-1+T22可逆. 算子S定義如下:

顯然0∈Nn(S), 且

其中2T11和λA-1+2T22可逆, 因此S+2T可逆, 0?Nn(S+2T). 證畢.

下面利用Nn(T)及其有限秩擾動給出B(X)中兩個算子相等的等價刻畫.

命題3設A,B∈B(X). 若對任意的有限秩算子F, 有Nn(A+F)=Nn(B+F), 則A=B.

證明: 對任意的非零向量x∈X, 令P={f∈X*:f(x)=1}. 固定復數(shù)α, 使得|α|>‖A‖+‖B‖. 令Ff=(A-αI)x?f, ?f∈P, 則Ffx=Ax-αx, 因此α∈σp(A-Ff)?σ(A-Ff). 又因為

|α|>‖A‖≥‖A‖e=‖A-Ff‖e,

其中‖A‖e是A的本質(zhì)范數(shù), 因此α∈σ0(A-Ff). 而dim ran(Ff)=1, 從而dim ker(A-αI-Ff)=1. 則α∈Nn(A-Ff), 所以α∈Nn(B-Ff). 由Nn(B-Ff)的定義可知,α∈σp(B-Ff), 所以存在非零向量yf, 使得(B-Ff)yf=αyf. 因此yf=f(yf)(B-αI)-1(A-αI)x. 令y=(B-αI)-1(A-αI)x, 可得(B-Ff)y=αy, ?f∈P.

斷言x和y線性相關(guān). 事實上, 若x和y線性無關(guān), 則存在f0∈P, 使得f0(y)=0. 所以Ff0(y)=0,By=αy, 這與|α|>‖A‖+‖B‖矛盾, 因此x和y線性相關(guān). 所以對任意非零向量x, 有

(B-Ff)x=αx=(A-Ff)x,

即A=B. 證畢.

定理1設n是任意正整數(shù),φ是B(X)上的可加滿射. 若?T∈B(X),Nn(φ(T))=Nn(T), 則存在有界可逆的線性或共軛線性算子A∈B(X), 使得?T∈B(X),φ(T)=ATA-1; 或?T∈B(X),φ(T)=AT*A-1. 在第二種情形下,X一定是自反空間.

證明: 1)φ是單射.

若φ不是單射, 則存在T≠0使得φ(T)=0. 由推論1, 可找到算子S∈B(X), 使得0∈Nn(S)且0?Nn(S+2T). 但

Nn(S+2T)=Nn(φ(S+2T))=Nn(φ(S))=Nn(S),

矛盾, 因此φ是單射.

2)φ雙邊保持一秩冪等元及其線性張.

首先說明φ雙邊保持一秩冪等元. 令T∈B(X)且dim ran(T)≥2. 由命題2, 存在算子S∈B(X), 使得0∈Nn(T), 0∈Nn(S+T), 且0?Nn(S-T), 0?Nn(S±2T). 則0∈Nn(φ(T)), 0∈Nn(φ(S)+φ(T)), 且0?Nn(φ(S)-φ(T)), 0?Nn(φ(S)±2φ(T)). 由命題1可得dim ran(T)≥2, 即φ保持一秩算子. 由于φ是雙射, 所以φ雙邊保持一秩算子.

設e?f是一秩冪等元, 則e?f-I是指標為零的Fredholm算子, 且1∈isoσ(e?f). 因此dim ker(e?f-I)≥1. 由于

ker(e?f-I)?ran(e?f)且dim ran(e?f)=1,

所以dim ker(e?f-I)=1. 從而1∈Nn(e?f), 1∈Nn(φ(e?f)), 即φ(e?f)是一秩冪等元. 綜上,φ雙邊保持一秩冪等算子.

由文獻[13]中定理3.3知, 存在復數(shù)域上的環(huán)自同構(gòu)τ及兩個τ-擬線性雙射A:X→X和B:X*→X*, 使得

φ(e?f)=Ae?Bf, ?e∈X,f∈X*；

或存在兩個τ-擬線性雙射A:X→X*和B:X*→X, 使得

φ(e?f)=Bf?Ae, ?e∈X,f∈X*.

因此

φ(λe?f)=τ(λ)Ae?Bf, ?e∈X,f∈X*；

或

綜上,φ雙邊保持一秩冪等元及其線性張. 由文獻[13]中主要定理可知, 存在有界可逆的線性或共軛線性算子A∈B(X), 使得對任意的有限秩算子F∈B(X), 下列兩種情形之一成立：

①φ(F)=AFA-1；

②φ(F)=AF*A-1, 此時X為自反空間.

3) 把2)的結(jié)論拓展到B(X)上.

假設φ滿足① , 令T∈B(X), 則對任意的有限秩算子F, 有

Nn(T+F)=Nn(φ(T)+φ(F))=Nn(φ(T)+AFA-1)=Nn(A-1φ(T)A+F).

由命題3可得T=A-1φ(T)A, 因此?T∈B(X),φ(T)=ATA-1. 若φ滿足②, 同理可得?T∈B(X),φ(T)=AT*A-1. 證畢.