辛 銀 萍

(蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息工程學(xué)院, 蘭州 730010)

變指數(shù)空間在流體動(dòng)力學(xué)和具有非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)條件的微分方程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 目前已取得了很多研究成果[1-10]: Diening[2]證明了分?jǐn)?shù)次積分算子在變指數(shù)Lebesgue空間的有界性； Lu等[3]引入了經(jīng)典的Herz-Morrey空間, 它既是Lebesgue空間的推廣, 也是Herz空間的延伸； Izuki通過引入變指數(shù)Herz-Morrey空間, 研究了向量值次線性算子的有界性[4], 并證明了分?jǐn)?shù)次積分在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性[5]； Izuki等[6]證明了分?jǐn)?shù)次積分在加權(quán)變指數(shù)Herz空間的有界性.

自Hardy[7]證明了Hardy積分不等式以來, 關(guān)于Hardy積分不等式和Hardy算子的研究受到廣泛關(guān)注, 并取得了豐富成果. 例如： 趙凱等[8]得到了非雙倍測(cè)度下分?jǐn)?shù)次極大算子交換子在Morrey-Herz空間上的有界性； 張璞等[9]給出了分?jǐn)?shù)次Hardy算子的交換子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性； 于云鳳等[10]得到了變指標(biāo)分?jǐn)?shù)次Hardy算子的高階交換子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的有界性. 受上述工作的啟發(fā), 本文主要研究變指標(biāo)分?jǐn)?shù)次Hardy算子與有界平均振蕩函數(shù)空間(BMO)函數(shù)生成的高階交換子在變指數(shù)Herz-Morrey空間上的加權(quán)有界性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)f是n上的局部可積函數(shù),β(x)是n上的可測(cè)函數(shù), 滿足0≤β(x)

定義2設(shè)b∈BMO(n)是n上的局部可積函數(shù),β(x)是n上的可測(cè)函數(shù),m∈, 變指標(biāo)的n維分?jǐn)?shù)次Hardy算子及其共軛算子與b生成的高階交換子分別定義為

定義3[1]設(shè)q(·):E→[1,∞)是可測(cè)函數(shù), 變指標(biāo)Lebesgue空間定義為

用P(n)表示n上滿足下列條件的所有可測(cè)函數(shù)p(·):n→[1,∞)構(gòu)成的集合：

文獻(xiàn)[4]中定義的權(quán)函數(shù)Ap(p∈(1,∞))可推廣到如下變指標(biāo)形式.

定義6[6]設(shè)q(·)∈P(n), 若成立, 則稱ω∈Aq(·).

定義7[6]設(shè)q(·)∈P(n), 且ω(x)是n上的非負(fù)局部可積函數(shù), 則加權(quán)的變指標(biāo)Lebesgue空間Lq(·)(ωq(·))是滿足fω∈Lq(·)(n)的全體復(fù)值可測(cè)函數(shù)的集合.

定義范數(shù)為‖f‖Lq(·)(ωq(·))=‖fω‖Lq(·), 則Lq(·)(ωq(·))為Banach空間.

定義8[6]令0<β

則稱ω∈A(q1(·),q2(·)).

下面給出加權(quán)變指標(biāo)Herz-Morrey空間的定義. 對(duì)于k∈, 令

Bk=B(0,2k)={x∈n: |x|≤2k},Ak=BkBk-1.

用χk=χAk表示Ak的特征函數(shù).

定義9設(shè)α∈, 0≤λ<∞, 0

其中

引理1[12]令q(·)∈P(n), 若n), 則q(·)∈B(n).

引理2[13]設(shè)q(·)∈P(n), 則q(·)∈B(n)當(dāng)且僅當(dāng)q′(·)∈B(n).

引理3[6]設(shè)M在對(duì)偶空間Lq′(·)(ω-q′(·))上有界, 則存在常數(shù)δ∈(0,1)和C>0, 使得對(duì)所有n中的球B和所有的可測(cè)子集S?B, 都有

引理4[1]設(shè)p(·)∈P(n), 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp′(·)(n), 則fg在n上可積, 并且

(1)

引理5[14]設(shè)1<β-≤β(x)≤β+<∞,x∈B(0,r)B(0,r/2), 若β(x)為在原點(diǎn)log-H?lder連續(xù)的, 則

C-1rβ(0)≤rβ(x)≤Crβ(0), 0

若β(x)在∞處是log-H?lder連續(xù)的, 則

C-1rβ∞≤rβ(x)≤Crβ∞,r≥1.

引理6[6]若m∈,i,j∈,j>i,b∈BMO(n), 則

命題1[6]若加權(quán)Banach空間X(n,g)上定義了范數(shù)‖f‖X(n,g)=‖fg‖X, 則其是一個(gè)Banach空間.

命題2[6]X(n,g)的對(duì)偶空間是Banach空間, 且等價(jià)于X′(n,g-1).

注1[6]設(shè)p(·)∈P(n), 比較X(n,g)的定義和加權(quán)Lebesgue空間Lp(·)(ωp(·))和Lp′(·)(ω-p′(·)), 可得如下結(jié)論：

1) 若取X=Lp(·)(n)和g=ω, 則有Lp(·)(n,ω)=Lp(·)(ωp(·));

2) 若取X=Lp′(·)(n)和g=ω-1, 則有Lp′(·)(n,ω-1)=Lp′(·)(ω-p′(·)).

由命題1和命題2及注1可知, 引理6對(duì)加權(quán)變指標(biāo)空間也適用:

引理7若m∈,i,j∈,j>i,b∈BMO(n),ωq(·)∈A1, 則

引理8[6]設(shè)0<β

引理9[6]設(shè)q(·)∈B(n), 則存在常數(shù)C>0, 使得對(duì)所有n中的球B, 有

引理10[6]設(shè)q1(·)∈P(n), 且滿足

本文中的C是一個(gè)絕對(duì)正常數(shù), 在不同之處可取不同值.

2 主要結(jié)果

令q2(·)∈P(n),ωq2(·)∈A1, 則由定義6得ωq2(·)∈Aq2(·). 因此, Hardy-Littlewood極大算子M在Lq2(·)(ωq2(·))上有界. 由Aq(·)的定義易得若ωq2(·)∈Aq2(·), 則因此M在上有界. 由引理3可知, 存在常數(shù)和C>0, 使得對(duì)所有n中的球B和所有的可測(cè)子集S?B, 都有

(2)

其中當(dāng)|x|≥1時(shí),β(*)=β∞, 否則β(*)=β(0).

首先估計(jì)I1, 由引理7和引理1, 得

由引理7得

由引理9及式(2)得

由分?jǐn)?shù)次積分算子的定義知

χBj(x)≤C2-jβ(*)Iβ(*)(χBj)(x),

顯然有

所以

證畢.

當(dāng)q1∈B(n)時(shí), 由引理3可取常數(shù)使得對(duì)所有n中的球B及所有的可測(cè)子集S?B, 都有

(3)

因此, 對(duì)Hardy算子的共軛算子有如下結(jié)論.

由引理9和式(3)可得

又可知

‖χBk‖Lq2(·)(ωq2(·))≤C2-kβ(*)‖χBk‖Lq1(·)(ωq1(·)),

因此