李 遠(yuǎn) 飛

(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 廣州 511300)

為建立以數(shù)學(xué)物理方法為基礎(chǔ)的數(shù)值天氣預(yù)報(bào), 文獻(xiàn)[1]引入了大氣原始方程組和海洋原始方程組, 其模型包括帶科氏力的流體力學(xué)方程組、 熱動(dòng)力學(xué)方程和狀態(tài)方程等. 由于該方程組較復(fù)雜, 因此人們對(duì)其進(jìn)行了簡(jiǎn)化. 例如： Lions等[2]通過(guò)引入黏性參數(shù), 重新建立了干大氣原始方程模型; 文獻(xiàn)[3-4]建立了海洋原始方程組; 文獻(xiàn)[5]引入了耦合大氣-海洋模型. 在利用大氣、 海洋原始方程組研究數(shù)值天氣預(yù)報(bào)時(shí), 首先需考慮這些方程組是否具有適定性[6-15]. 例如, Guo等[6-7]利用精細(xì)的能量估計(jì)得到了干大氣原始方程組光滑解的整體存在性以及濕大氣原始方程組的整體適定性[8].

目前, 關(guān)于原始方程組的穩(wěn)定性研究也得到關(guān)注： 文獻(xiàn)[16]考慮了柱形區(qū)域上帶振蕩隨機(jī)力的大尺度海洋三維原始方程組的連續(xù)依賴性, 證明了解對(duì)黏性系數(shù)的連續(xù)依賴性； 文獻(xiàn)[17]利用方程微分不等式技巧和能量估計(jì)的方法, 證明了大尺度海洋大氣動(dòng)力學(xué)三維黏性原始方程的解連續(xù)依賴于邊界參數(shù). 基于此, 本文在模型中考慮水汽比的影響, 這種類型的方程稱為濕大氣原始方程組. 本文討論這類方程組的解對(duì)黏性系數(shù)的連續(xù)依賴性, 通過(guò)解的先驗(yàn)估計(jì)和能量估計(jì)得到主要結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

本文約定：M表示平面區(qū)域2上的一個(gè)有界光滑區(qū)域；Ω=M×(0,1)表示3的一個(gè)帶狀區(qū)域；Γ0∶={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈M,x3=0};Γ1∶={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈M,x3=1};Γs∶={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈?M, 0≤x3≤1};n表示Γs上的外單位法向量；表示Γs上的外單位法向?qū)?shù)；表示對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù);此外, 本文還約定求導(dǎo)表示為

考慮定義在Ω×(0,∞)上的濕大氣原始方程組

其中:v=(v1,v2)表示水平速度場(chǎng);w表示垂直速度;T表示溫度;q表示空氣中的水汽比;Φ表示壓力;μ1和μ2分別表示水平方向和垂直方向的黏性系數(shù);κ1和κ2分別表示水平方向和垂直方向的熱擴(kuò)散系數(shù);ν1和ν2分別表示水平方向和垂直方向的水汽擴(kuò)散系數(shù);Q1和Q2是已知函數(shù), 分別表示熱源和水汽源. 方程組(1)-(5)在Ω的邊界上滿足:

其中A,B是大于零的常數(shù). 此外, 方程組(1)-(5)有下列初始條件:

v(x,0)=v0(x),T(x,0)=T0(x),q(x,0)=q0(x), 在Ω×{0}上,

(9)

其中v0(x),T0(x),q0(x)是非負(fù)的連續(xù)函數(shù).

由方程(3), 可得

(10)

又因?yàn)閣|Γ0=w|Γ1=0, 所以

(11)

同理, 對(duì)方程(2)從0到x3積分, 可得

(12)

其中Φ0=Φ(x1,x2,0,t). 將式(10),(12)代入方程組(1)-(5), 可得

且有下列初邊值條件:

2 先驗(yàn)界

引理3設(shè)(v,T,q)為系統(tǒng)(13)-(15)在邊界條件(6)～(9)下的解, 且v0,T0,Q1∈L2(Ω), 則

證明： 在方程(13)的兩邊乘以v, 并在Ω×(0,∞)上積分, 可得

在方程(14)的兩邊乘以T, 并在Ω×(0,∞)上積分, 可得

將式(23)和式(24)相加, 并注意到

可得

利用H?lder不等式, 可得

由式(25)可得

(26)

對(duì)式(26)積分, 可得

將上式代入式(25), 即可得結(jié)論.

qm=max{‖q0‖∞,‖h‖∞,‖Q2‖∞}.

證明： 在方程(15)兩邊乘以qs-1, 并在Ω上積分, 可得

利用散度定理、 H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式, 可得

(28)

(29)

把式(28),(29)代入式(27), 可得

再由Gronwall不等式, 可得

所以

令s→∞, 即可得結(jié)論.

引理5[21]設(shè)(v,T,q)為系統(tǒng)(13)-(15)在邊界條件(6)～(9)下的解, 且v0,T0,Q1,Q2∈L2(Ω), 則

其中ρ2(t)是關(guān)于時(shí)間t>0的連續(xù)函數(shù).

進(jìn)一步, 利用引理2、 引理3和引理5, 可得

(31)

(32)

3 主要結(jié)果

其中式(33)中忽略了零項(xiàng). 利用H?lder不等式、 引理3、 引理5、 式(30)和引理2, 可得

其中ε1和ε2是大于零的任意常數(shù). 利用散度定理、 H?lder不等式、 引理2和式(31), 可得

其中ε3和ε4是大于零的任意常數(shù). 同理, 有

(36)

(37)

其次, 記

(39)

于是

類似式(34)的推導(dǎo), 可得

其中ε5,ε6,ε7,ε8是大于零的任意常數(shù). 類似式(35), 可得

最后, 記

(44)

于是

應(yīng)用分部積分、 H?lder不等式、 引理3～引理5, 可得

將式(46)代入式(45), 可得

下面定義一個(gè)能量表達(dá)式：

結(jié)合式(38),(43),(47), 可得

其中:

在式(48)中取適當(dāng)?shù)摩?,ε6,ε7,ε9, 使得

舍棄非正項(xiàng), 可得

其中:

再利用Gronwall不等式, 可得

結(jié)合E(t)的定義, 可得: