王小亮

近幾年全國卷統(tǒng)計知識部分，主要基于現(xiàn)實(shí)世界中生產(chǎn)、生活等真實(shí)情景，結(jié)合圖表（頻率分布直方圖、折線圖、餅圖或頻數(shù)（率）分布表，2×2 列聯(lián)表等），考查同學(xué)們的數(shù)據(jù)分析能力.數(shù)據(jù)分析包括：快速收集、整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，最終利用數(shù)據(jù)給出正確合理的判斷.以下就通過高考題一起來看看吧。

一、平均值、方差

例1 （2019 年全國Ⅲ卷）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200 只小鼠隨機(jī)分成A，B 兩組，每組100 只，其中A 組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

甲離子殘留百分比直方圖

乙離子殘留百分比直方圖

記C 為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5．5”，根據(jù)直方圖得到P C( )的估計值為0．70．

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b 的值；

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

分析

（1） 文字 圖形 知識點(diǎn)條件 P C( )的估計值為0.70 [6.5,7.5)，[7.5,8.5]對應(yīng)小矩形的高頻組率 距 分別為0.20，0.15（乙圖）所有小矩形面積（即頻率）之和為1轉(zhuǎn)化 [5.5,8.5]的頻率和0.70 兩組頻率和(0.20 0.15) 1+ × (組距)=0.35結(jié)論a=0.70 0.35( )1組?距 =0.35，b= ? ? ? =1 0.70 0.15 0.05 0.10

（2） 文字 圖形 知識點(diǎn)條件 提供真實(shí)情境 提供組中值和對應(yīng)頻率相關(guān)信息 平均值公式轉(zhuǎn)化 數(shù)據(jù)的實(shí)際意義 根據(jù)圖甲、乙可求組中值和對應(yīng)頻率（略）結(jié)論 甲，乙平均值分別為4.05，6.00（解答過程略）n 1 x x p=∑i=i i

【歸納提升】

二、獨(dú)立性檢驗(yàn)

例2 （2017 年全國Ⅱ卷）海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如下：

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（1）記A 表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A 的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較．

二是利用現(xiàn)代化手段，建立信息化服務(wù)平臺。Z公司累計投入300余萬元，建立軍民融合資源信息服務(wù)系統(tǒng)。首先，構(gòu)建由技術(shù)資源、專家資源、科技項(xiàng)目、技術(shù)需求等信息共同組成的技術(shù)創(chuàng)新信息庫。信息庫內(nèi)共包含各類相關(guān)信息近七萬條。其次，建立信息集成發(fā)布平臺。將與智能制造、新材料相關(guān)的產(chǎn)業(yè)政策、研發(fā)成果、科技動態(tài)等信息在平臺上進(jìn)行匯集、整合、發(fā)布，使平臺上的信息既有深度又有廣度，充分發(fā)揮了該平臺的資源共享功能。

（2） 文字 圖形 知識點(diǎn)條件 各隨機(jī)抽取100 個網(wǎng)箱 新、舊養(yǎng)殖法各組分布特征 （1）小矩形面積（頻率）=高 頻率組距 ×底（組距）；轉(zhuǎn)化 樣本容量均為100 新、舊養(yǎng)殖法（<50，≥50）兩組頻率（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)χ2 公式參數(shù)與列聯(lián)表對應(yīng)關(guān)系；（3）由χ2 值查表.結(jié)論 χ2 = >15.705 6.635，有99%的把握認(rèn)為兩個變量有關(guān). （3） 文字 圖形 知識點(diǎn)條件 提供真實(shí)情境 提供各組分布特征 統(tǒng)計集中（分散）常用參數(shù)：（1）平均值：（2）中位數(shù)；（3）方差.轉(zhuǎn)化 數(shù)據(jù)的實(shí)際意義 數(shù)據(jù)分布的集中特征（平均數(shù)、中位數(shù)、方差）結(jié)論 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量（平均數(shù)或中位數(shù)）較高且（方差或標(biāo)準(zhǔn)差）穩(wěn)定.【結(jié)論由圖表估算】

【歸納提升】

獨(dú)立性檢驗(yàn)與計算平均值、方差比較：

（1）相同點(diǎn)：

① 篩選文字語言有效數(shù)據(jù)，理解相關(guān)數(shù)據(jù)實(shí)際含義；

② 主要抓住圖表提供數(shù)據(jù)信息；

（2）不同點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)計算量略顯復(fù)雜，特別是代數(shù)據(jù)找好與列聯(lián)表對應(yīng)關(guān)系.

三、成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性

例3 （2016 年全國Ⅲ卷）下圖是我國2008 年至2014 年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖

年份代碼t

（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y 與t 的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（2）建立y 關(guān)于t 的回歸方程（系數(shù)精確到0．01），預(yù)測2016 年我國生活垃圾無害化處理量．

分析

（1） 文字 圖形 知識點(diǎn)條件 提供真實(shí)情境 變量y 與t 變化關(guān)系 相關(guān)系數(shù)r 的實(shí)際意義轉(zhuǎn)化 數(shù)據(jù)的實(shí)際意義 變量t的取值，確定t=4結(jié)論 結(jié)合參考數(shù)據(jù)及公式r ≈0.99，變量y 與t 線性相關(guān)性強(qiáng)（2） 文字 圖形 知識點(diǎn)條件 同（1） 同（1） 線性回歸方程的求解及應(yīng)用轉(zhuǎn)化 同（1） 同（1）結(jié)論 結(jié)合參考數(shù)據(jù)及公式?y t= +0.92 0.10 ，并據(jù)此估算2016年生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸.

【歸納提升】

成對數(shù)據(jù)相關(guān)性與獨(dú)立性檢驗(yàn)相比而言，雖都是套公式，但前者計算量更大，注意用好所給相關(guān)數(shù)據(jù)、公式外，建議把公式分成若干部分，分步計算.

高考中統(tǒng)計的考查更多的是和概率結(jié)合問題，而且難點(diǎn)出現(xiàn)在概率問題中.因此對概率問題的深度研究是解決高考中概率與統(tǒng)計問題的保障！

敲黑板

應(yīng)對統(tǒng)計相關(guān)試題，同學(xué)們需要做到：

（1）抓住圖表中主要數(shù)據(jù)；

（2）快速認(rèn)清真實(shí)情景，篩選有效數(shù)據(jù)（特別是文字量大的問題）；

（3）準(zhǔn)確快速運(yùn)算；

（4）解答過程的規(guī)范書寫．