陳博

[摘 要] 該文研究用數(shù)學(xué)建模思想使高等數(shù)學(xué)教學(xué)回歸實(shí)際問題的教學(xué)方法，闡述這種方法的意義，并探討其實(shí)現(xiàn)手段。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;高等數(shù)學(xué);教學(xué)研究;實(shí)例

[基金項(xiàng)目] 該文章由中國民航大學(xué)科研啟動(dòng)基金（2017QD04S）資助

[作者簡介] 陳 博（1990—），男，數(shù)學(xué)博士，中國民航大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事偏微分方程反問題的數(shù)值解法研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）23-0287-02? ? [收稿日期] 2019-11-13

一、數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和運(yùn)用

數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出的一門學(xué)科，其抽象的特點(diǎn)在于：只保留了現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，舍棄其他一切，并且隨著數(shù)學(xué)理論體系的建立和發(fā)展，其抽象性也一級一級逐步提高[1]。到了高等數(shù)學(xué)的部分，其內(nèi)容的抽象程度已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)?shù)母叨?，而高度的抽象性也成為了學(xué)生認(rèn)知的一大障礙。在同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等數(shù)學(xué)》教材[2]中，也盡量從容易認(rèn)知的幾何圖形或者高中物理的知識(shí)引入，但和實(shí)際生活的聯(lián)系較弱，這就需要講授者運(yùn)用更直觀的例子去引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知和興趣。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中眾多問題密切相關(guān)，很多看似平常的生活細(xì)節(jié)，經(jīng)過抽象之后都可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)問題，這種抽象的過程就是數(shù)學(xué)建模。通過數(shù)學(xué)建模的思想，把實(shí)際問題和高等數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合，不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去看待世界，正如李大潛所提到的：“應(yīng)該結(jié)合教學(xué)過程，使學(xué)生了解到他們現(xiàn)在所學(xué)的那些看來枯燥無味但又似乎是天經(jīng)地義的概念、定理和公式，并不是無本之木、無源之水，并不是從天上掉下來的，也不是人們頭腦中所固有的，而是有其現(xiàn)實(shí)的來源與背景，有其物理原型或表現(xiàn)的?！盵3]

在具體的教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)從多個(gè)方面結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想。首先，是數(shù)學(xué)概念的講解。高等數(shù)學(xué)中的概念有完整的理論體系，在其體系內(nèi)部關(guān)系緊密，但似乎和現(xiàn)實(shí)生活缺少聯(lián)系，抽象程度也高。在講解嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義之余，若能給出直觀的解釋或?qū)?yīng)實(shí)例，將會(huì)對學(xué)生的理解產(chǎn)生幫助促進(jìn)作用。其次，是定理、公式的論述。一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，不是生硬的知識(shí)點(diǎn)，而是有其數(shù)學(xué)智慧包含在其中，給出對應(yīng)的實(shí)際問題也很有意義。最后，是應(yīng)用分析。高等數(shù)學(xué)教材中也多次提到知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，但更多關(guān)注的是在相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用，其抽象性依然很強(qiáng)，事實(shí)上，很多簡單的生活事實(shí)中也包含高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，更具體的案例能更好地體現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用性。

綜上，將數(shù)學(xué)建模的思想應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，有著非常積極的作用，對于實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、鍛煉學(xué)生思維能力都有益處。在高等數(shù)學(xué)各個(gè)方面內(nèi)容的教學(xué)中，都可以適當(dāng)加入數(shù)學(xué)建模的實(shí)例，我們將通過幾個(gè)具體的例子，闡述如何將數(shù)學(xué)建模實(shí)例與高等數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合。

二、數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用舉例

我們結(jié)合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，引用同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等數(shù)學(xué)》教材[2]中的幾點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，給出相關(guān)的生活實(shí)例，并做具體的論述。

（一）重要極限與利滾利

在第一章第六節(jié)中，教材給出了一個(gè)重要極限

這樣的一個(gè)極限，可以借助利滾利的借貸方式進(jìn)行認(rèn)知?？紤]借貸1萬元，年利率為1，以利滾利的方式，分別按年利、季利、月利和日利進(jìn)行計(jì)算，一年之后還貸金額分別為多少？

（二）零點(diǎn)定理與椅子放穩(wěn)問題

在第一章第十節(jié)中，教材給出了零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）·f（b）<0，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使f（ξ）=0。關(guān)于這個(gè)定理的說明，我們引用姜啟源給出了一個(gè)很有趣的例子：椅子放穩(wěn)問題[4]。在連續(xù)但不平的地面上，有一把四只椅腳足夠細(xì)并且一樣長的正方形椅子，問能否通過挪動(dòng)椅子把椅子放穩(wěn)？

這個(gè)問題看似和數(shù)學(xué)毫無關(guān)系，但在必要的模型假設(shè)下，我們卻可以用零點(diǎn)定理給出此問題的解答。以椅子水平放置時(shí)的中心點(diǎn)為圓心，過四只椅腳作圓，選取一個(gè)半徑作為參考半徑（θ=0），在圓周上角度為θ的一點(diǎn)對應(yīng)地面高度定義為h（θ）。選定椅子的某個(gè)椅腳，以該椅腳所在點(diǎn)的角度θ為椅子放置的角度，考慮椅子放置時(shí)四個(gè)椅腳所處的高度不一定相同，椅子放穩(wěn)的條件是：對互為對角的椅腳所在的地面高度進(jìn)行求和，當(dāng)兩組對角的高度和值相等時(shí)，椅子就放穩(wěn)了。用數(shù)學(xué)公式描述，即

（三）指數(shù)函數(shù)的增速與棋盤上的麥子

在第三章第二節(jié)中，教材在分析了極限

之后提到，當(dāng)x→+∞時(shí)，指數(shù)函數(shù)增大的“速度”比冪函數(shù)快的多。關(guān)于指數(shù)增長速度的直觀認(rèn)知，可以借助“棋盤上的麥子”這一故事給予說明。

舍罕王獎(jiǎng)勵(lì)發(fā)明國際象棋的達(dá)依爾，允許他提出一個(gè)要求。達(dá)依爾說，請?jiān)诘?個(gè)棋盤格放1粒麥子，在第2個(gè)棋盤格放2粒麥子，在第3個(gè)棋盤格放4粒麥三、總結(jié)

數(shù)學(xué)建模實(shí)例的運(yùn)用，能夠很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并引導(dǎo)學(xué)生去思考現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)含義。當(dāng)然，數(shù)學(xué)的邏輯思維之美自有其動(dòng)人之處，不用過分強(qiáng)調(diào)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的現(xiàn)實(shí)對應(yīng)，但在學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的道路上，一些具體的建模案例可以作為點(diǎn)綴，使數(shù)學(xué)的美有更多的層次，由淺入深，引人入勝。

參考文獻(xiàn)

[1]張順燕.數(shù)學(xué)的源與流[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)教學(xué)，2006，（1）：9-11.

[4]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，1993.

Teaching Research of Advanced Mathematics Combined with Examples in Mathematical Modeling

CHEN Bo

（College of Science，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China）

Abstract：This paper is concerned with the method of mathematical modeling with the purpose to combine Advanced Mathematics with practical examples.The importance of this teaching method is expounded，and the implementation of the method is analyzed.

Key words：mathematical modeling;Advanced Mathematics;teaching research;practical example