李忠相 欒 麗

(重慶市第一中學(xué)校，重慶 400030)

圖1 黃山日出照(局部)

有朋友發(fā)了一些在黃山拍的日出照片，局部放大后如圖1所示.很容易發(fā)現(xiàn)，太陽看起來“不太圓”.這應(yīng)該和大氣的折射有關(guān)，于是嘗試從幾何光學(xué)的角度計(jì)算一下日出時(shí)太陽的視覺形狀.

1 初步計(jì)算

日出時(shí)，太陽光線經(jīng)過大氣層的折射后到達(dá)地表附近.地表附近大氣折射率約為1.0003，隨著距地面高度增加，折射率逐漸減小趨近于真空折射率n0= 1.太陽光線在大氣層中的傳播路徑為一條曲線，形狀大致如圖2所示.

圖2 大氣層使光線偏折

由于大氣層的折射率受多種因素影響，人們提出過多種數(shù)據(jù)模型.[1]本文采用最簡(jiǎn)單的近似，即將厚度為h=10 km，集中了大氣層75%質(zhì)量的對(duì)流層作為各項(xiàng)同性的均勻介質(zhì)，折射率取n=1.0003，對(duì)流層以上的大氣忽略不計(jì)，視為真空.按這種模型大氣對(duì)光線的偏折如圖3所示.

圖3 等效大氣層使光線偏折

太陽光線入射角為i，折射角為r，由折射定律有

n0sini=nsinr.

(1)

日出時(shí)，太陽仰角記為0，即認(rèn)為折射光線平行于觀察點(diǎn)的水平面，由幾何關(guān)系有

(2)

代入地球半徑為R=6370 km以及前述相關(guān)物理量，可得

sinr=0.9984326，sini=0.9987321.

(3)

圖4 太陽視角高度的變化

太陽的視覺形狀由其對(duì)觀察者的視角決定.設(shè)太陽對(duì)地球上的觀察者視角寬度為Δθ，由于大氣的折射，水平視角寬度不變，[2]仍為Δθ；豎直視角寬度變?yōu)棣う取?由圖4的幾何關(guān)系，容易得到

i+Δθ=i+Δi，r+Δθ′=r+Δr.

(4)

即

Δθ=Δi，Δθ′=Δr.

(5)

由于Δθ、Δθ′、Δi、Δr都極小，對(duì)(1)式微元，即可得

n0cosiΔi=ncosrΔr.

(6)

代入數(shù)據(jù)，有

(7)

可見，仰角為0度時(shí)，太陽的視覺形狀是將一個(gè)圓的高度壓縮至原來的0.8992倍，而寬度不變.由幾何知識(shí)可知，縱向等比例壓縮后的圖形為橢圓.半短軸b和半長(zhǎng)軸a之比為

(8)

離心率e為

(9)

保留兩位有效數(shù)字，記e=0.44.

2 結(jié)果驗(yàn)證

如果按理論計(jì)算結(jié)果，作一系列e=0.44的不同大小的橢圓，與該照片對(duì)比如圖5，二者符合得很好.

圖5 黃山日出照與計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

圖6 黃山日出照尺寸

測(cè)量黃出日出照片中太陽的形狀，數(shù)據(jù)為

b=3.44，a=3.69.

(10)

(11)

可見，在離心率這個(gè)指標(biāo)上相對(duì)誤差約為17%.這個(gè)系統(tǒng)誤差應(yīng)該是由照片拍攝時(shí)太陽的仰角并不為0度導(dǎo)致的.

3 仰角的影響

實(shí)際觀測(cè)時(shí)，仰角通常大于0度.若觀測(cè)時(shí)有一仰角α，折射角r由正弦定理確定，即

(12)

其余物理量的計(jì)算同前文，代入不同的數(shù)據(jù)(結(jié)果見表1)發(fā)現(xiàn)，隨著仰角的增大，太陽視覺形狀的離心率越小，看起來越圓.

表1 不同仰角時(shí)太陽形狀的計(jì)算和驗(yàn)證

4 仰角的驗(yàn)證

由于黃山日出照拍攝者沒有記錄當(dāng)時(shí)的仰角信息，我們重新拍攝和記錄了一組照片.用激光測(cè)量?jī)x可以比較精確地測(cè)量太陽的仰角，在重慶鴻恩寺公園可以記錄的最小整數(shù)仰角為1°.如圖7，拍攝的原始照片經(jīng)局部放大、調(diào)高對(duì)比度、添加測(cè)量線后測(cè)得其數(shù)據(jù)為

b=8.62，a=9.47.

(13)

(14)

圖7

和仰角1°時(shí)的理論值0.4178的相對(duì)誤差為0.9%，符合得非常好.用同樣的方法，處理其他仰角時(shí)的照片，測(cè)量結(jié)果見表1中后3列.仰角大于10°時(shí)，照片上太陽已經(jīng)非常接近圓，數(shù)據(jù)采集和測(cè)量的誤差較大，沒有錄入表格中.

可見，按前文的計(jì)算和對(duì)比，文中所使用的最簡(jiǎn)化的模型能滿足粗略估計(jì)的需要，能用于解釋低仰角時(shí)太陽視覺形狀為橢圓的原因.如果要得到更加精確的計(jì)算結(jié)果，可能還需要結(jié)合一些實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(包括但不限于大氣壓強(qiáng)分布、溫度分布、濕度分布)作更準(zhǔn)確的計(jì)算.

同時(shí)，本文分析時(shí)，太陽的仰角取太陽中心點(diǎn)的仰角.事實(shí)上太陽的視角寬度大約為0.5°，由于高寬壓縮比和仰角有關(guān)，太陽下方壓縮比更大，這就不是嚴(yán)格的橢圓了.在本文分析時(shí)略去了這個(gè)小的細(xì)節(jié).

5 教學(xué)價(jià)值

在高考范圍內(nèi)，可以作定性分析或者給出模型要點(diǎn)做定量計(jì)算.在物理競(jìng)賽范圍內(nèi)，可以和氣體分布的知識(shí)結(jié)合，自建模型進(jìn)行定量計(jì)算.在STEAM教育或課外興趣活動(dòng)中，可以作為探索題目進(jìn)行實(shí)際觀測(cè)和理論計(jì)算的對(duì)比研究.