王國剛 戴 路 徐 開 劉克平 李 峰，范林東

1.長光衛(wèi)星技術(shù)有限公司，長春130000 2.長春工業(yè)大學，長春130000

0 引言

由于商業(yè)小衛(wèi)星公司迅速崛起，商業(yè)衛(wèi)星迅速發(fā)展?？焖僭龆嗟牡蛙壭l(wèi)星數(shù)量，增大了衛(wèi)星間的碰撞風險系數(shù)。碰撞規(guī)避是防止低軌小衛(wèi)星碰撞的有效手段和方法[1-4]。由于測控站的數(shù)量有限，如果幾顆衛(wèi)星同時存在碰撞可能，那么僅通過地面同時對多顆衛(wèi)星規(guī)避控制的壓力是極大的。

目前，衛(wèi)星間的碰撞是必須考慮的重要問題[5-6]，文獻[7]針對航天器與空間目標距離較近的碰撞問題進行了研究，依靠星上測量設(shè)備，設(shè)計了近距離自主規(guī)避策略，但是未考慮測量設(shè)備的測量誤差。近距離規(guī)避碰撞，仍會存在碰撞的風險。文獻[8]根據(jù)衛(wèi)星編隊的特點及碰撞規(guī)避的需要, 使用協(xié)同進化粒子群優(yōu)化算法對重構(gòu)問題采用既獨立又集中的求解方式,完成了編隊重構(gòu)，但是計算時間相對較慢。文獻[9]提出一種基于特征點的快速解析碰撞預(yù)警方法，降低了對絕對測量信息的依賴，通過割線法和高斯方程求解燃料最省的碰撞規(guī)避，但是求的解均是近似解，會存在一定偏差。文獻[10]將碰撞概率密度函數(shù)在危險區(qū)域積分，獲得編隊衛(wèi)星的碰撞概率，當碰撞概率大于安全閾值時，向衛(wèi)星施加最小脈沖速度修正量，降低了碰撞概率，但是碰撞規(guī)避機動后未保持星座構(gòu)型。文獻[11] 根據(jù)撤離后飛船、天宮以及伴星的相對運動關(guān)系研究了結(jié)合規(guī)避控制的飛船雙脈沖維持優(yōu)化控制方案。文獻[12]提出了一種求解交會對接過程中最優(yōu)碰撞規(guī)避機動方法，在保證碰撞概率降低到安全值的前提下，得到最優(yōu)的碰撞機動沖量，采用機動方向和機動大小分布求解的策略計算沖量，適用于相距幾十公里以內(nèi)的碰撞規(guī)避，而不適用于近距離的碰撞規(guī)避。文獻[13]針對航天器燃料最優(yōu)編隊初始化、重構(gòu)等機動展開研究，提出了一種燃料最優(yōu)的解析控制方法，該方法形式簡單，計算量小，但燃料消耗量最優(yōu)解取決于初始狀態(tài)誤差。

本文考慮了星座構(gòu)形約束、測控資源約束和載荷約束，設(shè)計了衛(wèi)星間近距離碰撞的規(guī)避控制策略，該策略不完全依靠測量設(shè)備，且不需要初始狀態(tài)誤差，采用最優(yōu)控制理論，實現(xiàn)能量最優(yōu)化碰撞規(guī)避控制。

1 問題描述

1.1 控制策略

兩顆衛(wèi)星d和g正常在軌飛行，當t時刻，衛(wèi)星d與衛(wèi)星g相交于空間某一點時兩顆衛(wèi)星發(fā)生碰撞，衛(wèi)星d相對于衛(wèi)星g的位置矢量為

ρ=r1-r2

(1)

式中：r1為衛(wèi)星d的地心矢徑，單位為km，r2為衛(wèi)星g的地心矢徑，單位為km，見圖1。

圖1 衛(wèi)星間碰撞示意圖

當航天器的相對位置矢量ρ的模ρ小于目標軌道半徑時，滿足航天器相對運動方程[14]，表示為：

(2)

1.2 坐標變換

以上的運動方程及初始狀態(tài)和目標狀態(tài)條件均是在衛(wèi)星質(zhì)心坐標系下給出的，因此需要將衛(wèi)星質(zhì)心坐標系轉(zhuǎn)換到軌道坐標系，再轉(zhuǎn)到地球慣性坐標系進行控制。

從圖1可看出，衛(wèi)星g在質(zhì)心坐標系下繞Yd軸轉(zhuǎn)-φ，再繞Zd軸轉(zhuǎn)ζ，則衛(wèi)星質(zhì)心坐標系到軌道坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣TD為：

(3)

式中：RZ(ζ)表示繞Zd軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，RY(-φ)表示繞Yd軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。

軌道坐標系轉(zhuǎn)到地球慣性坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣TT為：

(4)

1.3 約束建模

1.3.1 載荷約束

遙感小衛(wèi)星的載荷與高度密切相關(guān)，當軌道高度越高，載荷的分辨率將會下降，不滿足用戶需求；當軌道高度越低，衛(wèi)星的軌道衰減越快，使用壽命大大減少。

假設(shè)成像載荷設(shè)計的分辨率為fl，分辨率允許偏差值為fp，可運行在軌道高度為H，則衛(wèi)星軌道允許的高度為

(5)

軌道高度偏差就是載荷對軌道高度的約束，軌道半長軸滿足

H+ae≤Hp+ae

(6)

式中：ae為地球半徑，ae=6378.137km。

1.3.2 測控資源約束

首先確定可利用的測控站，盡量選擇在測控弧段內(nèi)進行軌道規(guī)避調(diào)整，當可以預(yù)測到碰撞位置和時刻后，選擇可利用的測控站進行控制指令發(fā)送，執(zhí)行規(guī)避控制。

(7)

碰撞時刻為t，則控制約束為

t-T>TL

(8)

式中：TL為規(guī)避控制提前時間，TL>6h，當最接近TL的測控站資源被占用，調(diào)用次接近TL的測控站資源，依次遞推，得出適合的測控站資源，當判斷出衛(wèi)星間要發(fā)生碰撞時，提前T的時間進行碰撞規(guī)避控制。

1.3.3 星座構(gòu)形約束

對于商業(yè)遙感星座，重訪和覆蓋是客戶最為關(guān)心的能力，相位分布情況直接影響重訪能力，因此，相位分布的保持尤為重要，若同一個軌道面上的衛(wèi)星高度相差較大，幾天時間就會超出允許相位差，因此控后盡量回到原來的高度或百米級的高度差。

假設(shè)速度增量為u，衛(wèi)星角速度為n，則半長軸變化量Δa為

(9)

衛(wèi)星軌道周期為T，軌道控制后周期為Th，則每天的相位漂移速度為

(10)

(11)

2 碰撞規(guī)避控制設(shè)計

2.1 控制策略

對于碰撞規(guī)避，通過改變相對半長軸控制量來實現(xiàn)星間的安全飛行。假設(shè)兩顆衛(wèi)星，一顆為在軌正常運行的目標衛(wèi)星，另一顆規(guī)避衛(wèi)星不斷靠近目標衛(wèi)星，采用主動控制策略，假設(shè)規(guī)避衛(wèi)星從A點到B點的軌跡路徑上的任意一點到目標衛(wèi)星的距離為r(t)，目標衛(wèi)星的安全球半徑為rs，則定義規(guī)避衛(wèi)星在軌跡路徑上與安全球的距離為

Δr(t)=r(t)-rs

(12)

式中：為規(guī)避衛(wèi)星在軌跡路徑上與安全球的距離，單位為m；將安全球半徑為rs的最小值Δr(t)min作為判斷是否發(fā)生碰撞的準則，判斷準則如下：

(13)

式中：rs=rs1+rΔ，rΔ為預(yù)留距離，單位為m；rs1表示規(guī)定的安全距離，單位為m。

當Δr(t)min>0時，規(guī)避衛(wèi)星與目標衛(wèi)星不會發(fā)生碰撞；當Δr(t)min=0時，規(guī)避衛(wèi)星與目標衛(wèi)星存在碰撞的風險；當Δr(t)min<0時，規(guī)避衛(wèi)星與目標衛(wèi)星會發(fā)生碰撞。

2.2 最優(yōu)規(guī)避控制設(shè)計

(14)

(15)

式中：A為系數(shù)矩陣，B為常數(shù)矩陣，表達式為

控制終端狀態(tài)為

X(tf)=Xtf

(16)

式中：X(tf)表示tf時狀態(tài)，Xtf表示狀態(tài)值，tf表示時間，給定時間tf，選取能量優(yōu)化指標J為

(17)

根據(jù)極小值原理，選取哈密頓函數(shù)H為：

(18)

式中：λ1，λ2，λ3，λ4，λ5和λ6均為協(xié)調(diào)因子，vx，vy和vz分別表示Xd軸，Yd軸和Zd軸的相對速度，n為目標軌道平均角速度，[ux,uy,uz]T為速度增量，單位為m/s，則協(xié)態(tài)方程為：

(19)

可求解得

(20)

式中：μi(i=1,2,…,6)表示待定常數(shù)，t表示時間，nt表示t時間內(nèi)轉(zhuǎn)動的角度。

根據(jù)極小值原理，最優(yōu)控制應(yīng)使哈密頓函數(shù)H達到極小，即

(21)

將式(20)～(21)帶入式(2)中，可得

(22)

規(guī)避衛(wèi)星的初始條件和終端條件如下

(23)

式中：X(0)表示0時刻的狀態(tài)，X(tf)表示tf時狀態(tài)，x0，y0和z0分別表示Xd軸、Yd軸和Zd軸的初始位置，vx0，vy0和vz0分別表示Xd軸、Yd軸和Zd軸的初始速度，xtf，ytf和ztf分別表示Xd軸、Yd軸和Zd軸的終端位置，vxtf，vytf和vztf分別表示Xd軸、Yd軸和Zd軸的終端速度。

由于Zd軸的運動是獨立的，因此將式(23)帶入式(22)中，可得

(24)

式中：S為sin(nt)縮寫，C表示cos(nt)縮寫，tf表示終端時間。

由于Xd軸和Yd軸存在耦合，通過解微分方程，利用初始條件和終端條件求得一次代數(shù)方程組為：

(25)

S=sin(ntf)，C=cos(ntf)。

通過式(25)可求得μ1，μ2，μ3和μ4，則衛(wèi)星最優(yōu)速度增量為

(26)

通過衛(wèi)星最優(yōu)速度增量和方向，衛(wèi)星以最優(yōu)條件下的運動軌跡進行碰撞規(guī)避。

3 算例分析

3.1 仿真輸入

1)選擇二體遞推模型進行遞推；

2)軌道初始值和控制策略參數(shù)見表1和表2；

表1 衛(wèi)星初始軌道參數(shù)

表2 控制策略參數(shù)

3)最小安全距離設(shè)置為300m，小于300m時即發(fā)出預(yù)警，并進行碰撞規(guī)避。

根據(jù)有效載荷，星座構(gòu)形約束、測控資源約束等數(shù)學模型，可知:

當有效載荷分辨率為1m，其軌道高度為500km，允許分辨率上限為1.002m，則允許調(diào)整的軌道高度不高于501km；

當規(guī)避星軌道有2顆衛(wèi)星，以180°等相位分布，允許相位偏置7°，當調(diào)整50m時，相位差飄出0.059(°)/d，則118d飄出應(yīng)用需求允許范圍，因此允許調(diào)整的軌道高度范圍為±50m以內(nèi)；

可用的測控站為長春站、三亞站和喀什站，啟控時刻盡量選擇在可利用的較近的測控弧段內(nèi)。

3.2 數(shù)值仿真

采用Matlab進行數(shù)值仿真，仿真時間12h，設(shè)置目標星安全距離為300m，兩顆衛(wèi)星2019.2.20 03:59:45開始發(fā)生碰撞，采用2種控制方法進行碰撞規(guī)避，通過常規(guī)PD控制策略與最優(yōu)控制策略的消耗和能量進行對比，證明最優(yōu)控制策略的優(yōu)勢，燃料最優(yōu)規(guī)避控制策略仿真和常規(guī)PD控制規(guī)避控制策略仿真見圖2～3。

將質(zhì)心系下的位置和速度通過坐標轉(zhuǎn)換到慣性系下，慣性系下的衛(wèi)星軌道見圖5。

當兩顆衛(wèi)星距離小于300m時，衛(wèi)星將要碰撞，提前6小時在測控弧段內(nèi)開始進行軌道碰撞控制，從圖6～7可知，軌道半長軸控制量最大不超過28.3m，滿足星座構(gòu)形約束和有效載荷約束，兩顆衛(wèi)星碰撞規(guī)避見圖8。

圖2 燃料最優(yōu)控制

圖3 常規(guī)PD控制

圖4 常規(guī)PD控制和最優(yōu)控制和能量

圖5 慣性系下衛(wèi)星軌道

圖6 規(guī)避星控前控后軌道半長軸

圖7 軌道半長軸控制量

圖8 碰撞規(guī)避圖

從圖8可知，當2018.7.11 03:59:45時，兩顆衛(wèi)星的距離小于300m，碰撞規(guī)避控制后的兩顆衛(wèi)星最小距離為8000m，以最優(yōu)燃料控制規(guī)避了兩星碰撞。

仿真效果可知，滿足各類約束的情況下，采用設(shè)計的自主碰撞規(guī)避算法很好地實現(xiàn)了衛(wèi)星的自主碰撞規(guī)避，證明了最優(yōu)碰撞規(guī)避算法的有效可行。

4 結(jié)論

設(shè)計了一種多約束下的能量最優(yōu)的主動碰撞規(guī)避控制，建立了小衛(wèi)星的運動學模型和約束模型，在此基礎(chǔ)上制定了碰撞規(guī)避策略，通過小衛(wèi)星能量最優(yōu)化指標和哈密頓函數(shù)，給出最優(yōu)條件下的速度增量和方向，實現(xiàn)了衛(wèi)星間碰撞規(guī)避。