白舒伊, 周 濤, 彭莎麗, 甘凌方, 詹小秦

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院, 江西 南昌 330013)

一個(gè)t-(v,k,λ)設(shè)計(jì)D定義為符合下列條件的有限關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu) (P,E):

①P是v個(gè)點(diǎn)的有限集,P中的元素稱為點(diǎn);

②E是P的k-子集構(gòu)成的集合，E中的元素稱為區(qū)組;

③P中任意給定的t-子集都恰好包含在λ個(gè)區(qū)組中,其中λ≥1。

(1)

設(shè)計(jì)中的旗為一個(gè)點(diǎn)區(qū)組對(duì)(α,B), 其中α∈B。設(shè)g是P上的置換, 若B∈E當(dāng)且僅當(dāng)Bg∈E, 則稱g為D的一個(gè)自同構(gòu)。D的所有自同構(gòu)關(guān)于映射的乘法構(gòu)成一個(gè)群，記作Aut(D)，并稱其子群為D的一個(gè)自同構(gòu)群。若D的一個(gè)自同構(gòu)群G在E上傳遞, 則稱G或D是區(qū)組傳遞的。點(diǎn)傳遞和旗傳遞都可類似地定義。關(guān)于2-設(shè)計(jì)更詳細(xì)的理論, 可以參看文獻(xiàn)[1-4]，有關(guān)置換群論的理論和符號(hào)可參看文獻(xiàn)[5-7]。

設(shè)D=(P,E)是一個(gè)具有自同構(gòu)群G的t-(v,k,λ)設(shè)計(jì)。1967年，Block[8]證明了如果G是區(qū)組傳遞的, 那么G也是點(diǎn)傳遞的,也就是說(shuō)G是對(duì)稱群Sν的一個(gè)傳遞子群。Cameron和Praeger[9]證明了當(dāng)t≥4時(shí)G是2-齊次作用在點(diǎn)集P上。因此,在非點(diǎn)本原的情況下,只需要考慮區(qū)組傳遞2-設(shè)計(jì)和3-設(shè)計(jì)。假設(shè)D是區(qū)組傳遞2-設(shè)計(jì), 文獻(xiàn)[10]中的命題1.1表明: 對(duì)于Sv中任意包含G的群H,設(shè)E*為H作用在區(qū)組上的軌道，則集合D*=(P,E*)是2-(v,k,λ*)設(shè)計(jì)，其中λ*≥λ。顯然D*也是區(qū)組傳遞的, 且以H為自同構(gòu)群。在非點(diǎn)本原的情況下, 非本原群ScwrSd是Sν的一個(gè)極大子群, 其中v=cd。因此, 如果存在一個(gè)區(qū)組傳遞且非點(diǎn)本原的2-(v,k,λ)設(shè)計(jì),則一定存在一個(gè)以ScwrSd為自同構(gòu)群的2-(v,k,λ*)設(shè)計(jì)。

本文研究非本原群ScwrSd區(qū)組傳遞作用在2-(v,k,λ)設(shè)計(jì)上(v=cd，30

1 相關(guān)引理

由文獻(xiàn)[10]中命題2.2可知以下引理成立。

引理1設(shè)D=D(c,d,x),v=cd,b1=k，則D是2-設(shè)計(jì)當(dāng)且僅當(dāng)

Delandtsheer和Doyen[11]證明了如果k是固定的且不允許有重復(fù)區(qū)組,則只有有限多對(duì)(D,G),其中G是區(qū)組傳遞且非點(diǎn)本原群。

引理4[4]設(shè)G是非平凡2-(v,k,λ)設(shè)計(jì)D=(P,E)的自同構(gòu)群,則G在D上是旗傳遞當(dāng)且僅當(dāng)G是區(qū)組傳遞，且對(duì)任一區(qū)組B,群GB在B的點(diǎn)集上是傳遞的。

2 主要結(jié)果

本文余下部分設(shè)D為2-(v,k,λ)設(shè)計(jì)，其中v=cd,G=ScwrSd在D上區(qū)組傳遞。

2.1 參數(shù)判定

由引理3可知,下面可以假定2k≤v。文獻(xiàn)[13]中已經(jīng)完全分類了v≤30的情況，因此，本文只考慮30

命題1(v,k)∈{(34,12) (35,17) (36,7) (36,8) (36,14) (36,15) (39,19) (40,13) (40,14) (45,11) (45,12) (45,22) (46,10) (49,16) (49,17)}。

2.2 設(shè)計(jì)的構(gòu)造

本部分給出滿足命題1參數(shù)對(duì)(v,k)的2-設(shè)計(jì)的構(gòu)造。

定理1所有滿足條件的(D,G)都在表1中。

表1 滿足2k≤v的所有(D,G)

續(xù)表vkb2bλxG36151847 029 2487 838 208(3,2,2,2,2,2,2,0,0)S4wrS93615181 114 767 360185 794 560(3,3,2,2,2,1,1,1,0)S4wrS93615189 437 1841 572 864(3,3,1,1,1,1,1,1,1)S4wrS9361518111 476 73618 579 456(4,2,2,2,1,1,1,1,1)S4wrS9361548576 108 28896 018 048(5,5,3,2)S9wrS4361548199 148 54433 191 424(6,3,3,3)S9wrS436153019 200 0003 200 000(3,3,3,3,3,0)S6wrS6361530259 200 00043 200 000(4,3,3,3,1,1)S6wrS6361530273 375 00045 562 500(4,4,2,2,2,1)S6wrS636153027 337 5004 556 250(5,2,2,2,2,2)S6wrS6391918168 880 14038 972 340(2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,0,0,0)S3wrS1339191810 639 448 8002 455 257 420(3,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,0,0)S3wrS133919186 079 685 0401 403 004 240(3,3,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,0)S3wrS1339191816 888 0143 897 234(3,3,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)S3wrS13401344 729 753 600472 975 360(2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)S2wrS204013763 906 077 760390 607 776(8,5)S20wrS2401312156 764 16015 676 416(2,2,2,2,2,2,1,0,0,0)S4wrS104013122 786 918 400278 691 840(3,2,2,2,1,1,1,1,0,0)S4wrS1040131294 371 8409 437 184(3,3,1,1,1,1,1,1,1,0)S4wrS104013122 621 440262 144(4,1,1,1,1,1,1,1,1,1)S4wrS104013361 285 956 000128 595 600(5,4,2,2)S10wrS4401336370 440 00037 044 000(4,4,4,1)S10wrS4401316168 000 00016 800 000(3,2,2,2,2,2,0,0)S5wrS84013162 100 000 000210 000 000(3,3,2,2,1,1,1,0)S5wrS8401316262 500 00026 250 000(4,2,2,1,1,1,1,1)S5wrS840141435 389 4404 128 768(4,2,1,1,1,1,1,1,1,1)S4wrS104014144 180 377 600487 710 720(3,2,2,2,2,1,1,1,0,0)S4wrS10401414990 904 320115 605 504(3,3,2,1,1,1,1,1,1,0)S4wrS1040141433 592 3203 919 104(2,2,2,2,2,2,2,0,0,0)S4wrS10451110252 000 00014 000 000(2,2,2,2,2,1,0,0,0)S5wrS94511102 362 500 000131 250 000(3,2,2,1,1,1,1,0,0)S5wrS9451120426 746 88023 708 160(3,3,3,2,0)S9wrS54511201 851 776 640102 876 480(4,3,2,1,1)S9wrS5

續(xù)表vkb2bλxG4512242 160 406 080144 027 072(4,3,3,1,1)S9wrS5451224248 935 68016 595 712(3,3,3,3,0)S9wrS545121217 578 1251 171 875(4,1,1,1,1,1,1,1,1)S5wrS94512126 300 000 000420 000 000(3,2,2,2,1,1,1,0,0)S5wrS9451212393 750 00026 250 000(3,3,1,1,1,1,1,1,0)S5wrS945121284 000 0005 600 000(2,2,2,2,2,2,0,0,0)S5wrS94512423 108 480 375207 232 025(6,3,3)S15wrS34512422 840 672 835189 378 189(5,5,2)S15wrS34522423 600 000 000840 000 000(3,3,3,3,3,3,3,1,0)S5wrS9452242126 000 000 00029 400 000 000(4,3,3,3,3,2,2,2,0)S5wrS945224231 500 000 0007 350 000 000(4,3,3,3,3,3,1,1,1)S5wrS9452242472 500 000 0001 102 500 000 000(4,4,3,3,2,2,2,1,1)S5wrS945224275 600 000 00017 640 000 000(5,3,3,2,2,2,2,2,1)S5wrS9452284362 948 221 44084 687 918 336(6,5,5,4,2)S9wrS5452284188 195 374 08043 912 253 952(6,6,4,3,3)S9wrS5452284120 982 740 48028 229 306 112(7,4,4,4,3)S9wrS5461021 882 805 76081 861 120(2,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)S2wrS2349163015 441 431 2501 575 656 250(3,3,3,3,3,1,0)S7wrS7491630166 767 457 50017 017 087 500(4,3,3,2,2,2,0)S7wrS749163072 060 012 5007 353 062 500(4,3,3,3,1,1,1)S7wrS7491630116 737 220 25011 911 961 250(4,4,2,2,2,1,1)S7wrS749163025 215 239 5742 572 983 630(5,2,2,2,2,2,1)S7wrS7491734277 945 762 50032 143 387 500(4,3,3,3,2,2,0)S7wrS7491734583 686 101 25067 501 113 750(4,4,3,2,2,1,1)S7wrS7491734210 126 996 45024 300 400 950(5,3,2,2,2,2,1)S7wrS7

證明這里僅考慮(v,k)=(35,17)的情形, 其余14種情況可通過(guò)類似的步驟證明。顯然, (c,d)=(5,7)或者(7,5)。

x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(3,3,3,3,3,2,0),(4,3,3,3,2,1,1)，(4,4,2,2,2,2,1)或者(5,2,2,2,2,2,2)。

令G=S5wrS7為35個(gè)點(diǎn)集P上的非本原群，并且設(shè)Δ1、Δ2、Δ3、Δ4、Δ5、Δ6、Δ7為非本原塊。取B?P使得當(dāng)1≤i≤7時(shí)|B∩Δi|=xi。令E=BG, 由引理1知關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)D=(P,E)是一個(gè)2-設(shè)計(jì), 且G在D上區(qū)組傳遞。

如果x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(3,3,3,3,3,2,0)，那么在D中區(qū)組總數(shù)為

因此, 通過(guò)式(1)可得λ=9 600 000。

如果x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(4,3,3,3,3,1,1), 那么D中區(qū)組的個(gè)數(shù)為

由式(1)易得λ=120 000 000。

如果x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(4,4,2,2,2,2,1),那么D中區(qū)組總數(shù)為

由式(1)易得λ=90 000 000。

如果x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(5,2,2,2,2,2,2),那么D中區(qū)組總數(shù)為

由式(1)易得λ=1 600 000。

如果x=(x1,x2,x3,x4,x5)=(4,4,4,4,1),那么在D中區(qū)組的總數(shù)為

由式(1)易得λ=12 005 000。

若x=(x1,x2,x3,x4,x5)=(5,4,4,2,2),那么在D中區(qū)組的總數(shù)為

由式(1)易得λ=77 792 400。證畢。

下面2個(gè)推論可由定理1和引理3得到。

推論1設(shè)G=ScwrSd是2-(v,k,λ)設(shè)計(jì)D的一個(gè)區(qū)組傳遞非點(diǎn)本原自同構(gòu)群。如果30

推論2若G=ScwrSd在D上是旗傳遞的且30

①D是一個(gè)2-(35,18,1 800 000)設(shè)計(jì)且G=S5wrS7；

②D是一個(gè)2-(36,8,33 750)設(shè)計(jì)且G=S6wrS6；

③D是一個(gè)2-(36,15,3 200 000)設(shè)計(jì)且G=S6wrS6；

④D是一個(gè)2-(39,20,4 330 260)設(shè)計(jì)且G=S3wrS13；

⑤D是一個(gè)2-(40,27,1 179 648)設(shè)計(jì)且G=S4wrS10；

⑥D(zhuǎn)是一個(gè)2-(40,14,3 919 104)設(shè)計(jì)且G=S4wrS10；

⑦D是一個(gè)2-(45,12,5 600 000)設(shè)計(jì)且G=S5wrS9；

⑧D是一個(gè)2-(45,12,16 595 712)設(shè)計(jì)且G=S9wrS5。

證明顯然, 若G是旗傳遞的, 則G一定是區(qū)組傳遞的。因此,D是表1中的某一個(gè)設(shè)計(jì)或是其補(bǔ)設(shè)計(jì)。假設(shè)B是D中的一個(gè)區(qū)組，不失一般性,假定|B∩Δi|=xi≠0(1≤i≤n)，且|B∩Δj|=xj=0(1

最后需要說(shuō)明2-(35,18,1 800 000)設(shè)計(jì)是2-(35,17,1 600 000)設(shè)計(jì)的補(bǔ)設(shè)計(jì)；2-(39,20,4 330 260)設(shè)計(jì)是2-(39,19,3 897 234)設(shè)計(jì)的補(bǔ)設(shè)計(jì)；2-(40,27,1 179 648)設(shè)計(jì)是2-(40,13,262 144)設(shè)計(jì)的補(bǔ)設(shè)計(jì)。