仲銀銀 潘曉州 荊杰泰2)?

1) (華東師范大學(xué),精密光譜科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200062)

2) (山西大學(xué),極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

本文在級(jí)聯(lián)四波混頻結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,利用光學(xué)分束器作為反饋控制器理論構(gòu)造了一種相干反饋控制系統(tǒng).考慮相干反饋回路中光束傳輸損耗以及原子對(duì)光束吸收損耗,通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣以及利用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù),分析了該系統(tǒng)在不同反饋強(qiáng)度、增益以及相位下的糾纏特性.結(jié)果表明,系統(tǒng)存在真正的三組份糾纏,但是反饋控制器過(guò)度反饋會(huì)破壞系統(tǒng)的三組份量子糾纏特性.另外,將相位設(shè)為180°,通過(guò)適當(dāng)改變?cè)鲆娲笮∫约霸?.1—0.4范圍內(nèi)調(diào)節(jié)分束器反射率的大小可以增強(qiáng)系統(tǒng)的量子糾纏程度.本文為實(shí)驗(yàn)上基于級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng)制備多組份糾纏奠定理論基礎(chǔ),在量子通信領(lǐng)域有著潛在應(yīng)用.

1 引 言

多組份糾纏作為量子信息技術(shù)中一種重要資源,已經(jīng)在量子計(jì)算[1,2]以及量子通信[3,4]等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.它對(duì)未知量子態(tài)的密集編碼[5,6]、量子隱形傳態(tài)[7]以及量子糾纏變換[8]等量子信息技術(shù)的實(shí)現(xiàn)非常關(guān)鍵.目前,在諸多產(chǎn)生多組份糾纏的方案中[9?14],常用方法是將多個(gè)單模壓縮態(tài)通過(guò)光學(xué)分束器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)線性混合來(lái)產(chǎn)生[9],這個(gè)方法的缺陷是可擴(kuò)展性低.另外,最新的研究趨勢(shì)是通過(guò)時(shí)間和頻率復(fù)用方式實(shí)現(xiàn)大尺度糾纏[15,16].四波混頻過(guò)程由于具有強(qiáng)非線性相互作用效應(yīng),輸出光場(chǎng)自然分離以及空間多模特性等優(yōu)點(diǎn)[17],被認(rèn)為是一個(gè)非常有前景的光學(xué)參量放大器,它可以利用多種級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)或者空間結(jié)構(gòu)的泵浦光來(lái)產(chǎn)生多組份量子糾纏[18?22].最近一篇工作報(bào)道了通過(guò)空間結(jié)構(gòu)狀泵浦在單個(gè)銣原子系綜內(nèi)同時(shí)激發(fā)七個(gè)四波混頻過(guò)程,結(jié)果產(chǎn)生六組份量子糾纏態(tài),并且發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu)可靈活配置[22],這讓四波混頻系統(tǒng)在未來(lái)量子通訊領(lǐng)域有了更大的應(yīng)用潛力.光束的糾纏數(shù)量決定著量子通信的信息容量.然而除了提高糾纏的組份,高度糾纏的量子網(wǎng)絡(luò)同樣是量子計(jì)算和量子通信的核心,因此如何優(yōu)化提高量子系統(tǒng)的糾纏特性也很重要.近期國(guó)內(nèi)的一篇實(shí)驗(yàn)研究通過(guò)采用帶有楔角晶體的非簡(jiǎn)并光學(xué)參量放大器,產(chǎn)生了糾纏度高達(dá)8.4 dB的糾纏態(tài)[23].

反饋控制是經(jīng)典控制的重要策略之一[24],它通過(guò)將輸出信號(hào)反饋到原系統(tǒng)中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行有效調(diào)控.它也被用于量子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)量子相干反饋控制[25?27],對(duì)量子態(tài)進(jìn)行操控.量子相干反饋控制過(guò)程由于不涉及測(cè)量,不會(huì)在系統(tǒng)中引入額外測(cè)量噪聲,已經(jīng)被應(yīng)用于量子誤差校正[28]以及增強(qiáng)光場(chǎng)量子關(guān)聯(lián)特性[29]等.最近,我們小組在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了基于單個(gè)四波混頻過(guò)程的相干反饋控制系統(tǒng),并且證明了反饋控制器能夠?qū)蓚€(gè)輸出光場(chǎng)的量子關(guān)聯(lián)特性進(jìn)行有效調(diào)控甚至增強(qiáng)[30].受此啟發(fā),本文將反饋策略應(yīng)用于級(jí)聯(lián)四波混頻過(guò)程,理論分析了反饋對(duì)系統(tǒng)的多組份量子糾纏特性的調(diào)控.

2 級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng)理論模型

圖1(a)為級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng)模型,其中單四波混頻過(guò)程的能級(jí)結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示,在該非線性過(guò)程中兩個(gè)泵浦光子(紫色線)轉(zhuǎn)化為一個(gè)探針光子(紅色線)和一個(gè)共軛光子(藍(lán)色線),其中,5 S1/2與 5 P1/2之間躍遷所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)約為 795 nm,5 S1/2的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí) (F=2 與F=3)的間距約為3.036 GHz.為了構(gòu)造基于級(jí)聯(lián)四波混頻過(guò)程的相干反饋控制系統(tǒng),首先,一束強(qiáng)泵浦光(P1)和一束弱探針光(a?1)以一個(gè)小角度耦合注入到第一個(gè)銣原子蒸汽池( c ell1)中,經(jīng)歷過(guò)第一個(gè)四波混頻過(guò)程后,探針光被放大,同時(shí)產(chǎn)生一束新的共軛光( ?b2).放大后的探針光束( ?a2)與泵浦光(P2)以一個(gè)小角度耦合注入到第二個(gè)銣原子蒸汽池( c ell2)中.同樣產(chǎn)生了一束被放大的探針光(a?3)和一束新的共軛光( ?b4).這樣的過(guò)程構(gòu)成一個(gè)級(jí)聯(lián)四波混頻系統(tǒng),其中兩個(gè)四波混頻過(guò)程的輸入輸出關(guān)系可以表示為:

其中G1和G2分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)四波混頻過(guò)程的強(qiáng)度增益,(i=1,2,3 ) 為探針光的湮滅算符,(j=1,2,3,4)為共軛光的產(chǎn)生算符.將共軛光 ()入射到光學(xué)分束器中,后端輸出光場(chǎng)()通過(guò)反饋回路注入到第一個(gè)四波混頻過(guò)程的共軛光端口,構(gòu)成一個(gè)級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng).光學(xué)分束器的輸入輸出關(guān)系表示為

其中k是光學(xué)分束器的反射率,?是在反饋回路中引入的相位延遲,為真空態(tài),和為光學(xué)分束器的兩個(gè)輸出光場(chǎng).

本文考慮了兩種損耗,即反饋過(guò)程中的光束傳輸損耗和銣原子蒸汽池內(nèi)部對(duì)共軛光束與探針光束的吸收損耗[31,32].如圖2中的綠色虛線框所示,可以用光學(xué)分束器來(lái)模擬反饋路徑上光束在自由空間的傳輸損耗.分束器通過(guò)引入一個(gè)真空態(tài)(),將真空噪聲引入到被反饋的共軛光當(dāng)中[33].光束在銣原子蒸汽池中發(fā)生的四波混頻過(guò)程可分為增益放大與損耗兩個(gè)部分,原子對(duì)共軛光束與探針光束的吸收影響也可以簡(jiǎn)單地用上述的分束器模型來(lái)刻畫(huà)[34].如圖2中的兩個(gè)紫紅色虛線框所示,光學(xué)分束器端口引入的真空態(tài)信號(hào)用湮滅算符表示為(j=2,3,4,5 ),將當(dāng)作損耗分別引入到探針光束與共軛光束當(dāng)中,則:

其中,Li(i=1,2,3,4 )表示銣池內(nèi)部的光束傳輸效率,η為反饋路徑上的光束傳輸效率.令L1=L2=L3=L4=L,利用 (1)式—(3)式,消除中間變量后,可以得到輸出光場(chǎng)與輸入光場(chǎng)的關(guān)系.在連續(xù)變量領(lǐng)域,一個(gè)量子態(tài)可以用其正交振幅和相位算符來(lái)刻畫(huà).我們用正交振幅與相位算符刻畫(huà)該級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng)中的三個(gè)輸出光場(chǎng),令

圖1 (a)級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng)簡(jiǎn)圖;(b)85Rb原子D1線的雙L型躍遷能級(jí)結(jié)構(gòu)圖能級(jí)圖.?對(duì)應(yīng)單光子失諧,d對(duì)應(yīng)雙光子失諧Fig.1.(a) The scheme of coherent feedback control system based on the cascade four wave mixing processes;(b) The Double-L type transition energy-level diagram of 85Rb D1 line.? corresponds to one-photon detuning,d corresponds to two-photon detuning.

圖2 級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng).綠色虛線框?yàn)榉答伝芈分械墓鈧鬏敁p耗模型,紫紅色虛線框?yàn)樵游論p耗模型Fig.2.The coherent feedback system based on the cascaded four wave mixing processes.The green dashed frame is the optical transmission loss model in the feedback loop,and the pink dashed frames are the loss model of atomic absorption.

和

其中

由于量子態(tài)的量子特性可以完全被協(xié)方差矩陣所描述,定義正交振幅的協(xié)方差為類似也可以得到正交相位的協(xié)方差.系統(tǒng)中為真空態(tài)注入信號(hào),為光學(xué)分束器端口引入的真空態(tài).利用(5)式—(9)式,可以得到系統(tǒng)正交振幅與正交相位的協(xié)方差,并表示為:

以及

其中

下面用得到的公式計(jì)算量子糾纏判據(jù),研究系統(tǒng)的糾纏特性.

3 三組份量子糾纏特性

自從將部分轉(zhuǎn)置正定(PPT)判據(jù)推廣到連續(xù)變量領(lǐng)域后[35,36],PPT判據(jù)常被用來(lái)判斷連續(xù)變量系統(tǒng)中光束的多組份糾纏.PPT判據(jù)是描述兩組份系統(tǒng)糾纏特性的充分必要判據(jù)[37],如果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置協(xié)方差矩陣的最小辛本征值小于1,那么系統(tǒng)存在兩組份糾纏.對(duì)于N組份系統(tǒng),若要驗(yàn)證真正的N組份糾纏,則需要驗(yàn)證個(gè)可能的二分情況.如果所有的二分情況不可分離,就可以證明系統(tǒng)產(chǎn)生了真正的N組份糾纏態(tài).對(duì)于該級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng)產(chǎn)生的三組份光束 ,共有三個(gè)可能的1×2劃分,分別為系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣表示為

將(10)式—(12)式代入到上述協(xié)方差矩陣當(dāng)中,并且對(duì)矩陣進(jìn)行部分轉(zhuǎn)置處理,可以求得這三種二分情況的最小辛本征值.如果三種二分情況的最小辛本征值都小于1,便認(rèn)為每一束輸出光都與另外兩束輸出光存在糾纏,證明系統(tǒng)產(chǎn)生了真正的三組份糾纏態(tài).此外,最小辛本征值越小,說(shuō)明光束之間 的糾 纏程 度越 好[38].下 面令η=0.98,L=0.95 ,研究這三種二分情況的最小辛本征值隨相位、增益以及反射率的變化.

圖3(a)—圖3(c)描繪的是三種二分情況的最小辛本征值隨相位和反射率的變化關(guān)系,等高線上的值為最小辛本征值,令G1=G2=3.從圖中可以看出,?在 0—360°范圍內(nèi),三種二分情況的最小辛本征值隨著反射率k變化而變化,當(dāng)0

從系統(tǒng)光場(chǎng)強(qiáng)度角度來(lái)分析相位應(yīng)設(shè)在180°的成因.系統(tǒng)無(wú)反饋時(shí)是一個(gè)非相敏的級(jí)聯(lián)四波混頻,它的輸出光場(chǎng)強(qiáng)度是恒定的,而反饋過(guò)程引入的相位延遲使得系統(tǒng)變成了相敏系統(tǒng).如圖4所示,在不同的銣池增益情形下,系統(tǒng)三個(gè)輸出光場(chǎng)的強(qiáng)度因?yàn)楦缮嫘?yīng)會(huì)隨著相位的變化而發(fā)生變化,并且都是當(dāng)?=π 時(shí),三個(gè)輸出光場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到最大.這說(shuō)明在 π 相位處干涉相長(zhǎng),使得該級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng)在此相位處獲得了最大的光場(chǎng)強(qiáng)度增益.它增強(qiáng)了系統(tǒng)的非線性相互作用,并且可以進(jìn)一步增強(qiáng)光場(chǎng)之間的量子特性.此外,對(duì)比圖4(a)—圖4(d)可以發(fā)現(xiàn),銣池的強(qiáng)度增益大小會(huì)影響到 π 相位處輸出光場(chǎng)的強(qiáng)度.隨著G1和G2值的增大,輸出光場(chǎng)的強(qiáng)度并非越來(lái)越強(qiáng),而是呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì).因此在固定的反射率情況下,理論上也存在最佳的銣池強(qiáng)度增益使得系統(tǒng)的非線性作用強(qiáng)度最大.下面固定相位的值,研究在不同的反射率和銣池增益條件下系統(tǒng)的糾纏特性,尋找最佳的參數(shù)平衡范圍.

圖3 (a)(b)(c)分別對(duì)應(yīng)三種二分情況的最小辛本征值與相位和反射率的關(guān)系Fig.3.(a) (b) (c) correspond to the smallest symplectic eigenvalues of the three bipartitions varying with the value of phase and reflectivity,respectively.

設(shè)?=180°,G1=G2=G,令G的范圍為2—5,k的范圍為 0—1,研究三種二分情況的最小辛本征值隨增益和反射率的變化,結(jié)果如圖5(a)—圖5(c)所示.從等高線的值可以看出這三種二分情況的最小辛本征值都小于1,這說(shuō)明系統(tǒng)在該增益范圍內(nèi),隨著反射率k的變化系統(tǒng)一直存在真正的三組份糾纏.此外,這兩種二分情況的最小辛本征值不大于0.2,表明和之間有著較好的量子糾纏程度.如圖5(a)所示,當(dāng)增益G在3.5—5的范圍內(nèi)時(shí),k越小,之間糾纏程度越好,但是在此增益范圍內(nèi)辛本征值隨著k的變化相比于G在2—3.5時(shí)的變化更明顯.考慮到反饋控制器在一定范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行操控時(shí),若要保持系統(tǒng)穩(wěn)定的糾纏狀態(tài),理論上應(yīng)該控制兩個(gè)銣池增益的大小在2—3.5范圍.圖5(b)的情況與圖5(a)相反,G越小,k越大,辛本征值越小,這時(shí)之間 的 糾 纏 程 度 越 好.對(duì) 于情 況 ,在2—5 的G值范圍內(nèi),隨著反射率k逐漸變大,和之間糾纏程度明顯降低,這與圖3(c)所示的結(jié)果相符.

>圖4 (a)(b)(c)(d)分別為四種銣池增益情形下系統(tǒng)的三個(gè)輸出光 場(chǎng)強(qiáng)度隨相位 f 的變化.這里,Fig.4.(a)(b)(c)(d) show the relationship between the intensity of three output fields and the phase f under different gains condition,respectively.Here,k=0.5,.

圖5 (a)(b)(c)分別對(duì)應(yīng)三種二分情況的最小辛本征值與增益和反射率的關(guān)系Fig.5.(a) (b) (c) correspond to the smallest symplectic eigenvalues of the three bipartitions varying with the value of gain and reflectivity,respectively.

為了更加直觀地看出反射率k對(duì)這三種二分情況的量子糾纏程度的影響,令?=180°,畫(huà)出G=3和G=5 情形下系統(tǒng)三種二分情況的最小辛本征值與反射率k的變化關(guān)系.當(dāng)分束器的反射率k為 0 時(shí),相當(dāng)于無(wú)反饋,若隨著k的增大,最小辛本征值減小,即可說(shuō)明系統(tǒng)的量子糾纏特性可以被優(yōu)化.從圖6中可以看出,隨著k在0—1范圍內(nèi)變化,系統(tǒng)一直存在真正的三組份糾纏.并且,反射率k的增大對(duì)之間的糾纏程度有所增強(qiáng),G越小,增強(qiáng)越明顯.但是對(duì)于情況而言,k的增大對(duì)之間糾纏程度有著較大的負(fù)面影響.當(dāng)?shù)淖钚⌒帘菊髦挡辉傩∮?,此時(shí)系統(tǒng)也不再存在真正的三組份糾纏.最后從總體上考慮,為了使該級(jí)聯(lián)四波混頻相干反饋控制系統(tǒng)產(chǎn)生糾纏程度較高的真正三組份量子糾纏,相位應(yīng)設(shè)為180°,通過(guò)適當(dāng)改變?cè)鲆娲笮∫约霸?.1—0.4范圍內(nèi)調(diào)節(jié)分束器反射率的大小,達(dá)到對(duì)該系統(tǒng)量子糾纏特性進(jìn)行有效調(diào)控的目的.

圖6 當(dāng) f 取 180°及 G=3 和 5 時(shí),三種二分情況的最小辛本征值與反射率的關(guān)系Fig.6.The smallest symplectic eigenvalues of the three bipartitions vary with reflectivity when f is taken the value of 180° and G=3,5.

4 結(jié) 論

本文基于級(jí)聯(lián)四波混頻過(guò)程構(gòu)造了一種相干反饋控制系統(tǒng),在考慮了兩種損耗情況下理論計(jì)算研究了該系統(tǒng)的量子糾纏特性.利用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)證明了該相干反饋控制系統(tǒng)能夠產(chǎn)生真正的三組份糾纏,但是反饋控制器的過(guò)度反饋會(huì)破壞系統(tǒng)的三組份量子糾纏特性.結(jié)果表明將相位設(shè)為180°,通過(guò)適當(dāng)改變?cè)鲆娲笮∫约霸?.1—0.4范圍內(nèi)調(diào)節(jié)分束器反射率的大小可以增強(qiáng)系統(tǒng)的量子糾纏程度.因?yàn)樾〗M之前已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上成功構(gòu)建了基于單個(gè)四波混頻過(guò)程的相干反饋控制系統(tǒng)[30],并且通過(guò)級(jí)聯(lián)方案產(chǎn)生多光束已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)[39],參考這樣的實(shí)驗(yàn)水平,本文的計(jì)算與分析結(jié)果將為實(shí)驗(yàn)上對(duì)多組份量子糾纏進(jìn)行相干反饋調(diào)控提供可靠的理論依據(jù).