陳海霞 林書玉

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,陜西省超聲學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710062)

本文從廣義的Navier-Stokes流體方程出發(fā),考慮到流體介質(zhì)的黏滯性和存在的熱傳導(dǎo),導(dǎo)出了更接近實(shí)際流體的三維非線性聲波動(dòng)方程.鑒于聲傳播所涉及的空間和時(shí)間尺度的復(fù)雜性和多樣性,文中針對(duì)一維情形下的非線性波動(dòng)方程進(jìn)行了求解和分析.由方程的二級(jí)近似解可以看出,聲壓振幅的衰減遵循幾何級(jí)數(shù)規(guī)律,而且驅(qū)動(dòng)聲波的頻率越高聲壓的衰減就越快.在滿足條件 ωb? 時(shí),基波的衰減系數(shù)與驅(qū)動(dòng)頻率的平方及耗散系數(shù)的乘積成正比;二次諧波的衰減規(guī)律更加復(fù)雜,與頻率的更高次冪相關(guān).對(duì)聲衰減系數(shù)及聲壓的分布進(jìn)行數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn),聲壓的分布還與初始的聲壓幅值及頻率有關(guān),初始的聲壓與頻率越高衰減得越快.另外,當(dāng)聲壓高于液體的空化閾值時(shí),液體中就會(huì)出現(xiàn)大量的空化泡,文中模擬了單個(gè)空化泡的運(yùn)動(dòng),發(fā)現(xiàn)隨著聲壓的增大空化泡的振動(dòng)越劇烈、空化泡所受的黏滯力變大,隨著聲波作用時(shí)間的增大黏滯力的幅值迅速增大并與驅(qū)動(dòng)聲壓值同階,因而空化泡的非線性徑向運(yùn)動(dòng)引起的聲衰減不容忽視.結(jié)果表明,驅(qū)動(dòng)聲壓越高在空化區(qū)域附近引起的聲衰減越快、輸出的聲壓越低.

1 引 言

聲波的非線性傳播問題一直備受研究者的關(guān)注.在實(shí)際工作中液體介質(zhì)的組成成分、各成分的含量及分布狀態(tài)、環(huán)境溫度和驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)各不相同,為此人們建立了許多聲學(xué)模型進(jìn)行理論研究.如2012年Louisnard[1,2]通過建立的聲傳播簡(jiǎn)化模型研究了含氣液體聲衰減的物理機(jī)理.Ashokumar[3]研究了在不同的實(shí)驗(yàn)條件下的空化現(xiàn)象.Wang等[4,5]和Chen[6]還在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了雙層液體系統(tǒng)聲的非對(duì)稱傳播現(xiàn)象和驅(qū)動(dòng)功率對(duì)空化液體遠(yuǎn)場(chǎng)的負(fù)效應(yīng).Wijngaarden[7]以及Commander 和Prosperetti[8]對(duì)小振幅下的聲傳播特性與液體中氣體含量及氣泡分布進(jìn)行了系統(tǒng)的研究.Vanhille和Cleofé[9]在模擬實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),充入含泡液體時(shí)線性的超聲駐波場(chǎng)轉(zhuǎn)變成了多頻的非線性場(chǎng).液體中的聲場(chǎng)與泡群間的耦合效應(yīng)以及氣泡的振動(dòng)也一直是學(xué)者們的研究課題[10?18].但由于多空化泡物理場(chǎng)所涉及的空間和時(shí)間尺度的復(fù)雜性和多樣性,要用一個(gè)理論模型來完整地描述難度很大[19?22].本文在前人的研究基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)際液體中聲的非線性傳播進(jìn)行了研究和分析,得出液體的黏滯性、熱傳導(dǎo)以及空化是高驅(qū)動(dòng)聲波出現(xiàn)反常衰減的原因.

2 液體中的非線性聲波方程及其解

2.1 液體中非線性聲傳播方程

聲波在液體介質(zhì)中的傳播特性,可以用物理量p,υ,ρ即聲壓、聲速、密度的平均值來描述,計(jì)及非線性項(xiàng)時(shí)的連續(xù)性方程為

考慮到實(shí)際液體中的黏滯性,在不計(jì)體積力,速度無旋的情況下,動(dòng)量方程采用廣義的納維-斯托克斯方程[16]

式中的η是黏滯系數(shù),其中η′′,η′分別為液體的容變黏滯系數(shù)和切變黏滯系數(shù).

考慮熱傳導(dǎo)的物態(tài)方程為[17]

式中的κ為介質(zhì)的熱傳導(dǎo)系數(shù),CV,CP分別為介質(zhì)的等容和等壓比熱容,β為介質(zhì)的非線性系數(shù),p=P?P0,ρ′=ρ? ρ0分別表示由于聲擾動(dòng)引起的介質(zhì)壓強(qiáng)和密度的變化,P0,ρ0分別表示液體靜態(tài)的壓強(qiáng)與密度,c0為絕熱聲速.

將(3)式代入(2)式,并消去p可得

分 別 將?/?t,?·作 用 于 (4)式 結(jié) 合 (1)式 消 去?ρ′/?t,?ρ′項(xiàng),并引入υ=??φ,其中φ為速度勢(shì).利用線性關(guān)系即可求得非線性波動(dòng)方程.忽略三級(jí)以上微量,二級(jí)近似下的非線性波動(dòng)方程可以表示為

式中耗散系數(shù)

(5)式為計(jì)及介質(zhì)的黏滯性和熱傳導(dǎo)后,各向同性液體介質(zhì)的三維波動(dòng)方程.

2.2 非線性波動(dòng)方程的近似解

為使問題簡(jiǎn)化,先考慮一維情形,即沿x方向的聲波方程

忽略三級(jí)以上微量,取二級(jí)近似得

在不考慮聲衰減時(shí),方程(8)將退化為理想媒質(zhì)中非線性聲波傳播方程[18].

設(shè)聲波沿x方向傳播時(shí)方程(7)的解為

其中φ1為一級(jí)近似解,φ2為二級(jí)近似解.一級(jí)近似方程為

二級(jí)近似方程為

即

設(shè)c0/c=λ ?iτ,其中c=ω/k′是液體中的實(shí)際聲速,則k′=ω(λ?iτ)/c0,其中

將φ1的解代入(8)式的右邊可得

根據(jù)邊界條件

方程(13)式的解可表示為

從(11)式和(15)式可以看出,波在傳播過程中的波數(shù)發(fā)生了改變,波數(shù)k′變成了復(fù)數(shù),并且在距聲源位置x處還產(chǎn)生了頻率為 2ω的二次諧波,驅(qū)動(dòng)聲壓幅值、頻率、液體介質(zhì)的黏滯性和熱傳導(dǎo)都對(duì)聲波的傳輸有影響.

考慮到聲波在y,z方向上的傳播,用類似的方法可以得到三維情形下,各向同性液體中的波動(dòng)方程的近似解為

式中

式中

2.3 空化對(duì)聲傳播的影響

以上的討論沒有計(jì)及空化的影響,當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓高于液體的空化閾值時(shí),聲波傳播的過程中還會(huì)出現(xiàn)空化現(xiàn)象.這種伴隨空化的二相流體不同于通常的含氣泡液體,空化泡的大小和數(shù)量密度隨著驅(qū)動(dòng)聲壓發(fā)生變化.這時(shí)的聲場(chǎng)滿足非線性Helmholtz方程[7,8]

式中p為聲壓幅值,k′′為等效波數(shù).為了簡(jiǎn)化分析,假定空化液體中的空化泡分布均勻且大小相同,有

其中ω是驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)的角頻率,ω0是平衡半徑為R0的空化泡的共振頻率,N為空化泡數(shù)密度,b′為阻尼系數(shù).

式中?是一個(gè)無量綱的復(fù)數(shù),D是泡內(nèi)的熱擴(kuò)散系數(shù),γ是空化泡內(nèi)氣體的比熱比,σ是表面張力.取c′=ω/k′′,因此有

設(shè)c0/c′=λ′?iτ′,考 慮 到expi(ωt?k′′x)=空化液體中的聲衰減系數(shù)可表示為

式中

在計(jì)及空化現(xiàn)象時(shí),液體中聲傳播的波數(shù)由于空化泡的存在發(fā)生了變化,(24)式—(29)式表明空化泡的含量及大小依賴于引起空化的驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng),同時(shí)空化泡的非線性振動(dòng)又反作用于原聲場(chǎng)加速了聲能量的耗散.液體空化后產(chǎn)生的空化泡、熱傳導(dǎo)、液體的黏滯性、驅(qū)動(dòng)聲壓的幅值及頻率都是導(dǎo)致液體中聲反常衰減的直接因素.

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 無空化聲場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布及其衰減

聲在液體介質(zhì)中傳播時(shí),驅(qū)動(dòng)聲壓的幅值和頻率不同所引起的聲衰減也會(huì)不同.根據(jù)(12)式可知,聲衰減系數(shù)與頻率的平方成正比,即驅(qū)動(dòng)聲波的頻率越大衰減越快.以超聲反應(yīng)器中的水為例,當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓一定時(shí),以頻率為1 MHz的超聲波的聲壓衰減值為參考值,并定義不同頻率下基波振幅的衰減值與其之比為B,則B是一個(gè)無量綱比值.由圖1可以看出,當(dāng)聲波頻率一定時(shí),B隨著傳播距離的增大而增大;當(dāng)傳播距離一定時(shí),頻率越大B也越大;B隨傳播距離呈幾何指數(shù)增加,且頻率越大B值的變化幅度越大,聲衰減越快.

如圖2所示,在不計(jì)空化效應(yīng)時(shí),聲壓總體上是隨著距離的增大而衰減的.聲壓的分布還與初始聲壓及頻率有關(guān),隨著驅(qū)動(dòng)聲壓及頻率的增大聲衰減的速度增大,驅(qū)動(dòng)頻率一定時(shí),聲壓越大聲衰減得越快.從圖2 可以看出,頻率為 2 MHz 聲壓分別為 3 和 2 bar的兩列聲波,在 0.9m 附近具有相同的輸出聲壓,在更遠(yuǎn)處聲壓為 3 bar的波比 2 bar的波的輸出聲壓要小.

圖1 聲衰減隨距離的變化曲線Fig.1.The curve of sound attenuation with distance.

圖2 聲壓分布曲線Fig.2.Distribution of the sound pressure.

3.2 空化場(chǎng)中單個(gè)空化泡的振動(dòng)

液體中的空化泡在驅(qū)動(dòng)聲波的作用下做非線性振蕩,從(26)式可知,阻尼系數(shù)與空化泡的半徑和數(shù)密度、表面張力、聲波的頻率以及熱傳導(dǎo)和液體介質(zhì)黏滯作用等因素有關(guān),使得單個(gè)空化泡在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)消耗的聲能量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于單個(gè)線性振蕩的氣泡消耗的能量,其中最主要的是黏滯耗散.為此采用模型Rayleigh-Plesset對(duì)單個(gè)空化泡在基波激勵(lì)下的受迫振動(dòng)進(jìn)行了模擬,數(shù)值模擬過程中使用的參數(shù)有,R0=40 μm,p0=1.0135 × 105Pa,f=40 kHz,dR/dt=0,pv=2.33 × 103Pa,μ=1 × 10–3Pa·s,r=1 × 103kg/m3,s=7.25 ×10–2N·m–1,γ=4/3.在滿足kR0,kR?1 的條件下,初始半徑為40 μm的空化泡在一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)如圖3所示.在驅(qū)動(dòng)頻率一定的情況下,隨著驅(qū)動(dòng)聲壓的增大空化泡的半徑增大,泡壁的振動(dòng)速度也增大.

圖3 聲空泡半徑隨驅(qū)動(dòng)聲壓的變化曲線Fig.3.The curve of bubbles radius with pressure.

圖4 黏滯力隨時(shí)間的變化曲線Fig.4.The curve of viscosity with distance.

單個(gè)聲空化泡所受黏滯力在不同聲壓下的變化曲線如圖4所示.由圖可知,空化泡所受的黏滯力隨著作用時(shí)間的變化關(guān)系很復(fù)雜,隨著作用時(shí)間的增大,黏滯力的幅值不斷增大,而且聲壓越大黏滯力增大得越快.從圖4中可知,驅(qū)動(dòng)聲壓幅值為3bar的聲波的作用下,空化泡在0.1 ms附近所受的黏滯力的幅值已經(jīng)超過了驅(qū)動(dòng)聲壓值.聲波的連續(xù)作用時(shí)間越長(zhǎng)、聲壓越大黏滯耗散就越大.

3.3 空化場(chǎng)中的聲壓分布及其衰減

當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓高于液體的空化閾值時(shí),空化場(chǎng)中的聲衰減不僅與驅(qū)動(dòng)聲場(chǎng)有關(guān)還與空化泡的大小、數(shù)密度、熱傳導(dǎo)、液體介質(zhì)的黏滯性密切相關(guān).在不同驅(qū)動(dòng)下液體中的聲壓分布如圖5所示.可以看出,在計(jì)及空化影響時(shí)波在傳播過程中聲壓減小的速度加快,遠(yuǎn)場(chǎng)處的聲壓更低;驅(qū)動(dòng)聲壓越高頻率越大衰減越明顯.

圖5 有無空化兩種情況下的聲壓分布Fig.5.Distribution of the sound pressure with or without cavitation.

考慮到空化對(duì)聲衰減的影響,以及液體中的黏滯性及熱傳導(dǎo)后,就會(huì)發(fā)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)聲壓越高聲波在遠(yuǎn)場(chǎng)輸出的聲壓就會(huì)越低,這種現(xiàn)象被稱為反常衰減[6].

4 結(jié) 論

聲波在液體中的非線性傳播是一個(gè)非常復(fù)雜的過程,本文從基本的流體方程出發(fā),推導(dǎo)出了聲壓、聲速和聲衰減系數(shù)的表達(dá)式以及各個(gè)量之間的定量關(guān)系.在不計(jì)空化的影響時(shí),從圖1和圖2中可以看出,在驅(qū)動(dòng)聲壓一定時(shí),聲衰減系數(shù)隨著距離的增大而增大,而且頻率越大衰減越顯著;此外聲壓分布還與初始的驅(qū)動(dòng)聲壓有關(guān),驅(qū)動(dòng)聲壓越大衰減系數(shù)也越大;在頻率一定時(shí),驅(qū)動(dòng)聲壓高的聲波輸出的聲壓值要更小.由圖3和圖4可知,當(dāng)聲壓高于液體的空化閾值并繼續(xù)增大時(shí),單個(gè)空化泡的振動(dòng)加劇,黏滯力增大,聲衰減增大;隨著空化泡體積的增大,由(29)式可知,聲衰減系數(shù)也要增大;空化泡振動(dòng)的同時(shí)還向外散射高次聲波,且高次諧波更容易被液體吸收進(jìn)一步加速了基波的衰減.文獻(xiàn)[4,5]中的實(shí)驗(yàn)研究也證明了這個(gè)結(jié)論,文獻(xiàn)[6]中的實(shí)驗(yàn)也表明,在聲空化區(qū)域內(nèi)基波能量的損失甚至達(dá)到了70%以上,同時(shí)還產(chǎn)生了大量的高次諧波.最終的結(jié)果是高驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生了比低驅(qū)動(dòng)更低的聲壓分布,如圖5所示.因此在研究聲的非線性傳播時(shí),需綜合考慮液體的黏滯性、熱傳導(dǎo)、聲空化等諸多因素的影響.綜合以上分析,液體的黏滯性、熱傳導(dǎo)和空化泡的非線性振動(dòng)引起的強(qiáng)黏滯耗散及其散射等的共同作用,是導(dǎo)致聲非線性傳播過程出現(xiàn)反常衰減現(xiàn)象的根本原因.