楊靛青，李院紅，俞裕蘭

(1.福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 福建 福州 350002； 2.福建商學(xué)院， 福建 福州 350002)

0 引言

多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策就是一種考慮局中人間存在限制聯(lián)盟合作結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策。OWEN[1]提出兩層聯(lián)盟結(jié)構(gòu)(簡(jiǎn)稱聯(lián)盟結(jié)構(gòu))合作對(duì)策，在Owen聯(lián)盟結(jié)構(gòu)思想的影響下，聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策的夏普利值(也稱Owen值)[1]、班茲哈夫值[2]、τ值[3]和核心[4]等陸續(xù)被提出。WINTER[5]提出公理化多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策夏普利值進(jìn)而證明其滿足的公理化性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，ALVAREZ-MOZOS等[6]將經(jīng)典合作對(duì)策班茲哈夫值擴(kuò)展到多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策上，并將其和文獻(xiàn)[5]提出的多層級(jí)結(jié)構(gòu)夏普利值進(jìn)行了公理化性質(zhì)的比較分析。楊靛青等[7]構(gòu)造了多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策τ值，給出了該值的簡(jiǎn)便計(jì)算方法并討論了其滿足的公理化性質(zhì)。TEJACA等[8]將多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)和圖狀結(jié)構(gòu)相結(jié)合，構(gòu)造多層級(jí)圖聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策。在現(xiàn)實(shí)管理中，由于客觀原因限制，局中人可能以一定參與程度組成多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)后參加大聯(lián)盟合作，這種合作對(duì)策被稱為多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策。孟凡永等[9]定義了基于Choquet積分的模糊合作對(duì)策班茲哈夫值并對(duì)其公理化性質(zhì)進(jìn)行證明和討論。MENG等[10]進(jìn)一步提出模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策對(duì)稱班茲哈夫值，證明該解的存在性和唯一性。楊靛青等[11]構(gòu)造了基于Choquet積分的多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策τ值并對(duì)其公理化性質(zhì)進(jìn)行證明分析。筆者結(jié)合模糊集概念和多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)思想，定義了班茲哈夫值，研究此類對(duì)策班茲哈夫值滿足可加性、聯(lián)盟內(nèi)對(duì)稱性、啞元性及聯(lián)盟外無關(guān)性等性質(zhì)，并進(jìn)一步證明其唯一性。最后，通過算例比較分析多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策值班茲哈夫值和夏普利值的異同特性。

1 多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策

合作對(duì)策可表示為一個(gè)序?qū)?N,v0>，其中N={1,2,…,n}表示n個(gè)局中人集合，v0為合作對(duì)策的支付函數(shù)，它是N的冪集2N到實(shí)數(shù)集R的映射，即v0:2N→R且滿足v0(?)=0。記G0(N)為N上合作對(duì)策的集合。為方便起見，將N{i}簡(jiǎn)寫成Ni，v0({i})簡(jiǎn)寫成v0(i)，v0(S∪{i})簡(jiǎn)寫成v0(S∪i)。

定義1對(duì)于∈G0(N)且模糊聯(lián)盟S∈L(N),令Q(S)={si|si>0,i∈N}，q(S)是Q(S)中元素的個(gè)數(shù)，將Q(S)中元素按不減順序排列為0≤t1≤t2≤…≤tq(S)≤1。基于Choquet積分的模糊合作對(duì)策的支付函數(shù)v是模糊聯(lián)盟集合L(N)到實(shí)數(shù)集R的一個(gè)映射，即v:L(N)→R且v(?)=0，滿足：

(1)

其中[S(T)]t={i|si≥t,i∈T}，其中t∈[0,1]；對(duì)于任意S(T)，規(guī)定t0=0,稱v是關(guān)于v0基于Choquet積分的模糊合作對(duì)策，記Gc(N)為基于Choquet積分的模糊合作對(duì)策的集合。

2 多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值及性質(zhì)

2.1 多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值的定義

設(shè)∈GLc(N)，S∈L(N)。局中人i∈N且i∈T?N其模糊聯(lián)盟S(T)的邊際貢獻(xiàn)為

V(S(T),i)=v(S(T))-v(S(Ti))，

它表示局中人i在模糊聯(lián)盟S(T)中的期望支付。根據(jù)定義1和式(1)，有：

定義2給定一個(gè)多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)∈L0(N)。對(duì)每個(gè)局中人i∈N，設(shè)i∈U0={i}?U1?U2?…?Uk-1，其中Ur?Br(r∈{1,2,…,k-1})。關(guān)于局中人i∈N在多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的前置集合可定義為：

其中Uk=N。記P(i,B)集合中單元數(shù)為pi，則可記集合P(i,B)={T1,T2,…,Tpi}。

定義3設(shè)∈GLc(N)且S∈L(N)，對(duì)每一個(gè)i∈N有：

(2)

其中Pi={1,2,…,pi}，Q=∪r∈RTr，則稱H(S,v,B)為多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值。

定理1設(shè)∈GLc(N)且S∈L(N)，多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值還可表示為：

(3)

其中H(v0[S]tl,B)是多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值，對(duì)每個(gè)局中人i∈N，滿足：

證明對(duì)于任意局中人i∈N，有：

其中Pi={1,2,…,pi}和Q=∪r∈RTr。根據(jù)定義3，有：

因此，有：

證畢。

2.2 多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值的性質(zhì)

定理2多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲夫值滿足以下性質(zhì)：

① 聯(lián)盟單元對(duì)稱性。對(duì)于任意i,j∈U∈B1，T?Ni,j，若v(S(T∪i))=v(S(T∪j))，則Hi(S,v,B)=Hj(S,v,B)；

② 啞元性。若i∈N滿足對(duì)于任意T?Ni有v(S(T∪i))=v(S(T))+v(S(i))，則Hi(S,v,B)=v(S(i))；

⑥ 等價(jià)邊際貢獻(xiàn)性。給定S∈L(N)且v，w∈Gc(N)，若存在i∈N滿足對(duì)于任意T?Ni有v(S(T∪i))-v(S(T))=w(S(T∪i))-w(S(T))，則Hi(S,v,B)=Hi(S,w,B)；

⑦ 可加性。給定S∈L(N)且v，w∈Gc(N)，則H(S,v+w,B)=H(S,v,B)+H(S,w,B)。

證明性質(zhì)①、②、④和⑦容易證明滿足條件，下面重點(diǎn)證明性質(zhì)③、⑤和⑥。

設(shè)∈GLc(N)且S∈L(N)，對(duì)于任意i,j∈B0，有:

若存在i,j∈N滿足{i,j}?U∈B1，則：

P(i,B)={T1,T2,…,Tl,…,Tpi}，

其中j∈Tl且l∈{1,2,…,pk}，和:

其中Tl′=Tlj且Tpi+1={j}，進(jìn)一步有:

根據(jù)式(2)，有:

v，w∈Gc(N)，存在i∈N滿足對(duì)于任意T?Ni有v(S(T∪i))-v(S(T))=w(S(T∪i))-w(S(T))，則：

2.3 多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值的唯一性

定理3在多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策中，班茲夫值是唯一滿足聯(lián)盟單元對(duì)稱性、啞元性、2-有效性、多層單體聯(lián)盟性質(zhì)、個(gè)體分離無關(guān)性、等價(jià)邊際貢獻(xiàn)性和可加性的對(duì)策解。

證明定理2已證明班茲哈夫值滿足這七種性質(zhì)，現(xiàn)在只要證明該對(duì)策解是滿足這七種性質(zhì)的唯一解。

現(xiàn)在假設(shè)聯(lián)盟層級(jí)k=n-1時(shí)，Γi1(S,v,B)=Hi1(S,v,B)。證明當(dāng)k=n時(shí)，Γi1(S,v,B)=Hi1(S,v,B)成立。設(shè)i1∈U∈B1，若|U|=u=1，即U={i1}。由于Γi1滿足多層單體聯(lián)盟性質(zhì)，

Γi1(S,v,B)=Γ[U](v[S(B1)])，

同時(shí)，Hi1也滿足多層單體聯(lián)盟性質(zhì)，則:

Hi1(S,v,B)=H[U](v[S(B1)])，

由于聯(lián)盟層級(jí)k=n-1時(shí)，Γi1(S,v,B)=Hi1(S,v,B)，即:

Γ[U](v[S(B1)])=H[U](v[S(B1)])，

因此，可得:

Γi1(S,v,B)=Hi1(S,v,B)。

進(jìn)一步假設(shè)當(dāng)|U|≤u時(shí)，Γi1(S,v,B)=Hi1(S,v,B)成立，證明當(dāng)|U|=u+1時(shí)，等式成立。設(shè)i1∈U∈B1且j∈Ui。由于Γi1滿足個(gè)體分離無關(guān)性，則:

同時(shí)，Hi1滿足個(gè)體分離無關(guān)性，則:

Γi1(S,v,B)=Hi1(S,v,B),

成立。證畢。

3 算例分析

假設(shè)局中人集合N={1,2,3,4}，合作對(duì)策的支付函數(shù)如表1所示。

表1 合作對(duì)策支付函數(shù)

下面給出一組隨機(jī)形成模糊聯(lián)盟，利用式(1)，計(jì)算不同模糊聯(lián)盟形式下的支付，根據(jù)式(2)和文獻(xiàn)[5]，分別計(jì)算模糊多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值和夏普利值，如表2所示。

表2 模糊多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值和夏普利值

從表2看，可以驗(yàn)證班茲哈夫值和夏普利值都滿足可加性、啞元性、聯(lián)盟單元對(duì)稱性、多層單體聯(lián)盟性質(zhì)、聯(lián)盟外無關(guān)性，分配策略具有一定的公平合理性。通過比較分析，多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值和夏普利值的特性上有以下三點(diǎn)不同。

表3 模糊多層級(jí)聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值和夏普利值比較

4 結(jié)語

本文定義了多層級(jí)模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對(duì)策班茲哈夫值, 討論其滿足可加性、聯(lián)盟單元對(duì)稱性和聯(lián)盟外無關(guān)性等性質(zhì),該值是合作對(duì)策班茲哈夫值的一般形式,但該班茲哈夫值的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)相對(duì)固定, 下一步將重點(diǎn)研究不同聯(lián)盟結(jié)構(gòu)對(duì)班茲哈夫值的影響.