郝江浩,蓋路路

(山西大學 數學科學學院,山西 太原 030006)

0 引言

本文研究如下非線性六階波方程的Cauchy問題,

utt-uxxtt-uxx+uxxxx+uxxxxtt=

r(|ux|p-1ux)x, (x,t)∈R×(0,T) ,

(1)

(2)

其中r≠0和p>1為常數,φ(x)和ψ(x)為給定初值。

這個模型可以用來描述許多物理過程,(1)是弱色散介質中非線性波動力學的通用模型(文獻[1-2]),文獻[3-4]研究了類似于(1)的淺水表面波的建模。并且方程(1)也被用于描述非線性晶格動力學中的模型。方程(1)的適定性已經被許多作者所研究,見文獻[5-8]等。方程(1)是一般的Boussinesq方程,并且許多一般形式的Boussinesq方程已經被從不同的方面研究,見文獻[9-15]。

Wang等[9]研究了問題(1)-(2)的Cauchy問題,通過使用壓縮映射原理,證明了Cauchy問題(1)-(2)局部解的存在性和唯一性。在次臨界初始能量(0

(φ,ψ)+(φx,ψx)+(φxx,ψxx)≥0 ,

則解在有限時刻爆破,見文獻[8,11]。

特別地,對超臨界能量(E(0)>d)情形,相關文獻較少,文獻[12-13]證明了Cauchy問題(1)-(2)在高初始能量(E(0)>0)下解在有限時刻爆破,其中證明解的爆破性質是利用了Levine在文獻[18]中給出的凸性方法。

我們研究Cauchy問題(1)-(2),將文獻[8]中整體解的不存在性結果推廣到任意高的正初始能量(E(0)>0)情形。通過文獻[14]中給出的一種新方法,證明Cauchy問題(1)-(2)的解在任意高的正初始能量(E(0)>0),且初值滿足一些結構性條件,則Nehari泛函I(0))必為負,進而可以利用凸性方法,得到相應的任意高的正初始能量的解在有限時刻爆破。

1 準備工作和主要結論

和

〈u,v〉X*X=〈u(·,t),v(·,t)〉X*X=

(u,v)+(ux,vx)+(uxx,vxx)。

關于Cauchy問題(1)-(2)解的局部存在性結果,見文獻[8]。

定理1設s≥1且φ,ψ∈Hs(R),則存在依賴于初值(φ,ψ)的最大存在時間T0,使得對每個T

對于系統(tǒng)(1)-(2),引入能量泛函

事實上,在(1)式乘上ut并在R上積分,有

(utt-uxxtt-uxx+uxxxx+uxxxxtt-

r(|ux|p-1ux)x,ut)=0,

計算可得

即

所以,對于每個t∈(0,T0),有如下能量恒等式成立,

E(t)=E(0)

(3)

定義勢能泛函

(4)

Nehari泛函

(5)

Nehari流形

Ν={u∈H2{0}|I(u)=0},

(6)

以及勢阱深

‖φ‖2+‖φx‖2+‖φxx‖2>0,

(7)

(φ,ψ)+(φx,ψx)+(φxx,ψxx)≥0,

(8)

(9)

則問題(1)-(2)的解u(x,t)在有限時間T*爆破。進一步,如果(φ,ψ)+(φx,ψx)+(φxx,ψxx)>0,則有爆破時刻的上界估計為

其中

L(t)=‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2,

C為某個正常數。

接下來,為定理2的證明做一些準備工作。關于函數u(x,t)+ux(x,t)+uxx(x,t),當‖u‖2+‖ux‖2+‖uxx‖2≠0時考慮ut的一個正交分解。首先,令

ut=ku+h,

其中(u+ux+uxx,h)=〈u,h〉X*X=0。經計算可知

因此有

(10)

從(10)以及u+ux+uxx與h的正交關系, 可以得到以下等式成立

(11)

即

‖ut‖2+‖uxt‖2+‖uxxt‖2=

定義泛函

Q(t)=Q(u(x,t))=

(12)

因此,能量泛函可以寫成

(13)

2 主要結論的證明

這一節(jié), 我們給出幾個引理以及主要結果的證明。首先, 給出經典的凸性不等式。

引理1[18]假設F(t)是二次可微的正函數,滿足對每個t≥α,其中γ>1和α>0是常數,有微分不等式

F″(t)F(t)-γ(F′(t))2≥0

都是嚴格增函數。更進一步,有L″(t)>0,以及

‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2≥

(‖φ‖2+‖φx‖2+‖φxx‖2)+

2t((φ,ψ)+(φx,ψx)+(φxx,ψxx))。

(14)

證明當t∈(0,T],L″(t)=2‖ut‖2+2‖uxt‖2+2‖uxxt‖2-2I(t)>0,這說明L(t)是嚴格凸函數,且L′(t)是嚴格增函數。從(8)可知,當t∈(0,T]時,L′(t)>0。因此L(t)在t∈(0,T]上也是嚴格增函數。不等式(14)是L(t)凸性的一個結果。

當t∈(0,T]時,有

[(‖ut‖2+‖uxt‖2+‖uxxt‖2)·

(‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2)-

I(t)(‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2)-

[(u,ut)+(ux,uxt)+(uxx,uxxt)]2]>0 .

由于I(u(t))<0且(u,ut)+(ux,uxt)+(uxx,uxxt)≥0,因此Q(t)在t∈(0,T]上是嚴格增函數。引理2證畢。

‖uxt‖2+‖uxxt‖2),

(15)

這里

證明由(3)和(11),對于解u(x,t)其中〈u,u〉X*X≠0有以下等式成立,

(16)

首先驗證I(0)<0,從(7),(8),(9)和(16)得到

即I(u(0))<0。

假設存在t0∈(0,T0), 使得當t∈[0,t0)有I(u(t))<0并且I(u(t0))=0。由引理2和式(3),(7),(9)及(16)有下列不等式成立,

因此I(u(t0))<0這與I(u(t0))=0相矛盾。所以,當t∈[0,T0), 有I(u(t))<0。

由引理2和式(3),(7)-(9),(14),(16)及Poincaré不等式可知存在一個t∈[tα,T0),使得下列不等式成立

(‖u(t)‖2+‖ux(t)‖2+‖uxx(t)‖2)-

引理3得證。

定理2的證明設T0是u(x,t)的最大存在時間。由引理2和(7),(8),有L(t)>0,L′(t)>0。利用Schwartz不等式,有

(L′(t))2≤4L(t)[‖ut‖2+‖uxt‖2+‖uxxt‖2]

由(15)式可得,對于每個t∈[tα,T0)有

L″(t)=2‖ut‖2+2‖uxt‖2+

2‖uxxt‖2-2I(t)≥

(p+3)(‖ut‖2+‖uxt‖2+‖uxxt‖2)。

而有L(t)滿足不等式

其中,

根據能量函數的定義知,L(t)≤E(t),因此由L(t)的爆破可知能量函數E(t)的爆破,即有問題(1)-(2)的解u(x,t)在有限時間T*爆破,且有爆破時刻的上界估計為

故定理2得證。