李澤乙，李樹有，宓 穎

貝塔指數(shù)幾何分布參數(shù)基于截尾樣本下的極大似然估計(jì)及應(yīng)用

李澤乙，李樹有，宓 穎

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

研究了貝塔指數(shù)幾何分布在截尾樣本下的參數(shù)估計(jì)問題。給出分布中4個參數(shù)的極大似然估計(jì)，并運(yùn)用牛頓迭代法給出參數(shù)極大似然估計(jì)的迭代計(jì)算公式。最后，利用鋁片加工的實(shí)際觀測數(shù)據(jù)取截尾樣本下的觀測數(shù)據(jù)，通過MATLAB編程計(jì)算，給出應(yīng)用實(shí)例。

貝塔指數(shù)幾何分布；截尾樣本；極大似然估計(jì)；牛頓迭代法

貝塔指數(shù)分布(BEG)是由貝塔()隨機(jī)變量的分對數(shù)產(chǎn)生的，是Adamidis等[1]提出的指數(shù)幾何分布(EG)的擴(kuò)展，且包括了廣義指數(shù)幾何分布(GEG)、幾何指數(shù)分布(GE)，以及貝塔指數(shù)分布(BE)。Hmaid[2]于2012年給出BEG分布的累計(jì)分布函數(shù)、概率密度函數(shù)，并確定在參數(shù)取不同值時，BEG分布分別具有遞減、遞增和倒置的失效函數(shù)。

貝塔指數(shù)分布的累計(jì)分布函數(shù)為：

在已有研究基礎(chǔ)上，本文給出了定數(shù)截尾樣本[3]條件下貝塔指數(shù)幾何分布4個未知參數(shù)的極大似然估計(jì)，結(jié)合牛頓迭代的方法給出了未知參數(shù)的極大似然估計(jì)的迭代計(jì)算公式。最后，依據(jù)鋁片加工的疲勞壽命數(shù)據(jù)，利用MATLAB編程計(jì)算，得到分布中參數(shù)的極大似然估計(jì)值。

1 定數(shù)和定時截尾樣本的概念

壽命分布及其數(shù)學(xué)描述對任意特定個體(產(chǎn)品或生物體)，從某個標(biāo)準(zhǔn)時間起在規(guī)定時間內(nèi)失效(或死亡)，是一個隨機(jī)事件。因此壽命是一個非負(fù)的隨機(jī)變量，通常記為，其概率分布稱為壽命分布。

壽命數(shù)據(jù)特點(diǎn)和壽命試驗(yàn)種類：一般的壽命數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)中通常使用的隨機(jī)樣本有很大區(qū)別。壽命數(shù)據(jù)往往是不完全數(shù)據(jù)，即并不是每一個觀測到的值都是確切的壽命值。某些數(shù)據(jù)可能只表示相應(yīng)個體的壽命不小于該數(shù)值，而并不知道其確切壽命的數(shù)值，這樣的數(shù)據(jù)稱為截尾數(shù)據(jù)。如從現(xiàn)場收集的壽命數(shù)據(jù)，由于在統(tǒng)計(jì)時某些產(chǎn)品尚未失效，或因多種原因中斷觀測，這些產(chǎn)品的實(shí)際壽命應(yīng)比已觀測到的時間長。就是在可以人為控制的產(chǎn)品壽命試驗(yàn)中，由于試驗(yàn)費(fèi)時較長，費(fèi)用較高，往往不能將試驗(yàn)進(jìn)行到所有受試樣品都失效時為止。因此必須在達(dá)到規(guī)定的時間或在失效的樣品達(dá)到規(guī)定數(shù)目時終止試驗(yàn)。這種試驗(yàn)稱為截尾試驗(yàn)[3]。前者稱為定時截尾試驗(yàn)，后者稱為定數(shù)截尾試驗(yàn)。

假設(shè)在時間=0時將隨機(jī)抽取的個產(chǎn)品同時投入試驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)進(jìn)行到有個(是事先規(guī)定的，<)產(chǎn)品失效時停止。其中個產(chǎn)品失效時間分別為：

假設(shè)在時間=0時將隨機(jī)抽取的個產(chǎn)品同時投入試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)開始前事先確定好截尾的時間0，當(dāng)試驗(yàn)進(jìn)行到事先規(guī)定的截尾時間0時停止。若到試驗(yàn)截止時一共有個產(chǎn)品失效，則它們的失效時間分別為：

科室的醫(yī)生可以把自己的醫(yī)囑輸入到醫(yī)療系統(tǒng)當(dāng)中，護(hù)士在核對完成之后在通過使用網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)男问絺鬟_(dá)到病房的藥房中[3]，工作人員同樣需要通過計(jì)算機(jī)來確認(rèn)收費(fèi)信息后，進(jìn)行庫存的增減活動。工作人員要把信息打印成單子，在計(jì)算機(jī)中記錄當(dāng)天患者產(chǎn)生的藥物使用費(fèi)用。在藥房管理工作中，藥品清單可以分成為兩種，分別是匯總單和明細(xì)單，這兩種不同的模式可以根據(jù)購買需求進(jìn)行切換，匯總單子是把藥品進(jìn)行了匯總，而明細(xì)單子則是按照患者的名字和床號等顯示出了藥物的具體信息，這樣兩種不同的清單模式，既能夠幫助節(jié)省工作人員的工作效率，還能夠提升發(fā)藥的準(zhǔn)確率。

2 貝塔指數(shù)幾何分布參數(shù)在定數(shù)截尾樣本下的極大似然估計(jì)

由分布參數(shù)的極大似然估計(jì)法可知，其似然函數(shù)為：

因而，其對數(shù)似然函數(shù)為：

考慮參數(shù)，，，均未知，求，，，的極大似然估計(jì)。對公式(3)對數(shù)似然函數(shù)中的，，，分別進(jìn)行求導(dǎo)，聯(lián)立方程并使其為零得到：

因?yàn)樯鲜雎?lián)立的方程不能有效地求出貝塔指數(shù)幾何分布4個未知參數(shù)極大似然估計(jì)的顯示解，所以采用迭代法計(jì)算未知參數(shù)的極大似然估計(jì)。令：

則有：

其中：

所以：

由牛頓迭代法[4]得到以下公式：

3 應(yīng)用實(shí)例

考慮來自Birnbaum等[5]的6061-T6鋁片與軋制方向平行在每秒18次震蕩(每個周期最大應(yīng)力為31 000 Psi)下的疲勞壽命的101個觀測數(shù)據(jù)。規(guī)定試驗(yàn)進(jìn)行有31個鋁片失效時結(jié)束試驗(yàn)。則有投入定數(shù)截尾試驗(yàn)的鋁片數(shù)為101，截尾數(shù)為=31。用MATLAB語言，代入數(shù)據(jù)，70，86，90，94，90，96，97，98，99，100，103，104，104，105，107，108，108，108，109，109，112，112，113，114，114，114，116，119，120，120，120，得到未知參數(shù)，，，的極大似然估計(jì)值，如表2所示。

表1 a，b，β，p的極大似然估計(jì)值

4 結(jié)論

[1] Adamidis K, Loukas S. A lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Statistics and Probability Letters, 1998, 39: 35-42.

[2] Hamid Bidram. The Beta Exponential-Geometric Distribution[J]. Communications in Statistics - Simulation and Computation, 2012, 41(9): 1606-1622.

[3] 李樹有, 徐美進(jìn), 劉秀娟. 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 沈陽: 東北大學(xué)出版社, 2015.

[4] 顏慶津. 數(shù)值分析[M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2012.

[5] Birnbaum Z W, Saunders S C. Estimation for a family of life distributions with applications to fatigue[J]. Journal of Applied Probability, 1969, 6: 328-347.

[6] Silva R B, Barreto-Souza W, Cordeiro G M. A new distribution with decreasing, increasing and upside-down bathtub failure rate[J]. Computational Statistics and Data Analysis, 2010, 54: 935-944.

[7] 李慶揚(yáng), 王能超, 易大義. 數(shù)值分析[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2001.

[8] Barreto-Souza W, Santos A H, Cordeiro G M. The beta generalized exponential distribution[J]. Journal of Statistical Computation and Simulation, 2010, 80(2): 159-172.

[9] Eugene N, Lee C, Famoye F. Beta-normal distribution and its applications[J]. Communications in Statistics—Theory and Methods, 2002, 31(4): 497-512.

Maximum Likelihood Estimation of Beta Exponential-Geometric Distribution Based on Censored Samples and its Application

LI Ze-yi, LI Shu-you, MI Ying

（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

The parameter estimation of the beta exponential-geometric distribution under the censored sample is studied. The maximum likelihood estimation of four parameters in the distribution is given, and the iterative formula of parameter maximum likelihood estimation is given by Newton iterative method. Finally, the observation data under the censored sample are taken from the actual observation data of aluminum sheet processing, and the application examples are given by Matlab programming calculation.

beta exponential-geometric distribution; censored sample; maximum likelihood estimation; newton iterative method

O212

A

1674-3261(2020)02-0133-08

10.15916/j.issn1674-3261.2020.02.016

2019-08-23

李澤乙(1992-)，男，遼寧大連人，碩士生。

李樹有(1964-)，男，遼寧錦州人，教授，博士。

責(zé)任編校：孫 林