王嘉寧，司偉建，喬玉龍

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

波達方向估計技術始終是信號處理領域的研究熱點之一，被廣泛應用于現代通信與電子對抗等諸多領域。在電子對抗領域，現有的傳感器陣列主要可分為標量傳感器陣列與矢量傳感器陣列兩種。矢量傳感器陣列具有易于與載體表面共形、抗干擾能力強、能夠估計輻射信號的極化信息等諸多優(yōu)勢，從而得到了廣泛的研究并產生了諸多的研究成果[1-4]。一些基于標量傳感器的算法，例如傳播算子(propagator method, PM)算法[5]、多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[6]與旋轉不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[7]也都在極化敏感陣列上得到了直接的推廣應用。然而需要指出的是，這些算法正確推廣的前提是入射信號中僅僅包含不相關信號。當入射信號為相干信號，或者是由不相關信號與相干信號混合而成的混合信號時，陣列接收數據的協(xié)方差矩陣會產生秩虧損，從而導致導向矢量與噪聲子空間不再正交，此時傳統(tǒng)的PM算法、MUSIC算法與ESPRIT算法皆會失效。為了解決這一問題，相關研究人員提出了空間平滑算法與矩陣重構算法[8]，用于消除信號間的相關性。空間平滑算法利用子陣列接收數據的平滑性去消除信號間的相關性。矩陣重構算法將協(xié)方差矩陣元素或協(xié)方差矩陣大特征值對應的特征矢量的元素進行重新排列，直接構造新的協(xié)方差矩陣。這兩類方法以損失陣列孔徑為代價實現了解相干。采用空間平滑算法與矩陣重構算法，子空間類算法可以實現標量傳感器陣列下的相干信號的角度估計，然而這兩類解相干算法不能直接在矢量傳感器陣列下進行推廣。

為了解決極化敏感陣列下相干信號的估計問題，XU首先提出了極化角平滑算法(polarimetric angular smoothing algorithm, PAS)[9]，利用全電磁矢量傳感器的6個通道之間接收數據的自相關矩陣的平均來恢復數據協(xié)方差矩陣的秩。隨后HE基于極化角平滑算法提出了極化差分平滑算法[10]，這類極化平滑算法要求所選用的矢量傳感器必須為全電磁矢量傳感器，并且能夠分辨的相干信號的個數至多為6個。TAN將極化平滑與廣義MUSIC算法相結合,用于實現對低空目標的角度估計[11]。真實環(huán)境中，由不相關信號與相干信號混合而成的混合信號普遍存在，對于標量傳感器陣列下的混合信號的角度估計已經有了一定的研究成果[12-14]，然而在矢量傳感器陣列下的混合信號角度與極化聯合估計算法的研究成果較少，因此研究極化敏感陣列下混合信號的角度估計問題具有一定的理論價值?，F有的極化敏感陣列下混合信號的估計算法[15]中的角度估計方法實質上為ESPRIT算法，沒有充分利用陣列接收的數據，采用子空間類的角度估計算法能夠進一步提高角度估計的精度。此外，現有的一些極化敏感陣列下相干信號的角度估計算法，例如極化角平滑算法與極化差分算法，沒有充分利用全電磁矢量傳感器各個分量接收數據之間的相關性實現混合信號的極化參數估計。

為了解決上述的問題，本文基于正交偶極子陣列提出了一種新穎的極化敏感陣列混合信號角度與極化參數聯合估計算法，本文算法的貢獻主要包含以下幾個方面：

1) 利用正交偶極子陣列代替原來的全電磁矢量傳感器，降低了天線的硬件消耗，消除了全電磁矢量傳感器各個陣元間的互耦引入的誤差；

2) 所提算法不僅可以實現混合信號的入射角度估計，還可以實現對混合信號極化參數的估計；

3) 所提算法消除了噪聲的干擾，通過擴展傳播算子得到正交子空間，采用子空間類的算法提高了角度估計精度。

1 信號模型

正交偶極子均勻線陣陣列如圖1所示。

圖1 正交偶極子均勻線陣陣列Fig.1 Uniform line array of orthogonal dipoles

假設存在K個入射角度為{θk}、極化信息為{γk,ηk}、波長為λ的窄帶遠場混合信號{sk(t)}(k=1,2,…,K)入射到由M個正交偶極子所組成的陣元間距為l的均勻線陣陣列上。這K個混合信號由Ku個不相關信號與Kc個相干信號組成，這Kc個相干信號可以分為D個相干組，且每個相干組包含{Pd}(d=1,2,…,D)個相干信號。此時整個陣列輸出的2M×1維矢量可以表示為

(1)

式中：{sd(t)}(d=1,2,…,D)為第d個相干組的相干源信號；第d個相干組中的第p個入射角度為θd,p的信號與相干源信號sd(t)之間的相關系數為ζd,p；N(t)為疊加在陣元上的高斯白噪聲數據矩陣；陣列的導向矢量a(θk,γk,ηk)為空域導向矢量q(θk)與極化導向矢量c(θk,γk,ηk)的克羅內特積，如式(2)所示。

a(θk,γk,ηk)=q(θk)?c(θk,γk,ηk)

(2)

式中:

q(θk)=[1,e-j2πl(wèi)sinθk/λ,…,e-j2π(M-1)lsinθk/λ]T

(3)

c(θk,γk,ηk)=[-cosγk,cosθksinγkejηk]T

(4)

將式(1)改寫為矩陣的形式,為

X(t)=Au(θ,γ,η)Su(t)+Ac(θ,γ,η)ΓSc(t)+N(t)=A(θ,γ,η)ES(t)+N(t)

(5)

陣列總的輸出協(xié)方差矩陣可以表示為

(6)

2 混合信號的參數估計

2.1 不相關信號的參數估計

圖2給出了正交偶極子均勻線陣陣列分割示意圖。

圖2 正交偶極子均勻線陣陣列分割示意圖Fig.2 Schematic diagram of array segmentation of orthogonal dipole uniform line array

將圖1所示的正交偶極子均勻線陣陣列分割為兩個相互重疊的分別包含M-1個正交偶極子陣元的子陣1與子陣2，則這兩個線性子陣列的輸出分別可以表示為

(7)

式中：下標1和2分別代表兩個子陣；矩陣A1為陣列總的導向矢量矩陣A的前2(M-1)行；B=blkdiag{Bu,Bc,1,…,Bc,D}，Bu=diag{e-j2πl(wèi)sinθ1/λ，…，e-j2πl(wèi)sinθKu/λ}，Bc,d=diag{e-j2πl(wèi)sinθd,1/λ，…，e-j2πl(wèi)sinθd,Pd/λ}；X1(t)與N1(t)為X(t)與N(t)的前2(M-1)行；X2(t)與N2(t)為X(t)與N(t)的后2(M-1)行。

根據以上的定義，子陣1的自協(xié)方差矩陣可以表示為

(8)

子陣2與子陣1之間的互協(xié)方差矩陣可以表示為

(9)

式中，矩陣RN形式為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

將式(15)代入式(11)可得

(16)

化簡可得

RAA1Γ=A1BΓ

(17)

式(17)可以被寫為

RA[A1u,A1c，1ζ1,…,A1c,DζD]=[A1uBu,A1c，1Bc,1ζ1,…,A1c,DBc,DζD]

(18)

式(15)中包含了目標矩陣與不相關信號導向矢量A1u以及每個相干組的導向矢量A1c,d之間的聯系，本文算法的核心便是利用式(18)實現混合信號的角度以及極化參數估計。

接下來定義矩陣RAo與RAe分別為矩陣RA的奇數行和偶數行

(19)

式中：A1o為矩陣A1的奇數行；A1e為矩陣A1的偶數行。取RAo1為RAo的前Km行，其中Km=Ku+D，RAo2為RAo的后M-1-Km行，則(M-1-Km)×Km維線性算子Pu定義為

(20)

Pu可由式(21)獲得。

(21)

(22)

從式(22)可以看出矩陣Qu的列矢量張成的空間與導向矢量A1o的列矢量張成的空間相互正交，正交傳播算子Gu可以寫為

(23)

Gu的行組成的矢量與導向矢量A1o的列組成的矢量之間仍滿足正交關系

GuA1o=O(M-1)×Km

(24)

依據陣列總的導向矢量矩陣A，可以將A1o寫為A1o=[Au1o,Ac1o]，其中Au1o與Ac1o分別為矩陣Au與Ac的前2(M-1)行中的奇數行。由此可得

(25)

不相關信號導向矢量Au的列張成的空間與相關信號導向矢量AcΓ的列張成的空間的交空間為零空間，因此我們可以通過求取式(26)的最小值來得到不相關信號的θ角的估計值

(26)

式中，qu(θ)=[1,e-j2πl(wèi)sinθk/λ,…,e-j2π(M-2)lsinθk/λ]T。至此，我們得到了不相關信號的角度估計結果。由式(19)可知矩陣RAe同樣可以用于不相關信號的角度估計。依據前面的流程可以再次對不相關信號的入射角度進行估計，我們取兩次估計結果的均值為最后的不相關信號的角度估計結果。接下來我們給出不相關信號的極化信息的估計方法。

對矩陣RA執(zhí)行奇異值分解，即可得到矩陣A1、B的估計值，依據已經估計出的角度結果，即可獲得與第k個不相關信號對應的導向矢量a1(θk,γk,ηk)，a1(θk,γk,ηk)為矢量a的前2(M-1)行，且滿足

a1(θk,γk,ηk)=q1(θk)?c(θk,γk,ηk)

(27)

(28)

(29)

式中，a1k(2i)為矢量a1k的第2i個元素。

2.2 相關信號的參數估計

在完成不相關信號的角度估計后，我們可以得到矩陣A1，從而可以得到Ac1o的估計值。矩陣Ac1o的第d(d=1,2,…,D)列可以寫為

(30)

式中，Cco,d為Cc,d的第1行，Cc,d=[cd,1,cd,2,…,cd,Pd]。為了消除每個相干組中相干信號之間的相干性，將對應于第d個相干組的陣列流形矢量Ac1o,d中的元素進行重新排列，構建一個(M-Pd-1)×(Pd+1)維的矩陣Ho,d，如式(31)所示。

(31)

當M-Pd-1≥Pd+1時，Ho,d為滿秩矩陣，并且可以改寫為如式(32)的形式。

ΦoΞ

(32)

式中，Ac,d為Ac中第d個相干組的導向矢量的前M-1-Pd行。

取Ho,d的前Pd行得到矩陣Ho,d1，取Ho,d其余的M-2Pd-1行得到矩陣Ho,d2，將第d個相干組的重構矩陣Ho,d對應的傳播算子Pco,d定義為

(33)

Pco,d可由式(34)獲得,即

(34)

(35)

Gco,d的行與Ac,d的列之間滿足正交關系

Gco,dAc,d=O(M-Pd-1)×Pd

(36)

依據子空間正交性原理，我們可以通過求取式(37) 的最小值來得到第d組相干信號的估計值

(37)

ΦeΞ

(38)

式中，Cce,d為Cc,d的第2行。對矩陣He,d采用上面相同的方法再次得到第d個相干組的角度估計結果。將兩次角度估計結果取均值，作為第d個相干組的相干信號的最終角度估計結果。接下來我們討論每個相干組中相干信號的極化參數的估計。由于Cco,d與Cce,d分別為Cc,d的第1行與第2行，因此必存在一個包含極化信息的矩陣Jd，且滿足Ho,dJd=He,d。根據最小二乘理論，有

(39)

在式(39)兩側對矩陣Jd求偏導，可得

(40)

當上式的值為0時，可得Jd的解為

Jd=((Ho,d)THo,d)-1(Ho,d)THe,d=(Ho,d)?He,d

(41)

將式(29)、(35)代入式(41)中，可得

(42)

(43)

式中，μd,p=-cosθd,ptanγd,pejηd,p,p=1,2,…,Pd。由式(43)可以看出第d個相干組中相干信號的極化信息隱藏在矩陣Jd的特征值中。對矩陣Jd執(zhí)行特征分解，通過特征值匹配操作使得每一個μd,p與入射角θd,p一一配對，則第d個相干組中的極化信息可以表示為

(44)

(45)

對每個相干組皆可以采用以上的方法估計出其所對應的入射角度與極化信息，最終得到完整的混合信號角度與極化信息估計結果。

3 仿真實驗分析

本章通過仿真實驗來驗證本文所提出的算法有效性。仿真實驗的實驗條件如下：

1) 圖1中所示的正交偶極子均勻線陣陣列兩個相鄰陣元間的陣元間距被設置為入射信號波長的一半，即l=λ/2；

2) 信噪比(signal to noise ratio，SNR)定義為信號的功率與所疊加噪聲功率的比值；

3) 角度θ的均方根誤差(root mean square error，RMSE)被定義為

(43)

選取文獻[9]中的PAS算法、文獻[15]中的算法作為本文算法的對比算法。

仿真實驗1：比較各個算法在不同信噪比下的角度估計能力。在本實驗中假設存在兩個不相關信號源：不相關信源1的入射角度、極化輔助角與極化相位差分別為(55.17°,50.43°,14.13°)；不相關信源2的入射角度、極化輔助角與極化相位差分別為(33.18°,30.78°,50.24°)。假設存在一組包含兩個相關信號的相干信號源：相干信號源1的入射角度、極化輔助角與極化相位差分別為(14.26°,30.41°,12.27°)；相干信號源2的入射角度、極化輔助角與極化相位差分別為(-2.33°,13.26°,29.52°)，且這兩個相干信源間的相干系數為ζ=[1,ejπ/3]T。陣元數M被設置為8，信噪比SNR從0 dB開始以1 dB為間隔增至20 dB，快拍數為128。在每個仿真條件下做1 000次蒙特卡洛獨立重復性試驗，得到不相關信源入射角度θu的均方根誤差RMSEθu,如圖3所示，得到相干信源入射角度θc的均方根誤差RMSEθc,如圖4所示。

圖3 不相關信號角度估計均方根誤差隨信噪比變化曲線Fig.3 Curve of RMSE of uncorrelated signal angle estimation versus SNR

圖4 相干信號角度估計均方根誤差隨信噪比變化曲線Fig.4 Curve of RMSE of coherent signal angle estimation versus SNR

從圖3～4可以看出，對于不相關信號角度估計性能，本文提出的算法與文獻[15]提出的算法差別不大。而PAS算法優(yōu)于其余兩種算法，這是由于PAS算法要求每個陣元為全電磁矢量傳感器，每個陣元包含6個通道，PAS算法通過對這6個通道接收數據的自相關矩陣進行加權求和來實現解相干。理論上PAS算法最多可以估計6個信號，然而本文提出的算法僅要求每個陣元包含2個通道，在保證估計精度的同時，極大地降低了硬件資源的消耗與計算復雜度。對于相干信號的角度估計性能，本文提出的算法要優(yōu)于文獻[15]提出的算法。這是因為一方面我們在算法最初進行了去噪處理，另一方面本文中對相干信號的角度估計算法可以理解為一種正交子空間方法，而文獻[15]中選用的方法為ESPRIT方法。

仿真實驗2：比較各個算法對極化信息的估計效果。由于PAS算法并不能估計極化信息，所以我們僅僅比較本文算法與文獻[15]中的方法對混合信號的極化信息的估計效果。在實驗1的仿真條件下，取信噪比SNR為10 dB。通過繪制100次本文提出算法與文獻[15]中算法對極化信息的估計結果散點圖來直觀地進行比較，分別如圖5和圖6所示。

圖5 本文算法對混合信號的極化信息估計結果散點圖Fig.5 The scatter diagram of the polarization information estimation result of the mixed signal by the proposed algorithm

圖6 文獻[15]中的算法對混合信號的極化信息估計結果散點圖Fig.6 The scatter diagram of polarization information estimation of the mixed signals by the algorithm in Ref. [15]

從圖5～6可以看出，文獻[15]提出的算法對極化信息的估計效果要優(yōu)于本文提出的算法，這是由于本文提出的算法對子陣列進行了劃分，損失了陣列孔徑，所以對極化信息的估計效果略差。

4 結束語

本文基于正交偶極子極化敏感陣列提出了一種混合信號的角度與極化聯合估計算法。首先構造目標矩陣，依據子空間方法估計不相關信號的入射角度，利用正交偶極子陣列接收數據的相關性估計出不相關信號的極化參數，在估計的過程中角度信息與極化信息可直接實現正確的配對。而后對特征矢量重新排列，估計出每個相干組的入射角度，利用最小二乘法估計出每個相干組的極化參數。與現有的針對全電磁矢量傳感器的算法相比，所提出的算法降低了硬件資源的消耗，并且實現了對極化信息的估計，提高了可估計的混合信號的數目。與現有的同類算法相比，本文提出的算法提高了對相干信號的角度估計精度。仿真實驗驗證了本文算法的有效性與可靠性。