鄭勇

(黔南民族師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 都勻 558000)

1 引言

數(shù)學(xué)物理方程作為本科物理專業(yè)必修課，整體教學(xué)難度較大，對(duì)這門課程的探索與改革一直都是一個(gè)持續(xù)的話題，也有很多這方面的研究[1,2]。這門課程一個(gè)很重要的任務(wù)就是教授一些物理學(xué)中重要的偏微分方程求解方法，這也是課程難度最大的地方；講授這門課程時(shí)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚瑸橐恍┓彪y的知識(shí)尋求一些簡(jiǎn)潔的講授方法，都是十分必要的，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)等后續(xù)課程也有幫助[3]。課程在求解偏微分方程時(shí)常常采用分離變量法，通過對(duì)偏微分方程進(jìn)行分離變量，將偏微分方程問題轉(zhuǎn)化成常微分方程問題進(jìn)行求解。在分離變量出來的常微分方程中，頻繁遇到的一類就是歐拉方程[4,5]。教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，由于這類微分方程會(huì)反復(fù)出現(xiàn)，課程不少難度成分是由求解它們導(dǎo)致的。

一般來講，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方法之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了高等數(shù)學(xué)等先行數(shù)學(xué)課程。然而，從教材編排角度看，目前國(guó)內(nèi)諸多主流高等數(shù)學(xué)教材對(duì)歐拉方程這類非常重要的微分方程的討論卻較為薄弱，要么略去不講，要么比較簡(jiǎn)略或?qū)⑵淞袨檫x學(xué)內(nèi)容[6,7]。因此進(jìn)行數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)時(shí)，就學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)來看，很多時(shí)候都需要我們將歐拉方程的求解視為新課內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)。雖然如此，一般數(shù)學(xué)物理方法教材對(duì)這類方程給出的求解過程卻往往較為復(fù)雜，通常做法都是通過變量代換將其化為常系數(shù)微分方程進(jìn)行求解，在教學(xué)中較為繁瑣。事實(shí)上，在碰到這類微分方程時(shí)，找到一種恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)處理方式進(jìn)行求解及討論，無疑會(huì)在教學(xué)中帶來極大的方便。本文將對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行探索，力求提出簡(jiǎn)單可行的教學(xué)處理方式。

2 課堂教學(xué)中歐拉方程常見情況教學(xué)處理

首先我們注意到，數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)中遇到的歐拉型微分方程往往都是齊次的，都可以用一種比較簡(jiǎn)單的方法寫出特解。事實(shí)上，在教學(xué)中筆者常常把歐拉方程稱作“同冪型”微分方程，因?yàn)榭偪梢詫⒎匠痰奶亟馊閮绱魏瘮?shù)型。以常見的二階齊次形式方程x2f''+axf'+bf=0（a，b為常數(shù)）為例，通過觀察很容易引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：方程等號(hào)左邊其實(shí)是x2f''、xf'、f三者的一個(gè)組合，最終為0，說明三者加起來最終要能夠完全抵消。最簡(jiǎn)單的，若認(rèn)為三者具有相同的函數(shù)形式，顯然常見的xβ形式的冪次函數(shù)滿足這個(gè)要求，因?yàn)閷?duì)f=xβ而言，的確是“同冪次”的。如果取冪次型特解帶入方程，原則上可以定出滿足要求的β和特解。這與求解諸如等常系數(shù)微分方程時(shí)將指數(shù)型特解帶入求解的情形十分相似。因此，在大多數(shù)情況，尋找歐拉型微分方程x2f''+axf'+bf=0的特解一種較為簡(jiǎn)便的處理就是以冪次函數(shù)形式帶入方程進(jìn)行試探。

雖然如此，在具體教學(xué)過程中仍有許多需要注意的地方，比如，數(shù)學(xué)物理方法課程中常常還會(huì)遇到方程中b=0的情況。下面我們以課程中平時(shí)遇到的具體問題為例來進(jìn)行闡述。

2.1 拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)下或極坐標(biāo)下分離變量時(shí)出現(xiàn)的歐拉方程的教學(xué)處理

拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)下或極坐標(biāo)下分離變量得到的徑向部分方程[4]：ρ2R''+ρR'+n2R=0，其中n=1,2,3,4,…….這個(gè)方程顯然是一個(gè)齊次歐拉方程。

由于這個(gè)方程只是分離變量時(shí)出來的常微分方程中的一個(gè)，在課堂教學(xué)中若采用一般教材中給出的求解思路，即通過作函數(shù)代換轉(zhuǎn)化為常系數(shù)微分方程求解的話，會(huì)占據(jù)較大的講授篇幅，而且會(huì)使整個(gè)求解過程顯得十分繁冗復(fù)雜。于是我們可以采用如下教學(xué)處理方式。

當(dāng)n≠0時(shí)，只需令R=ρβ，可得β=±n，這樣求得兩個(gè)特解，于是：R(ρ)=Cρn+Dρ-n（C，D為任意函數(shù)），需要注意的是n=0的情況，簡(jiǎn)單地令R=ρβ此時(shí)并不能得到兩個(gè)線性無關(guān)特解。事實(shí)上，此時(shí)方程實(shí)際上是

這種情況即前面所說的b=0情況。只需令R'=ρβ，可得β=-1，可取R'=Cρ-1，于是這種情況的解可以寫為：（C，D為任意函數(shù)）。顯然，整個(gè)求解過程比一般教材上給出的表述簡(jiǎn)單的多，可以極大地降低學(xué)生理解難度。

2.2 拉普拉斯方程在球坐標(biāo)下分離變量時(shí)出現(xiàn)的歐拉方程的教學(xué)處理

拉普拉斯方程在球坐標(biāo)下進(jìn)行求解時(shí)，通過引入一個(gè)形如l(l+)1的參數(shù)分離變量后得到的徑向部分方程為[4]：

這個(gè)方程也是歐拉型常微分方程，采用冪次型函數(shù)帶入方程求特解的方式很容易求解。只需令R=rβ，帶入方程即可求得β1=l，β2=-(l+1)，這樣求得兩個(gè)特解，于是：R(r)=Crl+Dr-(l+1)（C，D為任意函數(shù)）。值得注意的是，在這個(gè)問題中，為什么分離變量時(shí)引入的常數(shù)選為l(l+)1的形式也是初學(xué)者常常覺得疑惑的一個(gè)地方。這個(gè)問題現(xiàn)行的教材中幾乎都不作說明，特別容易讓學(xué)生困惑，但是這個(gè)問題仍是很重要的，因?yàn)檫@個(gè)常數(shù)在量子力學(xué)介紹氫原子理論時(shí)對(duì)應(yīng)角動(dòng)量平方算符的本征值。

在教學(xué)中，上面的簡(jiǎn)潔求解過程為我們理解這個(gè)問題提供了很好的切入點(diǎn)，使我們可以用一種簡(jiǎn)單的方式給學(xué)生講清楚這個(gè)問題。事實(shí)上，我們完全可以把引入的常數(shù)記為λ，方程即為：

可以簡(jiǎn)單看出λ具有l(wèi)(l+1)的形式。因?yàn)閷⑻亟庑问絉=rβ帶入方程后可得：β2+β-λ=0.根據(jù)一元二次方程韋達(dá)定理，兩根β1，β2滿足：β1+β2=1，β1β2=-λ，故λ=-β1β2=-(1-β2)β2=(β2-1)β2，即具有l(wèi)(l+1)的形式，其中l(wèi)=β2-1。

3 歐拉方程在非齊次情況的教學(xué)處理

雖然就課程中出現(xiàn)的歐拉方程而言，上述的教學(xué)處理已經(jīng)足夠了；但是教學(xué)中難免需要補(bǔ)充與推廣，因此我們這里也討論一下形式更為一般的歐拉方程的處理，比如非齊次情形的處理。事實(shí)上，學(xué)生掌握了齊次情況求解后，只需要借助一些高等數(shù)學(xué)教材[6-8]中常常都有介紹的常數(shù)變易法，即可討論非齊次情況，只是步驟稍多。對(duì)非齊次或形式更為一般的歐拉方程，我們?nèi)韵Ｍ軌蛘业降母玫奶幚矸绞?。我們注意到人們?duì)歐拉方程以及與之相關(guān)的方程的研究較為廣泛[9-11]，也提出了一些新的求解方法。但是直接把這些求解方法用于課堂教學(xué)，學(xué)生接受起來還是不易的。我們希望在這里對(duì)一般形式的歐拉方程也給出一種適合課堂教學(xué)的簡(jiǎn)潔處理方式，以供需要對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行拓展時(shí)采用。我們重點(diǎn)以二階歐拉方程一般形式為例，更高階情況可類似推廣。

注意到方程x2f''+axf'+bf=g(x)即：因此可以改寫成下面“因式分解”的形式：

其中r1，r2為兩個(gè)常數(shù)。容易看出r1，r2是方程r2+(a-1)r+b=0的兩根，因?yàn)閷ⅲ?）式與原方程比較，r1+r1=a-1，r1+r1=a-1。這樣，我們可令：注意到可能存在(a-1)2-4b＜0的情況，我們需要把r1，r2視為復(fù)數(shù)。先暫時(shí)將（3）式左邊中用h(x)表示，即：

于是可將(1)式寫為下面的形式：

只需兩邊同乘xr1-1，這個(gè)一階常微分方程可以直接解出：再帶入到（4）式，我們得到：只需兩邊同乘xr2-1，從這個(gè)一階常微分方程就可直接解出原方程通解：

這種用“因式分解”思路引導(dǎo)學(xué)生逐步求解的過程非常方便學(xué)生理解。顯然，這種做法可以直接推廣至三階及更高階一般形式的歐拉方程，形如xnf(n)+…+axf'+bf=g(x)之類的方程，只需將其改寫成下面“因式分解”形式：只是高階時(shí)確定因式分解常數(shù)r1，2r，……的代數(shù)方程是高次方程而已，這一點(diǎn)可以對(duì)照二階時(shí)情況容易看出；然后再一步步求解即可。如果需要在數(shù)學(xué)物理方法課程中補(bǔ)充一般形式的歐拉方程的求解時(shí)，我們建議仍然以二階情況為重點(diǎn)討論，然后直接推廣至三階以上即可。

4 結(jié)論

綜上，我們對(duì)如何在數(shù)學(xué)物理方程課程教學(xué)中恰當(dāng)處理遇到的歐拉方程問題進(jìn)行探索，介紹了具體的教學(xué)處理方式，給出了一些具體的細(xì)節(jié)上的建議。相對(duì)于一般教材對(duì)該類方程給出的求解方法而言，這些處理方式無疑具有簡(jiǎn)潔明了的特點(diǎn)，對(duì)降低這門課程的難度，幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)內(nèi)容具有積極意義。

我們認(rèn)為，在教學(xué)中選取恰當(dāng)?shù)牟呗允鞘直匾?。在處理課程中歐拉方程這個(gè)問題上，對(duì)出現(xiàn)最多的齊次情況采用冪函數(shù)帶入求特解的方式簡(jiǎn)潔明了，便于學(xué)生熟練掌握，有利于教學(xué)節(jié)奏的掌控與推進(jìn)；而對(duì)一般非齊次歐拉方程，其實(shí)在教學(xué)中極少遇到，我們介紹的“因式分解”策略可以作為教學(xué)內(nèi)容的拓展介紹給學(xué)生自學(xué)。雖然我們以數(shù)學(xué)物理方法課程為例介紹對(duì)這類方程的處理，但是對(duì)涉及這些方程的其他專業(yè)課教學(xué)顯然也有幫助。